Produit scalaire dans l’espace

I Généralités

Définition 1 : On considère deux vecteurs de l’espace $\vec{u}$ et $\vec{v}$. On peut trouver un plan $\mathscr{P}$ contenant un représentant de chacun de ces vecteurs. On définit le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans l’espace comme étant égal au produit scalaire des deux vecteurs dans le plan $\mathscr{P}$.

On le note également $\vec{u}.\vec{v}$

Les propriétés du produit scalaire vues en 1S dans le plan sont donc également valables dans l’espace. En particulier :

Propriété 1 : On considère deux vecteurs de l’espace $\vec{u}$ et $\vec{v}$. On a alors :

Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ alors $\vec{u}.\vec{v}=0$
Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls alors $\vec{u}.\vec{v} = \|\vec{u} \| \|\vec{v}\| \cos\left(\vec{u},\vec{v} \right)$
Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls alors :
$\vec{u}.\vec{v} = \dfrac{1}{2} \left(\|\vec{u} \|^2+\|\vec{v} \|^2-\|\vec{u}-\vec{v} \|^2 \right) = \dfrac{1}{2} \left(\|\vec{u}+\vec{v} \|^2-\|\vec{u} \|^2-\|\vec{v} \|^2 \right)$

$\quad$

Propriété 2 : On considère trois vecteurs de l’espace $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ et un réel $k$.

$\vec{u}.\vec{v} = \vec{v}.\vec{u}$ $\quad$ (commutativité)
$\left(k \vec{u}\right).\vec{v} = k \left(\vec{u}.\vec{v}\right) = \vec{u}.\left(k\vec{v} \right)$
$\vec{u}.\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$ $\quad$ (distributivité à gauche)
$\left(\vec{u}+\vec{v}\right).\vec{w} = \vec{u}.\vec{w}+\vec{v}.\vec{w}$ $\quad$ (distributivité à droite)

$\quad$

Propriété 3 :

On considère trois points de l’espace $A$, $B$ et $C$ et le projeté orthogonal $H$ du point $C$ sur la droite $(AB)$. On a alors

$\vect{AB}.\vect{AC} = \vect{AB}.\vect{AH} = \begin{cases} AB.AH \quad \text{si} ~ \vect{AB} ~\text{et}~ \vect{AH} ~\text{ont le même sens} \\ -AB.AH \quad \text{si}~ \vect{AB} ~\text{et}~ \vect{AH} ~\text{n’ont pas le même sens}\end{cases}$

$\quad$

$\vect{AB}$ et $\vect{AH}$ ont le même sens :
$\vect{AB}$ et $\vect{AH}$ n’ont pas le même sens :

Propriété 4 : On considère deux vecteurs $\vec{u}(x,y,z)$ et $\vec{v}(x’,y’,z’)$ de l’espace muni $\Oijk$ un repère orthonormé. On a alors $$\vec{u}.\vec{v} = xx’+yy’+zz’$$

Preuve Propriété 4

On a $\vec{u} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ et $\vec{v}=x’\vec{i}+y’\vec{j}+z’\vec{k}$

Par conséquent $\vec{u}.\vec{v} = xx’\vec{i}.\vec{i}+xy’\vec{i}.\vec{j}+xz’\vec{i}.\vec{k}+yx’\vec{i}.\vec{j}+yy’\vec{j}.\vec{j}+yz’\vec{j}.\vec{k}+zx’\vec{i}.\vec{k}+zy’\vec{k}.\vec{j}+zz’\vec{k}.\vec{k}$

Le repère est orthonormé donc $\vec{i}.\vec{j}=\vec{j}.\vec{k}=\vec{i}.\vec{k}=0$ et $\vec{i}.\vec{i}=\vec{j}.\vec{j}=\vec{k}.\vec{k}=1$.

D’où $\vec{u}.\vec{v} = xx’+yy’+zz’$

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$\quad$

Exemple : On considère les vecteurs $\vec{u}(3;-2;4)$ et $\vec{v}(2;5;1)$.

On a alors $\vec{u}.\vec{v} = 3 \times 2-2\times 5+4\times 1 = 6-10+4=0$

$\quad$

Définition 2 : On considère un vecteur $\vec{u}$ de l’espace. On appelle norme du vecteur $\vec{u}$ le nombre positif noté $\|\vec{u}\|$ défini par $\|\vec{u}\|^2 = \vec{u}.\vec{u}$.

$\quad$

Propriété 5 : On considère le vecteur $\vec{u}(x;y;z)$ de l’espace muni d’un repère $\Oijk$.

On a alors : $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Preuve Propriété 5

$\|\vec{u}\|^2 = \vec{u}.\vec{u} = x^2+y^2+z^2$.

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$\quad$

Exemple : On considère les vecteurs $\vec{u}(3;-2;4)$ et $\vec{v}(2;5;1)$.

On a alors $\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{29}$ et $\|\vec{v}\| = \sqrt{2^2+5^2+1^2}=\sqrt{30}$

$\quad$

II Vecteurs orthogonaux

Définition 3 : Deux vecteurs non nuls de l’espace sont dits orthogonaux s’ils dirigent des droites orthogonales.

Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l’espace.

Exemple :

Les couples de vecteurs suivants sont orthogonaux :

$\vect{DC}$ et $\vect{DH}$
$\vect{AB}$ et $\vect{EH}$
$\vect{AE}$ et $\vect{FG}$

Propriété 6 : On considère deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l’espace.

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\vec{u}.\vec{v} = 0$.

Preuve Propriété 6

Si $\vec{u} = \vec{0}$ ou si $\vec{v} = \vec{0}$ alors par définition $\vec{u}.\vec{v} = 0$
On suppose maintenant que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls.
On considère trois points coplanaires de l’espace $A$, $B$ et $C$ de l’espace tels que les droites $(AB)$ et $(AC)$ soient respectivement dirigées par $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
$\qquad \ssi$ $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires
$\qquad \ssi$ $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{2}$
$\qquad \ssi$ $\cos \widehat{BAC} = 0$
$\qquad \ssi$ $\vec{u}.\vec{v} = 0$

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$\quad$

Définition 4 : On dit qu’un vecteur non nul de l’espace $\vec{n}$ est normal à un plan $\mathscr{P}$ s’il existe une droite perpendiculaire à $\mathscr{P}$ dirigée par $\vec{n}$.

$\quad$

Propriété 7 : Un vecteur non nul est normal à un plan si, et seulement si, il est orthogonal à tous les vecteurs du plan.

Preuve Propriété 7

Une droite est perpendiculaire à un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

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$\quad$

Propriété 8 : On considère un vecteur non nul $\vec{n}$ de l’espace.

$\vec{n}$ est normal à un plan $\mathscr{P}$ si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $\mathscr{P}$.

Preuve Propriété 8

D’après la propriété précédente la propriété directe est évidente.
Réciproquement, on considère deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de $\mathscr{P}$ orthogonaux à $\vec{n}$.
On considère un autre vecteur $\vec{w}$ de $\mathscr{P}$.
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. Il existe donc deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a \vec{u}+b \vec{v}$.
On a ainsi $\vec{w}.\vec{n} = a \vec{u}.\vec{n}+b \vec{v}.\vec{n} = 0$.

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$\quad$

Exemple : On veut déterminer les coordonnées d’un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ défini par $\vec{u}(3;-1;4)$ et $\vec{v}(-2;1;0)$.

Ces deux vecteurs sont clairement non colinéaires. Ils définissent donc un plan $\mathscr{P}$.

On appelle $\vec{n}(x;y;z)$ un vecteur normal à $\mathscr{P}$.
Par conséquent $\vec{n}.\vec{u} = 3x-y+4z = 0$ et $\vec{n}.\vec{v} = -2x+y=0$.
On doit donc résoudre le système suivant $\begin{cases} 3x-y+4z=0 \\ -2x+y=0\end{cases}$

Puisqu’il y a plus d’inconnues que d’équations on va fixer une des inconnues à $1$.
Prenons par exemple $x=1$.

Donc $\begin{cases} 3-y+4z=0 \\-2+y=0 \end{cases} $ $\ssi \begin{cases} y=2 \\4z=y-3 = 0 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases} y=2 \\z=-\dfrac{1}{4} \end{cases} $

$\vec{n}\left(1;2;-\dfrac{1}{4}\right)$ est donc un vecteur normal à $\mathscr{P}$.

$\quad$

III Équation cartésienne d’un plan

Propriété 9 : On considère un vecteur de l’espace non nul $\vec{n}$ et un point de l’espace $A$.

Le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ est l’ensemble des points $M$ de l’espace vérifiant $\vect{AM}.\vec{n} = 0$.

Preuve Propriété 9

On considère un point $M$ du plan $\mathscr{P}$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$.
Par définition le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à tous les vecteurs de $\mathscr{P}$, en particulier à $\vect{AM}$. Par conséquent $\vect{AM}.\vec{n}= 0$.
Réciproquement, On considère un point $M$ de l’espace tel que $\vect{AM}.\vec{n} = 0$.
Cela signifie donc que :
– soit $A = M$
– soit $(AM)$ est orthogonale à la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{n}$.
Par conséquent $M$ appartient au plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$.

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$\quad$

Pour les propriétés suivantes, on se place dans un repère $\Oijk$ orthonormé de l’espace :

Propriété 10 : On considère un vecteur non nul de l’espace $\vec{n}(a;b;c)$ normal à un plan $\mathscr{P}$. Une équation de $\mathscr{P}$ est alors de la forme $ax+by+cz+d=0$ avec $d \in \R$.

Preuve Propriété 10

Soient $A(x_0;y_0;z_0)$ un point de $\mathscr{P}$ et $M(x;y;z)$ un point de l’espace.

$\begin{align*}
M \in \mathscr{P} & \Leftrightarrow \vect{AM}.\vec{n} = 0 \\
& \Leftrightarrow a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0) = 0 \\
& \Leftrightarrow ax + by +cz – (ax_0+by_0+cz_0)=0
\end{align*}$

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$\quad$

Propriété 11 : On considère quatre réels $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que $a$,$b$ et $c$ ne soient pas tous nuls alors l’ensemble des points de l’espace vérifiant $ax+by+cz+d=0$ est un plan de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$.

Preuve Propriété 11

On appelle $\mathscr{E}$ l’ensemble des points $M(x;y;z)$ de l’espace vérifiant $ax+by+cz+d=0$.
Les réels $a$, $b$ et $c$ ne sont pas tous nuls, on peut supposer par exemple que $a \ne 0$.
Les coordonnées du point $A \left(-\dfrac{d}{a};0;0\right)$ vérifient cette équation. L’ensemble $\mathscr{E}$ n’est donc pas vide.

Soit $M(x;y;z)$ un point de $\mathscr{E}$ on a :
$ax+by+cz+d=0$
On a de plus $a \times -\dfrac{d}{a} + d = 0$
Par différence, on obtient $a\left(x+\dfrac{d}{a} \right) +by+cz = 0$ $\ssi \vect{AM}.\vec{n} = 0$ avec $\vec{n}(a;b;c)$

$\mathscr{E}$ est donc le plan passant par $A$ de vecteur normal $\vec{n}$

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$\quad$

Remarque : Une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$ est appelée une équation cartésienne d’un plan.

$\quad$

Exemple : On considère un point de l’espace $A(-1;3;-2)$ et un vecteur de l’espace $\vec{n}(2;-1;-3)$.

On appelle $\mathscr{P}$ le plan passant par $A$ de vecteur normal $\vec{n}$.
Une équation de $\mathscr{P}$ est donc de la forme $2x-y-3z+d=0$ où $d \in \R$.
$A \in \mathscr{P}$ donc $2 \times (-1)-3-2\times (-3) +d = 0$ soit $d = -1$.

Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est donc $2x-y-3z-1=0$.

$\quad$

IV Positions relatives

Propriété 12 : (Droite et plan)

On considère une droite $d$ de vecteur directeur $\vec{u}$ passant par un point $A$ et un plan $\mathscr{P}$ de vecteur normal $\vec{n}$.

Si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux alors $d$ et $\mathscr{P}$ sont parallèles
– Si $A \in \mathscr{P}$ alors $d$ est incluse dans $\mathscr{P}$
– Sinon $d$ et $\mathscr{P}$ sont strictement parallèles.
Si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ ne sont pas orthogonaux alors $d$ et $\mathscr{P}$ sont sécants (cas particulier si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires alors $d$ est perpendiculaire à $\mathscr{P}$.

$\quad$

Exemple : On considère le plan $\mathscr{P}$ d’équation $-x+2y-3z-1=0$ et la droite $d$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=t \\y=2+3t \qquad t \in \R \\z=-1+2t \end{cases}$.

Un vecteur normal à $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(-1;2;-3)$ et un vecteur directeur de $d$ est $\vec{u}(1;3;2)$.
$\vec{n}.\vec{u} = -1\times 1+2\times 3-3\times 2 = -1 \ne 0$. La droite et le plan sont sécants.

Les coordonnées de leur point d’intersection $M(x;y;z)$ vérifient les équations de $d$ et celle de $\mathscr{P}$.

Par conséquent $\begin{cases} x=t \\y=2+3t \\z=-1+2t \\-x+2y-3z-1=0 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x=t \\y=2+3t \\z=-1+2t \\-t+2(2+3t)-3(-1+2t)-1=0 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases} t=6 \\x=6\\y=20\\z=11\end{cases}$

Donc $M(6;20;11)$

$\quad$

Propriété 13 : (Plans)

On considère deux plans de l’espace $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ dont les vecteurs normaux respectifs sont $\vec{n}$ et $\vec{n’}$.

Si $\vec{n}$ et $\vec{n’}$ sont colinéaires alors $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ sont parallèles.
Si $\vec{n}$ et $\vec{n’}$ ne sont pas colinéaires alors $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ sont sécants.

$\quad$

Remarque : On considère $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ d’équation respective $ax+by+cz+d = 0$ et $a’x+b’y+c’z+d’ = 0$.
Si $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ sont sécants alors leur intersection est la droite solution du système :

$\begin{cases} ax+by+cz+d = 0 \\a’x+b’y+c’z+d’ = 0 \end{cases}$