Lois de probabilité à densité

I Généralités

Les variables aléatoires qui ont été étudiées jusqu’à présent prenaient des valeurs discrètes, c’est-à-dire qu’il y avait nécessairement un écart entre toutes les valeurs. Dans ce chapitre, on va s’intéresser à des variables aléatoires qui vont prendre des valeurs dans un intervalle $I$ de $\R$. Ces variables aléatoires vont alors être qualifiées de \textbf{continue}.

Exemple : La variable aléatoire mesurant la durée de vie d’un composant électronique est une variable aléatoire continue.

Définition 1 : On dit qu’une fonction est une fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoire $X$ sur un intervalle $I$ si :

$f$ est définie, continue et positive sur $I$
$\displaystyle \int_I {f(x)\dx} = 1$

Remarque : En fonction du type d’intervalles rencontrés on va utiliser les notations suivantes :

Si $I = [a;b]$ alors $\displaystyle \int_I {f(x)\dx} = \int_a^b {f(x)\dx}$.
Si $I=[a;+\infty[$ alors $\displaystyle \int_I {f(x)\dx} = \lim\limits_{t \rightarrow +\infty} \int_a^t {f(x)\dx}$
Si $I=]-\infty;a]$ alors $\displaystyle \int_I {f(x)\dx} =\lim\limits_{t \rightarrow -\infty} \int_t^a {f(x)\dx}$

Exemple de fonctions de densité : Montrons que la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;4]$ par $f(x)=\left(\dfrac{x}{4} \right)^3 $ est une fonction de densité.

$f$ est continue sur $[0;4]$ en tant que produit de fonctions continues.
Sur $[0;4]$, $x$ est positif donc $\dfrac{x}{4}\pg 0$ et par conséquent $f(x) \pg 0$.
$\displaystyle \int_0^4\left(\dfrac{x}{4}\right)^3\dx =\left(\dfrac{1}{4}\right)^3\int_0^4 x^3\dx= \left[\dfrac{1}{4^3}\times \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^4=\dfrac{1}{4^4}\times 4^4=1$

$f$ est donc bien une fonction de densité sur l’intervalle $[0;4]$.

Propriété 1 : On considère est une variable aléatoire $X$ de fonction de densité $f$. Quel que soit l’intervalle $[a;b]$ de $I$ on a :

$$P(X\in[a;b]) = P(a \pp X \pp b) = \displaystyle \int_a^b{f(x)\dx}$$

Propriété 2 : On considère une variable aléatoire $X$ définie sur $I$ de fonction de densité $f$.

$P(X \in I) = 1$
$\forall \alpha \in \R, P(X = \alpha) = \displaystyle \int_{\alpha}^{\alpha} {f(x)\dx} = 0$
Pour tous réels $a$ et $b$, $P\left(X \in [a;b]\right) = P\left(X\in]a;b]\right)= P\left(X\in]a;b[\right)= P\left(X\in[a;b[\right)$
Pour tout réel $a$, $P(X > a) = P(X \ge a)$

Exemple : Si on prend la fonction de densité $f$ de l’exemple précédent définie par $f(x) = \left(\dfrac{x}{4} \right)^3 \text{ sur } [0;4]$ :

$P(1 < X < 3) = \displaystyle \int_1^3 \left(\dfrac{x}{4} \right)^3 \dx = \left[\dfrac{x^4}{4^4}\right]_1^3 = \dfrac{5}{16}$

Définition 2 : On considère une variable aléatoire $X$ définie sur un intervalle $I$ de fonction de densité $f$. On appelle espérance mathématique de $\boldsymbol{X}$ le nombre défini par :

$$E(X) = \int_I {xf(x)\dx}$$

Remarque : On parle parfois de moyenne de la variable aléatoire $X$ pour désigner $E(X)$.

Exemple : Si $f(x) = \left(\dfrac{x}{4} \right)^3 \text{ sur } [0;4]$ alors :
$\begin{align*} E(X) &= \displaystyle \int_0^4{x\left(\dfrac{x}{4} \right)^3 \dx}\\
&= \left[\dfrac{x^5}{5\times 4^3}\right]_0^4 \\
&= \dfrac{16}{5}\end{align*}$

$\quad$

II Loi uniforme

Définition 3 : On appelle loi uniforme sur l’intervalle $\boldsymbol{[a;b]}$ la loi de probabilité associée à la fonction de densité $f$ définie sur $\R$ par :

$$f(t) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a} \quad \text{si } a \pp t \pp b \\ \\0 \quad \text{sinon} \end{cases}$$

Remarque: La loi uniforme modélise le tirage aléatoire d’un nombre compris entre $a$ et $b$.

Propriété 3 : On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi uniforme sur l’intervalle $[a;b]$.

si $x < a$ alors $P(X \pp x) = 0$
si $a \pp x \pp b$ alors $P(X \pp x) = \dfrac{x-a}{b-a}$
si $x > b$ alors $P(X \pp x) = 1$

Preuve Propriété 3

Si $x < a$ alors $P(X \pp x) = \displaystyle \int_a^x {f(t)\dt} = -\int_x^a {f(t)\dt} = – \int_x^a 0 \dt = 0$.
$\quad$
Si $a \pp x \pp b$ alors $P(X \pp x) = \displaystyle \int_a^x {f(t)\dt} = \int_a^x{\dfrac{1}{b-a}\dt} = \dfrac{x-a}{b-a}$.
$\quad$
Si $x>b$ alors $P(X \pp x) = \displaystyle \int_a^x{f(t)\dt} = \int_a^b{f(t)\dt} + \int_b^x{f(t)\dt} = 1 + \int_b^x{0\dt} = 1$.

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$\quad$

Propriété 4 : On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi uniforme sur l’intervalle $[a;b]$ et deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $a \pp \alpha \pp \beta \pp b$ alors :

$$P(\alpha \pp X \pp \beta) = P(X \pp \beta)-P(X \pp \alpha) = \displaystyle \int_\alpha^\beta \dfrac{1}{b-a}\dt = \dfrac{\beta-\alpha}{b-a}$$

Exemple : On considère la variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;20]$.
$P(5 \pp X \pp 10) = P(X \pp 10)-P(X\pp 5)=\dfrac{10-0}{20-0}-\dfrac{5-0}{20-0} = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$.

Mais d’après la propriété précédente on peut aussi écrire $P(5 \pp X \pp 10) = \dfrac{10-5}{20-0}=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}$.

Propriété 5 :

On considère un variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[a;b]$ alors l’espérance de cette variable aléatoire est $E(X) = \dfrac{a+b}{2}$.

Preuve Propriété 5

$\begin{align*}
E(X) & = \int_a^b {\dfrac{t}{b-a}\dt} \\
& = \dfrac{1}{b-a} \int_a^b {t\dt} \\
& = \dfrac{1}{b-a}\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_a^b \\
& = \dfrac{b^2 -a^2}{2(b-a)} \\
& = \dfrac{(b+a)(b-a)}{2(b-a)} \\
& = \dfrac{b+a}{2}
\end{align*}$

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Exemple : Si la variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;20]$ alors $E(X) = \dfrac{20 + 0}{2} = 10$.

$\quad$

III Loi exponentielle

Définition 4 : On considère un réel $\lambda > 0$. on dit qu’une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\boldsymbol{\lambda}$ si sa fonction de densité $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x) = \lambda\e^{-\lambda x}$.

Propriété 6 : Si la variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ alors, pour tous réels $a$ et $b$ tel que $ 0 \pp a \pp b$ on a :

$P(a \pp X \pp b) = \e^{-\lambda a}-\e^{-\lambda b}$
$P(X \pp b) = 1-\e^{-\lambda b}$
$P(X \pg a) = \e^{-\lambda a}$

Preuve Propriété 6

$P(a \pp X \pp b) = \displaystyle \int_a^b {\lambda\text{e}^{-\lambda t}\dt} = \left[-\e^{-\lambda t} \right]_a^b = \e^{-\lambda a}-\e^{-\lambda b}$
$\quad$
$P(X \pp b) = P(0 \pp X \pp b) = 1-\e^{-\lambda b}$
$\quad$
$P(X \pg a) = 1-P(X < a) = 1-P(X \pp a) = \e^{-\lambda a}$

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$\quad$

Exemple : Si $\lambda = 0,2$ alors $P(1 \pp X \pp 2) = \e^{-0,2\times 1}-\e^{-0,2\times 2}=\e^{-0,2}-\e^{-0,4}\approx 0,148$

Propriété 7 : On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
Son espérance mathématique est alors $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.

Preuve Propriété 7

$\displaystyle E(X) = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \int_0^x {\lambda t \e^{-\lambda t}\dt}$.

Déterminons une primitive de $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(t) = \lambda t \e^{-\lambda t}$

On appelle $F$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $F(t) = (\alpha t + \beta)\e^{-\lambda t}$ ($\alpha$ et $\beta$ étant $2$ réels).

$F$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle et
$F'(t) = (\alpha-\alpha \lambda t-\lambda \beta)\e^{-\lambda t} = (-\alpha \lambda t+ \alpha-\lambda \beta) \e^{-\lambda t}$.
Si on pose $\alpha = -1$ et $\beta = -\dfrac{1}{\lambda}$. Alors $F'(t) = f(t)$.

Par conséquent $F$ est une primitive de $f$.

Pour tout $x > 0$, on a $\displaystyle \int_0^x \lambda t \e^{-\lambda t} \dt = \Big[F(x)\Big]_0^{\lambda} = \left(-x-\dfrac{1}{\lambda} \right) \e^{-\lambda x} + \dfrac{1}{\lambda}$

Donc :
$\begin{align*} \displaystyle E(X) &= \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \int_0^x \lambda t \e^{-\lambda t}\dt \\
&= \lim\limits_{x \rightarrow + \infty} \left(\left(-x – \dfrac{1}{\lambda} \right) \e^{-\lambda x} + \dfrac{1}{\lambda}\right)\\
&= \dfrac{1}{\lambda} \text{ car } \lim\limits_{X \to -\infty} X\e^X \\
&=0\end{align*} $.

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$\quad$

Exemple : Si $\lambda = 0,2$ alors $E(X) = \dfrac{1}{0,2}=5$

Propriété 8 (durée de vie sans vieillissement) : On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ alors, pour tous réels $t$ et $h$ strictement positifs on a:

$$P_{X \ge t}(X \ge t+h) = P(X \ge h)$$

Preuve Propriété 8

$\begin{align*} P_{X \ge t}(X \ge t+h) &= \dfrac{P\left((X \ge t) \cap (X \ge t+h) \right)}{P(X \ge t)}\\
&= \dfrac{P(X \ge t+h)}{P(X \ge t)}\\
&= \dfrac{\e^{-\lambda (t+h)}}{\e^{-\lambda t}}\\
& = \e^{-\lambda h} = P(X \ge h)
\end{align*}$

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$\quad$

Remarque : Cela signifie donc que cette probabilité conditionnelle ne dépend que du délai $h$ et pas du moment $t$ à partir duquel on observe le phénomène.

Exemple : Si la variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2$ alors :

$P_{X \ge 1}(X \ge 3) = P_{X \ge 1}(X \ge 1+2) = P(X \ge 2) = \e^{-0,4}$

$\quad$

Cas d’utilisation de la loi exponentielle : La loi exponentielle permet de modéliser des phénomènes dont la durée de vie n’est pas affectée par l’âge.

Exemples :

la magnitude des tremblements de terre
la désintégration d’un noyau radioactif
la durée de vie de composants électroniques
…

$\quad$

IV Loi normale centrée réduite $\boldsymbol{\mathscr{N}(0;1)}$

Définition 5 : On dit qu’une variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite $\mathscr{N}(0;1)$ si sa densité de probabilité est la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-t^2/2}$.

Propriété 9 :

L’aire du domaine situé sous la courbe et au-dessus de l’axe des abscisses vaut $1$.
La courbe $\mathscr{C}_f$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Le maximum de $f$ est atteint en $0$

$\quad$

Propriété 10 : Si $X$ suit la loi normale centrée réduite alors son espérance mathématique est $E(X) = 0$.

Preuve Propriété 10

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t) = \dfrac{t}{\sqrt{2\pi}}\e^{-t^2/2}$.
Une primitive de $f$ est donc $F$ définie sur $\R$ par $F(t) = \dfrac{-1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-t^2/2}$.
Donc $\displaystyle \int_0^x f(t)\dt = \Big[F(t)\Big]_0^x=F(x)-F(0)$ et $\displaystyle \int_y^0 f(t)\dt = \Big[F(t)\Big]_y^0=F(0)-F(y)$.
Mais $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} F(x) = \lim\limits_{y \rightarrow -\infty} F(y) = 0$

Donc $E(X) = \displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \int_0^x f(t)\dt + \lim\limits_{y \rightarrow -\infty} \int_y^0 f(t)\dt = F(0)-F(0) = 0$

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$\quad$

Propriété 11 : La variance d’une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale centrée réduite est $V(X) = E \left((X-E(X))^2\right) = 1$.

$\quad$

Propriété 12 : On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale centrée réduite de fonction de densité $f$.
Pour tout réel $x$ on a : $$\Phi(x) = P(X \pp x) = \displaystyle \int_{-\infty}^{x} {f(t)\dt} = \dfrac{1}{2} + \int_{0}^{x} {f(t)\dt}$$

On utilise, par conséquent, les méthodes suivantes pour calculer les probabilités dans les cas suivants :

Propriété 13 : On considère un réel $a$.

$P(X \pp -a) = P(X \pg a)$
$\Phi(-a) = 1-\Phi(a)$
$P(-a \pp X \pp a) = 2\Phi(a)-1$

Preuve Propriété 13

La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
$\quad$
$\Phi(-a) = P(X \pp -a) = P(X \pg a) = 1-P(X <a) = 1-\Phi(a)$
$\quad$
$P(-a \pp X \pp a) = P(X \pp a)-P(X < -a) = \Phi(a)-\left(1-\Phi(a) \right) = 2\Phi(a)-1$
$\quad$

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$\quad$

Exemples :

$P(X \pp 2) = \Phi(2) \approx 0,977~2$
$P(X \pg 2) = 1-\Phi(2) \approx 0,022~8$
$P(X \pp -2) = 1-\Phi(2) \approx 0,022~8$
$P(-2 \pp X \pp 2) = 2\Phi(2)-1 \approx 0,954~5$

Propriété 14 : On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale centrée réduite.

Pour tout $\alpha \in ]0;1[$ il existe un unique réel positif $u_\alpha$ tel que $P(-u_{\alpha} \pp X \pp u_{\alpha}) = 1-\alpha$.

Preuve Propriété 14

On considère la fonction $F$ définie sur $[0;+\infty[$ par $F(u) = P(-u \pp X \pp u) = \displaystyle \int_u^u f(t)\dt$ où $f$ est la fonction de densité de la loi normale centrée réduite.
$F$ est donc une fonction continue sur $[0;+\infty[$.
La fonction de densité $f$ est strictement positive sur $\R$. La fonction $F$ est par conséquent strictement croissante sur $\R$

De plus, on a $F(0) = 0$ et $\lim\limits_{u \rightarrow +\infty} F(u) = 1$.
Pour tout réel $\alpha \in ]0;1[$ on a $0 < 1-\alpha < 1$.
D’après le théorème de la bijection, il existe donc un unique réel positif $u_\alpha$ tel que : $F(u_\alpha) = 1-\alpha$.

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$\quad$

Propriété 15 : Voici $2$ valeurs approchées particulières de $u_\alpha$ à connaître :

$u_{0,05} = 1,96$
$u_{0,01} = 2,58$

Remarque : Ces valeurs seront utilisées dans le chapitre sur l’échantillonnage et les intervalles de fluctuation.

Théorème 1 (Théorème de Moivre-Laplace) :

On considère un entier naturel non nul $n$, un réel $p \in ]0;1[$ et une une variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathscr{B}(n;p)$. On considère la variable aléatoire $Z_n = \dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$.

Alors pour tous les réels $a$ et $b$ tels que $a < b$, on a $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} P(a \pp Z_n \pp b) = \displaystyle \int_a^b {\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-t^2/2}\dt}$

Remarque : Les calculs liés à une loi binomiale pour $n$ très grand deviennent vite compliqués pour les ordinateurs. Le théorème précédent permet de trouver rapidement des valeurs approchées.

$\quad$

V Loi Normale $\boldsymbol{\mathscr{N}(\mu;\sigma^2)}$

Définition 6 :On considère deux réels strictement positifs $\mu$ et $\sigma$. On dit que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale $\mathscr{N}(\mu;\sigma^2)$ si, et seulement si, la variable aléatoire $X’ = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.

Voici les représentations graphiques de trois fonctions de densité pour la loi $\mathscr{N}(\mu;1)$.

Remarque : Pour chaque valeur de $\mu$, la courbe représentative de la fonction de densité $f$ admet la droite d’équation $x= \mu$ pour axe de symétrie.

Propriété 16 : On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathscr{N}(\mu;\sigma^2)$ alors :

Son espérance est $E(X) = \mu$
Sa variance est $V(X) = \sigma^2$

Remarque : La valeur de $\sigma$ agit sur la dispersion des points de la courbe de la fonction de densité autour de son axe de symétrie: plus $\sigma$ est grand plus la courbe est évasée et, au contraire, plus $\sigma$ est petit plus la courbe est resserrée autour de son axe de symétrie.

Propriété 17 : On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathscr{N}(\mu;\sigma^2)$ alors :

$P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu+\sigma)\approx 0,683$
$P(\mu-2\sigma \pp X \pp \mu+2\sigma)\approx 0,954$
$P(\mu-3\sigma \pp X \pp \mu+3\sigma)\approx 0,997$

Utilisation de la loi normale : On utilise une loi normale lorsqu’une variable aléatoire continue dépend d’un grand nombre de causes indépendantes, dont les effets s’additionnent sans qu’aucune ne soit prépondérante.

Exemples :

dimensions d’un objet fabriqué (elles dépendent, par exemple, de la température, de l’humidité,du réglage de l’appareil, des vibrations auxquelles il est soumis, de l’homogénéité de la matière première, …)
le taux de glycémie
durée de fonctionnement de certaines pièces
…

Remarque : La calculatrice est très utilisée dans ce chapitre. Elle permet, en particulier, de déterminer, pour tout réel $\alpha \in [0;1]$, le réel $k$ tel que $P(X \pp k)=\alpha$.