Exercice 1

Partie A

On appelle $A$ l’événement “le visiteur à l’âge requis” et $B$ l’événement “le visiteur à la taille requise”.
On sait donc que $p(A\cup B) = 1-0,08=0,92$

De plus :
$\begin{align*} P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)& \ssi 0,92=0,89+0,87-P(A\cap B)\\
&\ssi P(A\cap B)=0,84
\end{align*}$

$84\%$ des visiteurs vérifient donc les 2 conditions.

$\quad$

Partie B

1. a. On peut représenter la situation à l’aide de l’arbre pondéré suivant :D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(S)&=P(S\cap A)+P\left(S\cap \conj{A}\right) \\
   &=0,75 \times 0,78+0,25\times 0,95 \\
   &=0,822~5
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. On veut calculer la probabilité :
   $\begin{align*} P_{\conj{S}}\left(\conj{A}\right) &=\dfrac{P\left(\conj{S}\cap\conj{A}\right)}{P\left(\conj{S}\right)} \\
   &=\dfrac{0,25\times 0,05}{1-0,822~5} \\
   &\approx 0,070~4
   \end{align*}$
   La probabilité que ce visiteur ait attendu moins de $30$ minutes est environ $0,070~4$.
   $\quad$
2. a. On effectue $20$ tirages identiques, aléatoires et indépendants.
   À chaque tirage il n’y a que deux issues : $S$ et $\conj{S}$. De plus $p(S)=0,822~5$.
   La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,822~5$.
   $\quad$
   b. On veut calculer $P(X=15)=\displaystyle \binom{20}{15}0,822~5^{15}\times (1-0,822~5)^5 \approx 0,145~7$.
   $\quad$
   c. On veut calculer $P(X \pg 17)=1-P(X\pp 16) \approx 0,514~4$ d’après la calculatrice.
   Remarque : On pouvait également calculer
   $P(X \pg 17)=P(X = 17)+P(X =18)+P(X = 19)+P(X =20)$.
   $\quad$

Partie C

On obtient l’arbre pondéré suivant, en notant $p(V)=x$ :

On sait également que $p(H)=0,6$.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}
p(H)=p(A\cap H)+p\left(\conj{A}\cap H\right) &\ssi 0,6=0,4x+0,7(1-x)\\
&\ssi 0,6=0,7-0,3x\\
&\ssi 0,1=0,3x\\
&\ssi x=\dfrac{1}{3}
\end{align*}$

Ainsi $p(V)=\dfrac{1}{3}$.
$\quad$

Exercice 2

Partie A : étude d’un cas particulier

1. La fonction $C$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ comme composée et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $$ C'(t) =12\left(-\left(-\dfrac{7}{80}\right)\e^{-\frac{7}{80}t}\right) =\dfrac{21}{20}\e^{-\frac{7}{80}t}$$
   La fonction exponentielle étant strictement positive, on a $C'(t)>0$ pour tout réel $t$ positif.
   La fonction $C$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
   $\quad$
2. $\left.\begin{array}{l}\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{7}{80}t=-\infty \\\\ \lim\limits_{T \to -\infty} \e^T=0\end{array} \right\}$ donc $\lim\limits_{t \to +\infty}\e^{-\frac{7}{80}t}=0$
   Ainsi $\lim\limits_{t \to +\infty} C(t)=12\neq 15$
   Le traitement de ce patient n’est donc pas efficace.
   $\quad$

Partie B : étude de fonctions

1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$
   $\begin{align*} f'(x)&=105\times \dfrac{-x\times\left(-\dfrac{3}{40}\e^{-\frac{3}{40}x}\right)-\left(1-\e^{-\frac{3}{40}x}\right)}{x^2} \\
   &=105\times \dfrac{\dfrac{3x}{40}\e^{-\frac{3}{40}x}+\e^{-\frac{3}{40}x}-1}{x^2} \\
   &=\dfrac{105g(x)}{x^2}\end{align*}$
   $\quad$
2. D’après le tableau de variation de la fonction $g$ on sait que $g(x)\pp 0$ pour tout réel $x$ positif.
   Par conséquent, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x)\pp 0$.
   La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
   $\quad$
3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;80]$.
   $f(1)=105\left(1-\e^{-\frac{3}{40}}\right)\approx 7,59 >5,9$
   $f(80)=\dfrac{105}{80}\left(1-\e^{-6}\right) \approx 1,31<5,9$
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=5,9$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;80]$.
   La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$ et $f(1) \approx 7,59$ et $f(80)\approx 1,31$.
   Par conséquent, $f(x)\pg f(1)>5,9$ sur l’intervalle $]0;1]$ et $5,9>f(80)\pg f(x)$ sur l’intervalle $[80;+\infty[$.
   L’équation $f(x)=5,9$ possède donc bien une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$. D’après la calculatrice $\alpha \approx 8,1$
   $\quad$

Partie C : détermination d’un traitement adéquat

1. a. $C(6)=\dfrac{105}{a}\left(1-\e^{-\frac{3a}{40}}\right)=f(a)$
   $\quad$
   b. D’après la question B.3. on en déduit que $a\approx 8,1$ l.h$^{-1}$.
   $\quad$
2. On a donc $C(t)=\dfrac{d}{8,1}\left(1-\e^{-\frac{8,1}{80}t}\right)$.
   $\left.\begin{array}{l}\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{8,1}{80}t=-\infty \\\\ \lim\limits_{T \to -\infty} \e^T=0\end{array} \right\}$ donc $\lim\limits_{t \to +\infty}\e^{-\frac{8,1}{80}t}=0$
   Ainsi $\lim\limits_{t \to +\infty} C(t)=\dfrac{d}{8,1}$
   On veut que le plateau soit égal à $15$
   $\ssi \dfrac{d}{8,1}=15$
   $\ssi d= 121,5$ µmol.h$^{-1}$.
   $\quad$

Exercice 3

La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^x-x$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
$f'(x)=\e^x-1$ pour tout réel $x$.
$f'(x)\pg 0 \ssi \e^x \pg 1\ssi \e^x \pg \e^0 \ssi x\pg 0$.
La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.

De plus $f(0)=\e^0=1 > 0$.
Par conséquent, pour tout réel $x$ positif on a $f(x)>0$ et par conséquent $\e^x>x$.

Or $\lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty$.
D’après le théorème de comparaison on a ainsi $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x=+\infty$.
$\quad$

Exercice 4

Partie A

1. $u_1=0,9\times 0,3(1-0,3)=0,189$ et $u_2=0,9\times 0,189(1-0,189)\approx 0,138$
   Au début de l’année 2001 il y avait donc $189$ tortues et $138$ au début de l’année 2002.
   $\quad$
2. a. Pour tout entier naturel $n$ on sait que $u_n \pg 0$.
   De plus : $u_{n+1}-0,9u_n=0,9u_n\left(1-u_n\right)-0,9u_n=0,9u_n\left(1-u_n-1\right)=-0,9{u_n}^2\pp 0$
   Par conséquent $0\pp u_{n+1} \pp 0,9u_n$.
   $\quad$
   b. Montrons ce résultat par récurrence.
   Initialisation : si $n=0$ alors $u_0=0,3$ et $0,3 \times 0,9^0=0,3$ ainsi $0 \pp u_0 \pp 0,3 \times 0,9^0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $ 0\pp u_n \pp 0,3 \times 0,9^n$
   Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $0 \pp u_{n+1} \pp 0,3\times 0,9^{n+1}$
   On sait que $0 \pp u_{n+1} \pp 0,9u_n \pp 0,3 \times 0,9^n \times 0,9$
   Soit $0 \pp u_{n+1} \pp 0,3\times 0,9^{n+1} $
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $0 \pp u_n \pp 0,3 \times 0,9^n$.
   $\quad$
   c. $-1<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,9^n=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,3\times 0,9^n=0$.
   Ainsi, d’après le théorème des gendarmes, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$.
   $\quad$
3. Variable :
   $\quad$ $u$ est un réel
   $\quad$ $n$ est un entier naturel
   Traitement :
   $\quad$ $u$ prend la valeur $0,3$
   $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
   $\quad$ Tant que $u\pg 0,03$ faire :
   $\qquad$ $u$ prend la valeur $0,9u(1-u)$
   $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
   $\quad$ Fin tant que
   Sortie :
   $\quad$ Afficher $1999+n$
   $\quad$

Partie B

1. La fonction $x\mapsto x+3$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;2]$. Donc la fonction $x\mapsto \dfrac{16}{x+3}$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[1;2]$. Par conséquent la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;2]$.
   $\quad$
2. Initialisation : si $n=0$ alors $v_0=1,07$ et $1\pp v_0 \pp 2$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $1\pp v_n\pp 2$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $1\pp v_{n+1} \pp 2$.
   $\begin{align*}
   1\pp v_n\pp 2 &\ssi 4\pp v_n+3\pp 5 \\
   &\ssi \dfrac{1}{5} \pp \dfrac{1}{v_n+3}\pp \dfrac{1}{4} \\
   &\ssi -4 \pp -\dfrac{16}{v_n+3} \pp -\dfrac{16}{5} \\
   &\ssi 1\pp 5-\dfrac{16}{v_n+3} \pp \dfrac{9}{5}
   \end{align*}$
   Par conséquent $1\pp v_{n+1} \pp 2$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp v_n\pp 2$.
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*}
   v_{n+1}-v_n&=5-\dfrac{16}{v_n+3}-v_n \\
   &=\dfrac{5\left(v_n+3\right)-16-v_n\left(v_n+3\right)}{v_n+3} \\
   &=\dfrac{5v_n+15-16-{v_n}^2-3v_n}{v_n+3}\\
   &=\dfrac{-{v_n}^2+2v_n-1}{v_n+3}\\
   &=-\dfrac{\left(v_n-1\right)^2}{v_n+3}
   \end{align*}$
   On sait que $1\pp v_n\pp 2$ donc $v_n+3> 0$
   Par conséquent, $v_{n+1}-v_n\pp 0$.
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc décroissante.
   $\quad$
   Autre méthode : Montrons par récurrence que $v_{n+1}<v_n$
   Initialisation : $v_0=1,07$ et $v_1\approx 1,069$ donc $v_1<v_0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $v_{n+1}<v_n$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $v_{n+2}<v_{n+1}$.
   La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;2]$. Par conséquent $1\pp v_{n+1}<v_n \pp 2$ implique que $f(1) \pp f\left(v_{n+1}\right) < f\left(v_n\right) \pp f(2)$.
   Or $v_{n+2}=f\left(v_{n+1}\right)$ et $v_{n+1}=f\left(v_{n}\right)$
   Ainsi $v_{n+2}<v_{n+1}$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_{n+1}<v_n$.
   La suite $\left(v_n\right)$ est décroissante.
   $\quad$
4. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n\pg 1$.
   On est donc assuré d’avoir au moins $100$ tortues tous les ans. L’espèce n’est donc plus menacée d’extinction.
   $\quad$

Exercice 1    6 points

Un parc d’attraction propose à son public un tout nouveau grand huit. Pour des raisons de sécurité, son accès n’est autorisé qu’aux personnes dont la taille est supérieure ou égale à $1,40$ m et dont l’âge est compris entre 10 et 70 ans.
Des études statistiques sont menées pour évaluer l’affluence et la satisfaction des visiteurs pour ce manège.

On arrondira, si nécessaire, les probabilités à $10^{-4}$.
Les parties A,B et C sont indépendantes.

Partie A :

Les études menées permettent d’établir que $89\%$ des visiteurs ont la taille exigée, $87\%$ ont l’âge requis mais $8\%$ n’ont ni la taille, ni l’âge obligatoires. Quelle est alors la proportion des visiteurs vérifiant les conditions requises pour essayer la nouvelle attraction?

$\quad$

Partie B

1. Un sondage est réalisé à la sortie du grand huit et révèle que $25\%$ des personnes ont attendu moins de $30$ min avant de pouvoir essayer le manège. Parmi elles, $95\%$ sont satisfaites de l’attraction.
   En revanche, $22\%$ des personnes ayant attendu plus de $30$ min ne sont pas satisfaites de l’attraction.
   On choisit au hasard un visiteur à sa sortie du grand huit.
   On note $A$ l’événement “le visiteur a attendu plus de $30$ min” et $S$ l’événement “le visiteur est satisfait de l’attraction”.
   $\quad$
   a. Montrer que la probabilité qu’un visiteur soit satisfait de l’attraction vaut $0,822~5$.
   $\quad$
   b. Le directeur rencontre un visiteur insatisfait. Quelle est la probabilité que ce visiteur ait attendu moins de $30$ min?
   $\quad$
2. Dans le but d’améliorer la satisfaction des visiteurs, on réalise une petite enquête. On interroge au hasard $20$ visiteurs au sujet du tout nouveau grand huit. Le nombre de visiteurs est suffisamment grand pour qu’on considère qu’il s’agisse d’un tirage avec remise. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de visiteurs satisfaits de l’attraction.
   a. Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   $\quad$
   b. Déterminer la probabilité qu’exactement $15$ visiteurs soient satisfaits.
   $\quad$
   c. Déterminer la probabilité qu’au moins $17$ visiteurs soient satisfaits.
   $\quad$

Partie C :

Les visiteurs du parc sont soit des abonnés soit des visiteurs de passage.
On s’intéresse aux visiteurs du 11 novembre 2017.
$40\%$ des visiteurs de passage et $70\%$ des abonnés au parc sont allés sur le nouveau grand huit lors de leur visite.
On sait également que $60\%$ des visiteurs sont allés sur le nouveau grand huit ce jour-là.

On appelle :

• $V$ l’événement “le visiteur est un visiteur de passage”;
• $H$ l’événement “le visiteur est allé sur le nouveau grand huit”.

Calculer la probabilité de l’événement $V$.

$\quad$

Exercice 2    6 points

Un protocole de traitement d’une maladie, chez l’enfant, comporte une perfusion longue durée d’un médicament adapté. La concentration dans le sang du médicament au cours du temps est modélisée par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0;+ \infty[$ par : $$C(t) = \dfrac{d}{a}\left(1-\e^{-\frac{a}{80} t}\right)$$ où $C$ désigne la concentration du médicament dans le sang, exprimée en micromole par litre, $t$ le temps écoulé depuis le début de la perfusion, exprimé en heure, $d$ le débit de la perfusion, exprimé en micromole par heure, $a$ un paramètre réel strictement positif, appelé clairance, exprimé en litre par heure.
Le paramètre $a$ est spécifique à chaque patient.
En médecine, on appelle “plateau” la limite en $+ \infty$ de la fonction $C$.

Partie A : étude d’un cas particulier

La clairance $a$ d’un certain patient vaut $7$, et on choisit un débit $d$ égal à $84$.
Dans cette partie, la fonction $C$ est donc définie sur $[0;+ \infty[$ par : $C(t) = 12\left(1-\e^{-\frac{7}{80} t}\right)$.

1. Étudier le sens de variation de la fonction $C$ sur $[0;+ \infty[$.
   $\quad$
2. Pour être efficace, le plateau doit être égal à $15$. Le traitement de ce patient est-il efficace ?
   $\quad$

Partie B : étude de fonctions

1. Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0;+ \infty[$ par : $f(x) = \dfrac{105}{x} \left(1-\e^{-\frac{3}{40}x}\right)$.
   Démontrer que, pour tout réel $x$ de $]0;+ \infty[$, $f'(x) = \dfrac{105g(x)}{x^2}$, où $g$ est la fonction définie sur $[0;+ \infty[$ par : $g(x) = \dfrac{3x}{40}\e^{-\frac{3}{40}x}\ + \e^{-\frac{3}{40}x}-1$.
   $\quad$
2. On donne le tableau de variation de la fonction $g$ :
   
   En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
   On ne demande pas les limites de la fonction $f$.
   $\quad$
3. Montrer que l’équation $f(x) = 5,9$ admet une unique solution sur l’intervalle $[1;80]$.
   En déduire que cette équation admet une unique solution sur l’intervalle $]0;+ \infty[$.
   Donner une valeur approchée de cette solution au dixième près.
   $\quad$

Partie C : détermination d’un traitement adéquat

Le but de cette partie est de déterminer, pour un patient donné, la valeur du débit de la perfusion qui permette au traitement d’être efficace, c’est-à-dire au plateau d’être égal à $15$.
Au préalable, il faut pouvoir déterminer la clairance $a$ de ce patient. À cette fin, on règle provisoirement le débit $d$ à $105$, avant de calculer le débit qui rende le traitement efficace.
On rappelle que la fonction $C$ est définie sur l’ intervalle $[0;+ \infty[$ par : $C(t) = \dfrac{d}{a}\left(1-\e^{-\frac{a}{80} t}\right)$.
On cherche à déterminer la clairance $a$ d’un patient. Le débit est provisoirement réglé à $105$.

1. a. Exprimer en fonction de $a$ la concentration du médicament $6$ heures après le début de la perfusion.
   $\quad$
   b. Au bout de $6$ heures, des analyses permettent de connaître la concentration du médicament dans le sang; elle est égale à $5,9$ micromole par litre.
   Déterminer une valeur approchée, au dixième de litre par heure, de la clairance de ce patient.
   $\quad$
2. Déterminer la valeur du débit $d$ de la perfusion garantissant l’efficacité du traitement.
   $\quad$

Exercice 3 : ROC    2 points

Démontrer que $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x=+\infty$.
On pourra utiliser la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\e^x-x$.
$\quad$

Exercice 4    6 points

Les parties A et B sont indépendantes.

On s’intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d’individus diminue de façon inquiétante.

Partie A

Au début de l’an 2000, on comptait $300$ tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$\begin{cases}u_0=0,3\\u_{n+1}=0,9u_n\left(1-u_n\right)\end{cases}$$ où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l’année 2000$+n$.

1. Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l’année 2001 puis de l’année 2002.
   $\quad$
2. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ et $1-u_n$ appartiennent à l’intervalle $[0;1]$.
   a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_{n+1}\pp 0,9u_n$.
   $\quad$
   b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 \pp u_n \pp 0,3\times 0,9^n$.
   $\quad$
   c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Que peut-on en conclure sur l’avenir de cette population de tortues?
   $\quad$
3. Des études permettent d’affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de $30$ individus, alors l’espèce est menacée d’extinction.
   On souhaite qu’à la fin de son exécution, l’algorithme ci-dessous affiche la dernière année avant laquelle il reste au moins $30$ tortues.
   Recopier et compléter l’algorithme afin qu’il satisfasse cette exigence.
   $\quad$
   Variable :
   $\quad$ $u$ est un réel
   $\quad$ $n$ est un entier naturel
   Traitement :
   $\quad$ $u$ prend la valeur $0,3$
   $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
   $\quad$ Tant que $\ldots$ faire :
   $\quad$ $\ldots$
   $\quad$ $\ldots$
   $\quad$ Fin tant que
   Sortie :
   $\quad$ Afficher $\ldots$
   $\quad$

Partie B

Au début de l’année 2003, il ne reste déjà plus que $107$ tortues.
Afin d’assurer la pérennité de l’espèce des actions sont menées.
L’évolution de la population est alors modifiée et le nombre de tortues peut être modélisée par la suite $\left(v_n\right)$ : $\begin{cases} v_0=1,07 \\v_{n+1}=5-\dfrac{16}{v_n+3}\end{cases}$ où $v_n$ modélise, pour tout entier naturel $n$, le nombre de tortues en centaines au début de l’année 2003$+n$.

1. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1;2]$ par $f(x)=5-\dfrac{16}{x+3}$.
   Étudier le sens de variation de $f$.
   $\quad$
2. Montrer par récurrence que $1\pp v_n\pp 2$.
   $\quad$
3. Étudier le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
   $\quad$
4. La pérennité de l’espèce est-elle assurée? (Justifier brièvement votre réponse).
   $\quad$