Les suites

I Rappels sur les suites

1. Généralités

Définition 1 : On considère un entier naturel $n_0$.
Une suite numérique $u$ est une fonction de $\N$ dans $\R$ qui associe à tout entier naturel $n \pg n_0$ associe un nombre noté $u_n$.
La suite $u$ peut être également notée $\left(u_n\right)_{n\pg n_0}$ ou $\left(u_n\right)$.
Le nombre $u_n$ est le terme de la suite de rang $\boldsymbol{n}$. Il peut également désigner le terme général de la suite.
Si $n=n_0$, $u_{n_0}$ est appelé le premier terme de la suite.

Exemples :

La suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 2n$. Le premier terme de cette suite est donc $u_0 = 2 \times 0 = 0$.
La suite $v$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par $v_n=\dfrac{2}{n}$. Le premier terme de cette suite est donc $v_1=\dfrac{2}{1} = 2$.

Remarque : Attention à ne pas confondre la suite $\left(u_n\right)$ avec son terme général $u_n$.

Définition 2 : On peut définir une suite $\left(u_n\right)$ :

de façon explicite : le terme général $u_n$ ne dépend que de $n$. Il existe donc une fonction $f$ telle que, pour tout entier naturel $n$ pour lesquels la suite est définie, $u_n=f(n)$.
par récurrence : le terme général $u_n$ dépend d’un ou plusieurs termes précédents.

Exemples :

Définition explicite :
- La suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n=2n+1$ pour tout entier naturel $n$.
- La suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=\sqrt{n}$ pour tout entier naturel $n$.
Suites définies par récurrence :
- La suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases} u_0=1 \\u_{n+1}=u_n+2 \text{ pour tout entier naturel }n \end{cases}$.
- La suite $\left(v_n\right)$ définie par $\begin{cases} v_0=1 \text{ et } v_1=2 \\v_{n+2}=v_{n+1}-2v_n \text{ pour tout entier naturel }n \end{cases}$.

Définition 3 :

Une suite $\left(u_n\right)$ est dite croissante (respectivement strictement croissante) si, et seulement si, $u_{n+1} \pg u_n$ $\big($resp. $u_{n+1} > u_n$ $\big)$ pour tout entier naturel $n$.
Une suite $\left(u_n\right)$ est dite décroissante (respectivement strictement décroissante) si, et seulement si, $u_{n+1} \pp u_n$ $\big($resp. $u_{n+1} < u_n$ $\big)$ pour tout entier naturel $n$.
Une suite $\left(u_n\right)$ est dite (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou (strictement) croissante.
Une suite $\left(u_n\right)$ est dite constante si $u_{n+1}=u_n$ pour tout entier naturel $n$.

Remarques :

Généralement pour montrer qu’une suite est monotone on va étudier le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$.
Si $u_{n+1}-u_n \pg 0$ alors la suite est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n \pp 0$ alors la suite est décroissante.
Les définitions précédentes peuvent être généralisée au cas où la suite est monotone ou constante à partir d’un rang $p$.

Exemple : On veut étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=\sqrt{n}$
$$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \\
&=\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) \times \dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\
&=\dfrac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\
&=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}
\end{align*}$$
Une racine carrée est toujours positive donc $\sqrt{n+1}+\sqrt{n} > 0$.
Par conséquent $u_{n+1}-u_n > 0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.

Remarque : A la deuxième ligne, on a multiplié l’expression par $1$ sous une forme particulière de façon à faire apparaître une identité remarque. On dit qu’on a multiplié par l'{expression conjuguée}.

Définition 4 :

On dit qu’une suite $\left(u_n\right)$ est minorée si, et seulement si, il existe un réel $m$ tel que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg m$ ou encore $u_n-m \pg 0$.
On dit qu’une suite $\left(u_n\right)$ est majorée si, et seulement si, il existe un réel $M$ tel que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pp M$ ou encore $u_n-M \pp 0$.
Une suite $\left(u_n\right)$ est dite bornée si elle est à la fois minorée et majorée.

Exemple : Montrons que la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{3n+1}{n+1}$ est majorée par $3$.
$$\begin{align*}
u_n-3&=\dfrac{3n+1}{n+1}-3 \\
&=\dfrac{3n+1}{n+1}-\dfrac{3(n+1)}{n+1}\\
&=\dfrac{3n+1-3n-3}{n+1}\\
&=\dfrac{-2}{n+1}
\end{align*}$$
Pour tout entier naturel $n$, on a $n+1>0$.
Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n-3<0$.
La suite $\left(u_n\right)$ est bien majorée par $3$.

Remarque : Le majorant qu’on obtient n’est pas toujours le “meilleur” majorant.
Dans l’exemple précédent, on aurait pu montrer que $u_n-4<0$ également.

2. Les suites arithmétiques

Définition 5 : Une suite $\left(u_n\right)$ est dite arithmétique s’il existe un nombre réel $r$ tel que, pour tout entier naturel $n$, on ait $u_{n+1}-u_n=r$.
Le nombre $r$ est appelé la raison de la suite arithmétique.

Exemple : La suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases} u_0=2\\u_{n+1}=u_n+4 \end{cases}$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0=2$ et de raison $4$.

Propriété 1 :

On considère une suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $r$ et de premier terme $u_0$.
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=u_0+nr$.
On considère une suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $r$ et de premier terme $u_1$.
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_n=u_1+(n-1)r$.

Remarque : D’une manière générale $u_n=u_p+(n-p)r$ pour tout entier naturel $n \pg p$.

Exemple : On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0=2$ et de raison $4$.
Alors, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=2+4n$.

Propriété 2 : On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $r$.

Si $r<0$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
Si $r>0$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.
Si $r=0$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est constante.

Exemple : La raison de la suite arithmétique de l’exemple précédent est $r=4 > 0$. Cette suite est donc strictement croissante.

Propriété 3 : On considère une suite arithmétique $\left(u_n\right)$.
Pour déterminer la somme de termes consécutifs de cette suite, on utilise la formule suivante : $$S=\text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}$$
En particulier, $s_n=u_0+u_1+\ldots+u_n=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}$.

Exemple : On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0=2$ et de raison $4$.
$S_n=(n+1)\dfrac{2+2+4n}{2}=(n+1)(2+2n)$

3. Les suites géométriques

Définition 6 : Une suite $\left(u_n\right)$ est dite géométrique s’il existe un nombre $q$ tel que, pour tout entier naturel $n$, on ait $u_{n+1}=u_n\times q$.
Le nombre $q$ est appelé la raison de la suite.

Exemple : La suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases} u_0=3\\u_{n+1}=2u_n\end{cases}$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=3$ et de raison $3$.

Propriété 4 :

On considère une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0$ et de raison $q$.
Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=u_0 \times q^n$.
On considère une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_1$ et de raison $q$.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=u_1 \times q^{n-1}$.

Remarque : D’une manière générale $u_n=u_p\times q^{n-p}$ pour tout entier naturel $n \pg p$.

Exemple : On considère la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0=3$ et de raison $2$.
Alors, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=3\times 2^n$.

Propriété 5 : On considère une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q$.

Si $u_0 > 0$
- si $q> 1$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
- si $0<q< 1$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
Si $u_0 < 0$
- si $q> 1$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
- si $0<q< 1$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

Exemple : Dans l’exemple précédent, le premier terme est $u_0=3$ et la raison de la suite géométrique est $q=2$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.

Propriété 6 : On considère une suite géométrique de raison $q\neq 1$.
Pour déterminer la somme de termes consécutifs de la suite, on utilise la formule $$S=\text{premier terme} \times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$$
En particulier $S_n=u_0+u_1+\ldots+u_n=u_0\times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Exemple : On considère la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0=3$ et de raison $2$.
Alors $S_n=3\times \dfrac{1-2^{n+1}}{1-2} = 3\left(2^{n+1}-1\right)$.

II Limite d’une suite

1. Limite infinie

Définition 7 :

On dit qu’une suite $\left(u_n\right)$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle ouvert de la forme $]a;+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un rang donné $n_0$.
On note alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
On dit qu’une suite $\left(u_n\right)$ tend vers $-\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle ouvert de la forme $]-\infty;b[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un rang donné $n_0$.
On note alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty$.

Représentation graphique dans le cas où $\boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty}$

Exemples :

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n=n^2$.
Pour tout réel $a \pg 0$, si $n \pg \sqrt{a}$ alors $u_n=n^2 \pg a$.
Donc, pour tout entier naturel $n \pg \sqrt{a}$, $u_n \in ]a;+\infty[$.
Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=-\sqrt{n}$.
Pour tout réel $b \pp 0$, si $n \pg b^2$ alors $v_n=-\sqrt{n}\pp -|b|$ soit $v_n \pp b$.
Donc, pour tout entier naturel $n \pg b^2$, $v_n \in ]-\infty;b[$.
Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=-\infty$.
$\lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty$, $\quad \lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$ (limites à connaître)

2. Limite finie

Définition 8 : On dit qu’une suite $\left(u_n\right)$ tend (ou converge) vers un réel $\ell$ lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient également tous les termes de la suite à partir d’un rang donné $n_0$.
On écrit alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =\ell$.
Si une suite n’est pas convergente est alors dite divergente.

Remarque : Une suite peut être divergente pour plusieurs raisons : elle n’a pas de limite ou elle tend vers $\pm \infty$.

Exemples :

Limites de suites convergentes à connaître $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0 \quad \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0 \quad \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^{\alpha}} = 0$ avec $\alpha > 0$.
$(-1)^n = \begin{cases} 1 \quad \text{si }n \text{est pair} \\-1 \quad \text{sinon}\end{cases}$ est le terme général d’une suite sans limite donc divergente.

Représentation graphique d’une suite convergente

Propriété 7 : Si une suite $\left(u_n\right)$ converge alors sa limite est unique.

Preuve Propriété 7

On considère une suite $\left(u_n\right)$ convergente.
Raisonnons par l’absurde et supposons que la suite possède deux limites $\ell_1$ et $\ell_2$.
On note $d = \left|\ell_1-\ell_2\right|$ la distance séparant les deux limites.
Par définition, il existe un rang $n_1$ à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle $I_1=\left]\ell_1-\dfrac{d}{3};\ell_1+\dfrac{d}{3}\right[$ et il existe un rang $n_2$ à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle $I_2=\left]\ell_2-\dfrac{d}{3};\ell_2+\dfrac{d}{3}\right[$.
On appelle $n_0=\max\left(n_1,n_2\right)$.
Donc, pour tout entier naturel $n \pg n_0$, $u_n\in I_1$ et $u_n \in I_2$.
Or ces deux intervalles sont disjoints. Par conséquents $u_n$ ne peut pas appartenir à la fois à $I_1$ et à $I_2$.
La suite $\left(u_n\right)$ possède donc une unique limite.

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3. Propriétés

Théorème 1 : On considère une fonction $f$ possédant une limite en $+\infty$ et une suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_n=f(n)$ pour tout entier naturel $n$.
On a alors $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$.

Exemple : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n=2n+1$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=f(n)$ où $f$ est la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=2x+1$.
$f$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est strictement positif. Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$ et ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.

Remarque : La notion de limite de fonctions est vue dans un autre chapitre de TS.

Théorème 2 : On considère une suite $\left(u_n\right)$ définie par la relation de récurrence $\begin{cases} u_0 \in \R \\u_{n+1}=f\left(u_n\right) \end{cases}$ où $f$ est une fonction continue.
Si la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$ alors il vérifie $\ell =f(\ell)$

Remarque : La notion de fonction continue est vue dans un autre chapitre. Ce théorème n’est pas explicitement au programme.

Exemple : On admet que la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases} u_0=2 \\u_{n+1}=\sqrt{2u_n-1}\end{cases}$ converge vers un réel $\ell$.
On a alors, d’après le théorème précédent :
$$\begin{align*} \ell =\sqrt{2\ell-1} &\ssi \ell^2 = 2\ell-1 \\
&\ssi \ell^2-2\ell+1=0 \\
&\ssi (\ell-1)^2=0 \\
&\ssi \ell=1
\end{align*}$$
La suite $\left(u_n\right)$ converge donc vers $1$.

III Opérations sur les limites

Dans les trois tableaux suivants, FI (Forme Indéterminée) signifie qu’il est impossible de prévoir la limite associée. Le résultat dépend des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.

Propriété 8 : (Somme)
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\lim\limits_{n \to +\infty} u_n&L&L&L&+\infty&+\infty&-\infty \\
\hline
\lim\limits_{n \to +\infty} v_n&L’&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&-\infty\\
\hline
\lim\limits_{n \to +\infty} u_n+v_n&L+L’&+\infty&-\infty&+\infty&\text{FI}&-\infty\\
\hline
\end{array}$$

Exemple : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=n^2+n$.
$\lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty$
Par somme, on obtient donc que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.

Propriété 9 : (Produit)
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\lim\limits_{n \to +\infty} u_n&L&L\neq 0&0&+\infty&+\infty&-\infty \\
\hline
\lim\limits_{n \to +\infty} v_n&L’&\pm\infty&\pm\infty&+\infty&-\infty&-\infty\\
\hline
\lim\limits_{n \to +\infty} u_n\times v_n&L\times L’&\pm\infty&\text{FI}&+\infty&-\infty&+\infty\\
\hline
\end{array}$$
Le signe du $\pm \infty$ dépend du signe de $L$ et du signe de l’infini considéré pour la limite de $\left(v_n\right)$.

Exemple : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=2n^2-5n+4$.
On a $\lim\limits_{n\to +\infty}2n^2=+\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} -5n+4=-\infty$. Tel quel on obtient une forme indéterminée.
On va factoriser par le terme de plus haut degré.
Pour tout entier naturel non nul on a :
$u_n=n^2\left(2-\dfrac{5}{n}+\dfrac{4}{n^2}\right)$.
$\lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty$
$\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{5}{n} = 0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{4}{n^2}=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 2-\dfrac{5}{n}+\dfrac{4}{n^2}=2$.
Ainsi par produit, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.

Propriété 10 : (Quotient)
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\lim\limits_{n \to +\infty} u_n&L&L&0&L&\pm\infty&\pm\infty \\
\hline
\lim\limits_{n \to +\infty} v_n&L’\neq 0&0&0&\pm\infty&L’&\pm\infty\\
\hline
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}&\dfrac{L}{L’}&\pm\infty&\text{FI}&0&\pm\infty&\text{FI}\\
\hline
\end{array}$$
Le signe des $\pm \infty$ dépend du signe de $L$ ou de celui $L’$.

Exemple : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=\dfrac{n^2+3}{3n^2+2n+1}$
$\lim\limits_{n \to +\infty} n^2+3=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} 3n^2+2n+1=+\infty$.
On est donc en présence d’une forme indéterminée.
On va factoriser le numérateur et le dénominateur par son terme de plus haut degré.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul :
$u_n=\dfrac{n^2\left(1+\dfrac{3}{n^2}\right)}{n^2\left(3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)} = \dfrac{1+\dfrac{3}{n^2}}{3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}}$.
Or $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{3}{n^2}=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1+\dfrac{3}{n^2}=1$
$\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{2}{n}=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2}=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}=3$
Par quotient, on obtient donc que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\dfrac{1}{3}$.

IV Théorèmes de comparaison

Théorème 3 : (Théorème des gendarmes)
On considère trois suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ telles que $u_n \le v_n \le w_n$ à partir d’un certain rang.
Si $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} w_n=\ell$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=\ell$.

Preuve Théorème 3

On considère un intervalle ouvert $I$ contenant $\ell$.
La suite $(u_n)$ converge vers $\ell$. Soit $n_1$ le rang à partir duquel $I$ contient tous les termes de la suite $(u_n)$
La suite $(w_n)$ converge vers $\ell$. Soit $n_2$ le rang à partir duquel $I$ contient tous les termes de la suite $(w_n)$
A partir du rang $n_3$ on a $u_n \le v_n \le w_n$.
On appelle $n_0$ le maximum des entiers $n_1$, $n_2$ et $n_3$.
Par conséquent, pour tout $n \pg n_0$, $I$ contient tous les termes des suites $(u_n)$ et $(w_n)$ et on a $u_n \pp v_n \pp w_n$.
Cela signifie donc que l’intervalle $I$ contient également tous les termes de la suite $v_n$.
Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \ell$.

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Exemple : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par $u_n=\dfrac{\cos n}{n^2}$.
On sait que, pour tout entier naturel, $-1 \pp \cos n \pp 1$.
Donc, pour tout entier naturel non nul $n$, on a $\dfrac{-1}{n^2} \pp u_n \pp \dfrac{1}{n^2}$.
Or $\lim\limits_{n \to +\infty} -\dfrac{1}{n^2}=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2}=0$.
D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$.

Théorème 4 : (Théorème de comparaison)
On considère deux suites réelles $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$

Si à partir d’un rang donné $u_n \pg v_n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
Si à partir d’un rang donné $u_n \pg v_n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = -\infty$

Preuve Théorème 4

On considère un intervalle $]a;+\infty[$ où $a$ est un réel. On veut montrer que cet intervalle contient tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ à partir d’un rang $n_0$.
$\left(v_n\right)$ tend vers $+\infty$ donc il existe un rang $n_1$ à partir duquel $v_n > a$.
On a de plus $u_n \pg v_n$ à partir du rang $n_2$.
Posons $n_0$ le plus grand des deux entiers $n_1$ et $n_2$. A partir de ce rang $n_0$ on a donc $u_n \pg v_n > a$.
Par conséquent $(u_n)$ tend vers $+\infty$.

On montre de la même façon la deuxième partie de ce théorème.

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V Limites de suites arithmétiques et géométriques

1. Suites arithmétiques

Propriété 11 : On considère une suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0$ et de raison $r$.

Si $r>0$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
Si $r<0$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty$.

Preuve Propriété 11

Pour tous entiers naturels $n$, on a $u_n=u_0+nr$.

Si $r>0$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty} rn=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$
Si $r<0$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty} rn=-\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty$

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Remarque : Si $r=0$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est constante et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=u_0$.

2. Suites géométriques

Avant de donner la propriété sur les limites des suites géométriques on va donner un résultat intermédiaire.

Propriété 12 : Pour tous réels $a$ strictement positifs et pour tous entiers naturels $n$ on a : $$(1+a)^n \pg 1+na$$

Preuve Propriété 12

Nous allons montrer cette propriété par récurrence.
Initialisation : Si $n=0$ alors $(1+a)^0=1$ et $1+na=1$.
Par conséquent $(1+a)^n \pg 1+na$ et la propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $(1+a)^n \pg 1+na$.
$$\begin{align*}
(1+a)^{n+1}&=(1+a)^n \times (1+a) \\
& \pg (1+na)(1+a) \\
& \pg 1+a+na+na^2 \\
& \pg 1+(n+1)a+na^2 \\
& \pg 1+(n+1)a \quad \text{car } na^2 \pg 0
\end{align*}$$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $(1+a)^n \pg 1+na$.

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Propriété 13 : On considère une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0$ et de raison $q$ non nulle.

Si $-1<q<1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$
Si $q=1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=u_0$
Si $q>1$ alors $\begin{cases} \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty \text{ si } u_0>0 \\ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty \text{ si } u_0<0 \end{cases}$
Si $q<-1$ alors la suite $\left(u_n\right)$ ne possède pas de limite

Preuve Propriété 13

On ne va montrer ici que la propriété : si $q>1$ alors $\begin{cases} \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty \text{ si } u_0>0 \\ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty \text{ si } u_0<0 \end{cases}$
Si $q>1$, il existe alors un réel $a$ tel que $q=1+a$.
Ainsi $q^n =(1+a)^n \pg 1+na$.
Or $\lim\limits_{n \to +\infty} 1+na=+\infty$.
D’après le théorème de comparaison $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty$.
Puisque $u_n=u_0\times q^n$ pour tout entier naturel $n$ on a alors $\begin{cases} \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty \text{ si } u_0>0 \\ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty \text{ si } u_0<0 \end{cases}$.

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Exemples :

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n=3 \times 0,3^n$.
Il s’agit d’une suite géométrique de raison $0,3$.
Puisque $-1<0,3<1$ cela signifie que $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n =0$.
On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=-3\times 2^n$.
Il s’agit d’une suite géométrique de raison $2$.
Puisque $2> 1$ et que $u_0=-3<0$ cela signifie que $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=-\infty$.

VI Convergence des suites monotones

Propriété 14 : On considère une suite $\left(u_n\right)$ croissante.
Si $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = \ell$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est majorée par $\ell$, c’est-à-dire que pour tout entier naturel $n$, $u_n\pp \ell$.

Preuve Propriété 14

Nous allons utiliser un raisonnement par l’absurde.
On suppose qu’il existe un rang $n_0$ tel que $u_{n_0} > \ell$.
Ainsi $\ell \in I=\left]\ell-1;u_{n_0}\right[$.
Puisque $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\ell$ alors l’intervalle $I$ doit contenir tous les termes de la suite à partir d’un rang donné.
Or la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
Donc pour tout entier naturel $n\pg n_0$, $u_n \pg u_{n_0}$ et $u_n \notin I$ (ce qui absurde).
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pp \ell$.

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Propriété 15 : Si $\left(u_n\right)$ est une suite convergente alors elle est bornée.

Preuve Propriété 16

On a $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\ell$.
On appelle $n_0$ le rang à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle $]\ell-1;\ell+1[$.
Soit $m=\min\left(u_0,u_1,\ldots,u_{n_0},\ell-1\right)$ et $M=\max\left(u_0,u_1,\ldots,u_{n_0},\ell+1\right)$
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $m \pp u_n \pp M$.

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Remarque : La réciproque de cette propriété est fausse: ce n’est pas parce qu’une suite est bornée qu’elle converge nécessairement. La suite dont le terme général est $(-1)^n$ est bornée et diverge.

Propriété 16 : (contraposée)
Une suite non bornée diverge.

Théorème 5 : On considère une suite $\left(u_n\right)$.

Si $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée alors elle converge.
Si $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée alors elle converge.

Exemple : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n=3-\dfrac{1}{n+1}$ pour tout entier naturel $n$.
$$\begin{align*}
u_{n+1}-u_n&=3-\dfrac{1}{n+2}-\left(3-\dfrac{1}{n+1}\right) \\
&=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2} \\
&=\dfrac{n+2-n-1}{(n+1)(n+2)} \\
&=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}
\end{align*}$$
Ainsi la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
De plus $u_n-3=-\dfrac{1}{n+1} <0$. Elle est donc majorée par $3$.
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée : elle converge.

Remarque : Le majorant ou le minorant n’est pas nécessairement la limite de la suite.

Théorème 6 : On considère une suite $\left(u_n\right)$.

Si $\left(u_n\right)$ est croissante et non majorée alors $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
Si $\left(u_n\right)$ est décroissante et non minorée alors $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty$

Preuve Théorème 6

Puisque $\left(u_n\right)$ n’est pas majorée, pour tout réel $A$ il existe un rang $n_0$ pour lequel $u_{n_0} \pg M$.
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante. Donc, pour tout entier naturel $n\pg n_0$, $u_n \pg u_{n_0} \pg M$.
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
Une démonstration analogue est valable pour le deuxième point.

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