TS – Cours – Intégration

Intégration

I Intégrale d’une fonction continue positive

Définition 1

On considère une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a;b]$.
On appelle intégrale de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a;b]$ l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surface comprise entre :

  • $\mathscr{C}_f$, la courbe représentative de la fonction $f$,
  • l’axe des abscisses,
  • les droites d’équations $x=a$ et $x=b$.

On note alors cette intégrale $\displaystyle \int_a^b f(x)\dx$ qui se lit “Intégrale de $a$ à $b$ de $f(x)$ $\dx$”.

 

Exemples :

  • On veut calculer $\displaystyle I = \int_0^4 \left(\dfrac{1}{2}x+1\right)\dx$.
    Il s’agit de calculer l’aire ci-dessous :

    Il s’agit de l’aire d’un trapèze. Donc $I=\dfrac{(1+3)\times 4}{2} = 8$ u.a.
    Où u.a. signifie “unité d’aire”.
  • On veut calculer $\displaystyle J = \int_1^5 |x-2|\dx$.

    On veut donc calculer la somme des aires des deux triangles.
    Par conséquent $J=\dfrac{1\times 1}{2}+\dfrac{3\times 3}{2} = 5$ u.a.

 

Remarques :

  • En physique, on utilise souvent une variable de temps, notée $t$. On va donc souvent rencontrer des intégrales de la forme suivante $\displaystyle \int_a^b f(t)\dt$.
  • Si, dans l’intégrale, on a $a=b$ alors l’intégrale est nulle puisque on cherche à calculer l’aire d’une surface dont la largeur est nulle.

$\quad$


$\quad$

II Primitives d’une fonction

Théorème 1

On considère une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a;b]$. On appelle $F$ la fonction définie sur $[a;b]$ par $F(t) = \displaystyle \int_a^t f(x)\dx$.
La fonction $F$ est alors dérivable sur $[a;b]$ et pour tout $x\in[a;b]$ on a $F'(t) = f(t)$.

Preuve Théorème 1

On ne démontrer ce théorème que dans le cas où $f$ est une fonction continue, positive et strictement croissante.
On considère un réel strictement positif $h$ et un réel $t\in[a;b[$ tels que $t+h\in[a;b]$.
Alors $F(t+h) = \displaystyle \int_a^{t+h} f(x)\dx$ est l’aire comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=a$ et $x=t+h$.
Ainsi $F(t+h)-F(t)$ correspond à l’aire comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=t$ et $x=t+h$.

 

L’aire de la partie bleue est donc comprise entre l’aire du rectangle $ABCD$ et celle de $ABEF$.
Or l’aire du rectangle $ABCD$ vaut $f(t)\times h$ et celle du rectangle $ABEF$ vaut $f(t+h)\times h$.
Par conséquent $f(t) \times h \pp F(t+h)-F(t) \pp f(t+h)\times h$.
Donc $f(t) \pp \dfrac{F(t+h)-F(t)}{h} \pp f(t+h)$.

Par hypothèse la fonction $f$ est continue sur l’intervalle $[a;b]$.
Cela signifie alors que $\lim\limits_{h \rightarrow 0} f(t+h) = f(t)$
D’après le théorème des gendarmes, on a $\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{F(t+h)-F(t)}{h} = f(t)$

On utilise un raisonnement similaire pour montrer que $\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{F(t)-F(t-h)}{h} = f(t)$.

$F$ est donc dérivable sur $[a;b]$ et $F'(t) = f(t)$

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$\quad$

Définition 2

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$. On dit qu’une fonction $F$ est une \textbf{primitive} de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F’=f$

Exemple : On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=x^5-3x^2+2x-1$.
$F$ est dérivable sur $\R$ en tant que polynôme et $F'(x)=5x^4-6x+2$.
On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=5x^4-6x+2$.
La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.

 Propriété 1

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une primitive.

Preuve Propriété 1

On ne va démontrer ce résultat que dans le cas particulier où on considère l’intervalle $I = [a;b]$ et une fonction $f$ admettant un minimum $m$ sur $I$.
On appelle $g$ la fonction définie sur $I$ par $g(x) = f(x)-m$.
Cette fonction $g$ est continue et positive sur l’intervalle $I$.
La fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=\displaystyle \int_a^x g(t)\dt$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $I$.
On appelle $F$ la fonction définie sur $I$ par $F(x) = mx+G(x)$.
La fonction $F$ est dérivable sur $I$ comme somme de fonctions dérivables sur $I$.

$\begin{align*} F'(x) &= m + G'(x) \\
&= m + g(x)\\
&= m + f(x) – m\\
&= f(x)
\end{align*}$

Par conséquent $F$ est une primitive de $f$ sur $I$.

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$\quad$

 Propriété 2

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$.
Deux fonctions $F$ et $G$ sont des primitives de la fonction $f$ sur $I$ si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que $G(x) = F(x) + k$ pour tout $x\in I$.

Preuve Propriété 2

On considère deux primitives $F$ et $G$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$.
On appelle $H$ la fonction définie sur $I$ par $H(x) = G(x)-F(x)$.
Cette fonction $H$ est dérivable sur $I$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Ainsi $H'(x) = G'(x)-F'(x) = f(x)-f(x) = 0$.
La fonction $H$ est donc constante sur $I$.
Il existe donc un réel $k$ tel que $F(x) = G(x) + k$ pour tout $x \in I$.

Réciproquement, on considère une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$ et un réel $k$.
On appelle $G$ la fonction définie sur $\R$ par $G(x) = F(x) + k$.
$G$ est dérivable sur $I$ comme somme de fonctions dérivables sur $I$.
$G'(x) = F'(x) = f(x)$.
Donc $G$ est une primitive de $f$ sur $I$.

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$\quad$

Exemple : Les fonctions $F$ et $G$ définies sur $\R$ par $F(x) = x^3$ et $G(x) = x^3-2$ sont deux primitives de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3x^2$.

Propriété 3

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$, un réel $x_0$ appartenant à $I$ et un réel quelconque $y_0$.
Il existe une unique primitive $F$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$ telle que $F(x_0) = y_0$.

Preuve Propriété 3

La fonction $f$ est continue sur l’intervalle $I$; elle possède donc une primitive $G$ sur $I$.
On note $k = y_0-G(x_0)$ et on appelle $F$ la fonction définie sur $I$ par $F(x) = G(x) + k$.
D’après la propriété précédente $F$ est également une primitive de $f$ et $F(x_0) = G(x_0) + k = y_0$.

Montrons maintenant que cette primitive est unique.
On considère deux primitives $F$ et $G$ de $f$ sur l’intervalle $I$ telles que $F(x_0) = G(x_0)$.
Il existe donc un réel $k$ tel que $F(x) = G(x) + k$ sur $I$.
C’est donc en particulier vrai en $x_0$ : $F(x_0) = G(x_0) + k$.
Puisque $F(x_0) = G(x_0)$ cela signifie que $k = 0$.

Il existe donc une unique primitive $F$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$ telle que $F(x_0) = y_0$.

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$\quad$

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2x + 1$.
On veut déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $\R$ telle que $F(2)=3$
Les primitives de $f$ sont les fonctions $F$ définies par $F(x) = x^2 +k$ où $k \in \R$.
On recherche la valeur de $k$ telle que $F(2) = 2^2+k = 3$ soit $4+k=3$ donc $k = -1$.

Propriété 4 (Primitives usuelles)

$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Fonction } \boldsymbol{f} & \text{Primitive } \boldsymbol{F} & \text{Intervalle} \\
\hline
f(x) = k & F(x) = kx & \R \\
\hline
f(x) = \dfrac{1}{x} & F(x) = \ln x & ]0;+\infty[ \\
\hline
\begin{array}{c} f(x) = x^n \\ n \text{ entier}, n \ne 0 \text{ et } n \ne -1 \end{array} & F(x) = \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} & \begin{array}{c} \R \text{ quand }n>0\\ \text{et } ]-\infty;0[ \text{ ou } ]0;+\infty[ \text{ si } n<-1 \end{array} \\
\hline
f(x)= \e^x & F(x)= \e^x & \R \\
\hline
f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} & F(x)= 2\sqrt{x} & ]0;+\infty[ \\
\hline
f(x) = \cos (ax + b)~~ a \ne 0 & F(x) = \dfrac{1}{a}\sin (ax+b) & \R \\
\hline
f(x) = \sin(ax + b) ~~a \ne 0 & F(x) = -\dfrac{1}{a}\cos(ax+b) &\R \\
\hline
\end{array}$

Exemple : Une primitive de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = \e^x + \dfrac{2}{x}$ est la fonction $F$ définie sur $]0;+\infty[$ par $F(x) = \e^x + 2\ln x$

 Propriété 5

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Fonction} & \text{Primitive} \\
\hline
ku’ \quad k \in \R & ku\\
\hline
\begin{array}{c} u’u^n \quad n \in \Z\setminus \{-1 \} \\ u \text{ ne s’annulant pas si } n<0 \end{array} & \dfrac{1}{n+1} u^{n+1} \\
\hline
\begin{array}{c} \dfrac{u’}{u} \\ u \text{ strictement positive} \end{array} & \ln u \\
\hline
\begin{array}{c} \dfrac{u’}{2\sqrt{u}} \\ u \text{ strictement positive} \end{array} & \sqrt{u} \\
\hline
u’\e^u & \e^u \\
\hline
u’ \sin u & -\cos u \\
\hline
u’ \cos u & \sin u \\
\hline
\end{array}$

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+x+5}$.
Le discriminant associé au dénominateur est négatif : le dénominateur ne s’annule donc jamais et la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.
La fonction $f$ est de la forme $\dfrac{u’}{u}$ avec $u(x) = x^2+x+5$.
Une primitive de la fonction $f$ sur $\R$ est la fonction $F$ définie par $F(x) = \ln \left(x^2+x+5 \right)$.

$\quad$

III Intégrale d’une fonction continue

 Propriété 6

On considère une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ et une primitive $F$ de $f$ sur l’intervalle $[a;b]$.
$$\int_a^b f(x)\dx = F(b) – F(a)$$

Preuve Propriété 6

La fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x) = \displaystyle \int_a^x f(t)\text{d}t$ est une primitive de $f$ sur $I$.
On considère une autre primitive $F$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a;b]$. Il existe alors un réel $k$ tel que $F(x) = G(x) + k$ pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[a;b]$
On a alors :

$\begin{align*} F(b)-F(a) &= G(b)+k-\left(G(a)+k\right) \\
&=G(b)-G(a)\\
&= \int_a^b f(t)\dt – 0\\
&= \int_a^b f(x)\dx
\end{align*}$

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$\quad$

Remarque : On note parfois $F(b)-F(a) = \big[F(x)\big]_a^b$

 

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3 + \e^x$, une primitive de $f$ est $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = \dfrac{1}{4}x^4 + \e^x$

Par conséquent :

$\begin{align*} \int_0^1 \left(x^3 +\e^x\right)\dx &= \big[ F(x)\big]_0^1 \\
&=F(1)-F(0)\\
&= \dfrac{1}{4}+\e-1 \\
&=\e-\dfrac{3}{4} \text{u.a.}
\end{align*}$

 

Définition 3 (Généralisation)

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$, une primitive $F$ de $f$ sur l’intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenant à $I$.
On définit l’intégrale de $f$ sur $[a;b]$ comme étant le nombre $F(b)-F(a)$.
Et on note $\displaystyle \int_a^b f(x)\dx = F(b)-F(a)$.

Propriété 7 (Opérations)

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a$ , $b$ et $c$ trois réels appartenant à l’intervalle $I$.

  1. $\displaystyle \int_a^a f(x)\dx = 0$
  2. $\displaystyle \int_b^a f(x)\dx = – \int_a^b f(x)\dx$
  3. $\displaystyle \int_a^b kf(x)\dx = k \int_a^b f(x)\dx$ pour tout $k \in \R$
  4.  $\displaystyle \int_a^b f(x)\dx + \int_b^c f(x)\dx = \int_a^c f(x)\dx $ (Relation de Chasles)
  5. Si $a<b$ et $f(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[a;b]$ alors $\displaystyle \int_a^b f(x)\dx \pg 0$

 

Preuve Propriété 7

On appelle $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$.

  1. $\displaystyle \int_a^a f(x)\dx = F(a)- F(a) = 0$
  2. $\displaystyle \int_b^a f(x)\dx = F(a)- F(b) = – \left(F(b)-F(a)\right) = – \int_a^b f(x)\dx$
  3. $kF$ est une primitive de $kf$ donc
    $\displaystyle \int_a^b kf(x)\dx = (kF)(b)-(kF)(a)= k\left(F(b)-F(a)\right)=k \int_a^b f(x)\dx$
  4.  $\quad$
    $\begin{align*} \int_a^b f(x)\dx + \int_b^c f(x)\dx &= F(b)-F(a)+F(c)-F(b) \\
    &= F(c)-F(a) \\
    & = \int_a^c f(x)\dx
    \end{align*}$
  5. Il s’agit dans ce cas de figure d’appliquer la définition initiale d’une intégrale : l’aire du domaine est donc positive.

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$\quad$

 Propriété 8

On considère deux fonctions continues $f$ et $g$ sur un intervalle $I$ ainsi que deux réels $a$ et $b$ appartenant à l’intervalle $I$.

  1. $\displaystyle \int_a^b f(x)\dx + \displaystyle \int_a^b g(x)\dx = \displaystyle \int_a^b \left(f(x) + g(x) \right)\dx$
  2. Si $f(x) \pg g(x)$ sur $[a;b]$ alors $\displaystyle \int_a^b f(x)\dx \pg \displaystyle \int_a^b g(x)\dx$

Preuve Propriété 8

  1. $F+G$ est une primitive de $f+g$. Par conséquent
    $\begin{align*}
    \displaystyle \int_a^b \left(f(x) + g(x) \right)\text{d}x &= F(b)+G(b)-F(a)-G(a) \\
    &= F(b)-F(a) + G(b) – G(a) \\
    & = \int_a^b f(x)\text{d}x + \int_a^b g(x)\dx
    \end{align*}$
  2. Si $f(x) \pg g(x)$ sur $[a;b]$ alors $f(x)-g(x) \pg 0$ donc $\displaystyle \int_a^b \left(f(x)-g(x) \right)\dx \pg 0$.
    Par conséquent $\displaystyle \int_a^b f(x)\dx \pg \displaystyle \int_a^b g(x)\dx$.

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$\quad$

 Propriété 9

On considère deux fonctions $f$ et $g$ continues sur l’intervalle $[a;b]$ telles que $g(x) \pp f(x)$ sur cet intervalle. L’aire, en unités d’aire, comprise entre les deux courbes représentant ces fonctions $f$ et $g$ et les droites d’équations $x=a$ et $x=b$ est égale à $\displaystyle \int_a^b \left(f(x)-g(x) \right)\dx$

 Définition 4

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a;b]$. On appelle valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a;b]$ le nombre $M$ défini par :
$$M = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\dx$$

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $\dfrac{2}{x}$.

La valeur moyenne de $f$ sur $[1;4]$ est :

$\begin{align*} M &= \dfrac{1}{4 – 1}\int_1^4 \dfrac{2}{x} \dx \\
&= \dfrac{1}{3} \Big[[2\ln(x)\Big]_1^4 \\
&= \dfrac{2\big(\ln(4)-\ln(1)\big)}{3} \\
&= \dfrac{2\ln(4)}{3}
\end{align*}$