TS – Devoir synthèse 2 – 1er trimestre

Exercice 1

Partie A

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=-x\e^x+1$.

  1. Calculer les limites de $g$ en $-\infty$ et $+\infty$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de $g$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Prouver que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$.
    Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
    $\quad$
  4. En déduite le signe de la fonction $g$ suivant les valeurs de $x$.
    $\quad$

Partie B

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x+1}{\e^x+1}$.

On appelle $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $\Oij$ (unité : $1$ cm).

  1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. Donner une interprétation graphique.
    $\quad$
  3. a. Calculer l’expression de la fonction dérivée de $f$ et prouver que, pour tout réel $x$ de $\R$, $f'(x)$ et $g(x)$ sont de même signe.
    $\quad$
    b. En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  4. Donner une équation de la tangente $\mathscr{T}$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
  5. Tracer $\mathscr{T}$, les éventuelles asymptotes et la courbe $\mathscr{C}$ dans le repère $\Oij $ sur l’annexe.
    $\quad$

Annexe

TS - DS - 3h - ex1.0

 

Correction Exercice 1

Partie A

  1. $\lim\limits_{x \to -\infty} x\e^x=0$ donc $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)=1$.
    $\quad$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} -x\e^x=-\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    $g'(x)=-\e^x-x\e^x = -\e^x(1+x)$.
    La fonction exponentielle est strictement positive, par conséquent, pour tout réel $x$, on a $-\e^x<0$.
    Étudions maintenant le signe de $x+1$ : $x+1=0 \ssi x=-1$ et $x+1>0 \ssi x>-1$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    TS - DS - 3h - ex1$\quad$
  3. Sur l’intervalle $]-\infty;-1]$, on a $g(x) \ge 1$.
    Par conséquent l’équation $g(x)=0$ ne possède pas de solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[-1;+\infty[$.
    $f(-1)=\e^{-1}+1 > 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=-\infty$.
    Par conséquent $0$ appartient à l’intervalle image de $[-1;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $[-1;+\infty[$.
    $\quad$
    Donc l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution sur $\R$.
    $\quad$
    D’après la calculatrice on a $0,56 < \alpha < 0,57$.
    $\quad$
  4. D’après le tableau de variations on a :
    TS - DS - 3h - ex1.1$\quad$

Partie B

  1. La fonction exponentielle étant strictement positive, l’expression $\e^x+1$ ne s’annule jamais.
    Par conséquent l’ensemble de définition de $f$ est $\mathscr{D}_f=\R$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\left. \begin{array}{r} \lim\limits_{x\to -\infty} x+1=-\infty \\\\ \lim\limits_{x \to -\infty} \e^x=0 \text{ donc } \lim\limits_{x \to -\infty} e^x+1=1 \end{array} \right\} \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$
    $\quad$
    Transformons l’expression de $f(x)$ pour ne plus avoir de forme indéterminée en $+\infty$.
    $f(x)=\dfrac{\e^{-x}(x+1)}{\e^{-x}\left(\e^x+1\right)} = \dfrac{x\e^{-x}+\e^{-x}}{1+\e^{-x}} = \dfrac{-(-x)\e^{-x}+\e^{-x}}{1+\e^{-x}}$
    $\left. \begin{array}{r} \lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty \\\\ \lim\limits_{X \to -\infty} X\e^X=0 \end{array} \right\} \lim\limits_{x \to +\infty} -x\e^{-x} =0$
    $\quad$
    et
    $\quad$
    $\left. \begin{array}{r} \lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty \\\\ \lim\limits_{X \to -\infty} e^X=0 \end{array} \right\} \lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-x} =0$
    Ainsi $\lim\limits_{x \to +\infty} -(-x)\e^{-x}+\e{-x} = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$
    La droite d’équation $y=0$ est donc asymptote à la courbe $\mathscr{C}$ en $+\infty$.
    $\quad$
  3. a. $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R$.
    $$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x+1-(x+1)\e^x}{\left(\e^x+1\right)^2} \\\\
    &=\dfrac{1-x\e^x}{\left(\e^x+1\right)^2} \\\\
    &=\dfrac{g(x)}{\left(\e^x+1\right)^2}
    \end{align*}$$
    Le dénominateur est strictement positif, par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $g(x)$.
    $\quad$
    b. On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    TS - DS - 3h - ex1.2$\quad$
  4. Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $0$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
    Or $f'(0)=\dfrac{1}{4}$ et $f(0)=\dfrac{1}{2}$
    Une équation de $\mathscr{T}$ est donc $y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  5. $\quad$
    TS - DS - 3h - ex1.3

 

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Exercice 2

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie par :

$$u_0=1 \text{ et pour tout } n\in \N, u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+n-2$$

  1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 4, u_n \geqslant 0$.
    $\quad$
    b. On admet que, pour tout entier naturel $n \geqslant 5, u_n \geqslant n-3$.
    En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$.
    $\quad$
  3. On définit la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ par : pour tout $n\in \N, v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}{2}$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
    $\quad$
    b. En déduire que : pour tout $n\in \N, u_n = \dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{21}{4}$.
    $\quad$
    c. Soit la somme $S_n$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
    $$S_n=\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k = u_0+u_1+\ldots+u_n$$
    Déterminer l’expression de $S_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $u_1=\dfrac{1}{3} \times 1 + 0 – 2 = – \dfrac{5}{3}$
    $u_2=\dfrac{1}{3} \times \left(-\dfrac{5}{3}\right) + 1 -2 =-\dfrac{14}{9}$
    $u_3=\dfrac{1}{3} \times \left(-\dfrac{14}{9}\right) + 2 -2=-\dfrac{14}{27}$
    $\quad$
  2. a. Démontrons par récurrence que, pour tout $n\geqslant 4$ on a $u_n \geqslant 0$.
    Initialisation : Si $n=4$ $u_4 = \dfrac{1}{3} \left(-\dfrac{14}{27}\right)+3-2 = \dfrac{67}{81} \geqslant 0$.
    La propriété est donc vraie au rang $4$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \geqslant 0$.
    $$\begin{align*}
    u_{n+1}&=\dfrac{1}{3}u_n+n-2 \\
    &\geqslant n-2 \\
    &\geqslant 0 \quad \left(\text{ car } n\geqslant 4\right)
    \end{align*}$$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $4$ et est héréditaire.
    Par conséquent pour tout $n\geqslant 4$ on a $u_n \geqslant 0$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n\geqslant 5$, $u_n \ge n-3$.
    $\lim\limits_{n \to +\infty} n-3 =+\infty$.
    D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
  3. a. $\quad$
    $$\begin{align*}
    v_{n+1}&= -2u_{n+1}+3(n+1)-\dfrac{21}{2} \\
    &=-\dfrac{2}{3}u_n-2n+4+3n+3-\dfrac{21}{2} \\
    &=-\dfrac{2}{3}u_n+n-\dfrac{7}{2} \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(-2u_n+3n-\dfrac{21}{2}\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}v_n
    \end{align*}$$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $v_0=-\dfrac{25}{2}$.
    $\quad$
    b. Par conséquent $v_n=-\dfrac{25}{2} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ pour tout entier naturel $n$.
    Or :
    $$\begin{align*}
    v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}{2} &\ssi 2u_n=-v_n+3n-\dfrac{21}{2}\\
    &\ssi u_n=\dfrac{1}{2}\left(-v_n+3n-\dfrac{21}{2}\right) \\
    &\ssi u_n=\dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{21}{4}
    \end{align*}$$
    $\quad$
    c. On a par conséquent :
    $$\begin{align*}
    S_n&=u_0+u_1+\ldots+u_n \\
    &=\dfrac{25}{4} \left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^0+\left(\dfrac{1}{3}\right)^1+\ldots+\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right)+\dfrac{3}{2}(0+1+\ldots+n)-\dfrac{21}{4}(n+1)\\
    &=\dfrac{25}{4}\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{3}}+\dfrac{3}{2}\dfrac{n(n+1)}{2}-\dfrac{21}{4}(n+1)\\
    &=\dfrac{75}{8}\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right)+\dfrac{3n(n+1)}{4}-\dfrac{21}{4}(n+1)
    \end{align*}$$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Soit $A$ et $B$ deux événements associés à une expérience aléatoire. Démontrer que, si $A$ et $B$ sont indépendants pour une probabilité $P$, alors les événements $\overline{A}$ et $B$ le sont également.
$\quad$

Partie B

Les $300$ personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes :

  • “À quel niveau est votre bureau ?”
  • “Empruntez-vous l’ascenseur ou l’escalier pour vous y rendre ?”

Voici les réponses :

  • $225$ personnes utilisent l’ascenseur et, parmi celles-ci, $50$ vont au $1^{\text{er}}$ niveau, $75$ vont au $2^{\text{e}}$  niveau et $100$ vont au $3^{\text{e}}$  niveau.
  • Les autres personnes utilisent l’escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au $2^{\text{e}}$  niveau, les autres vont au $1^{\text{er}}$  niveau.

On choisit au hasard une personne de cette population.

On pourra considérer les événements suivants :

  • N$_{1}$ : “La personne va au premier niveau.”
  • N$_{2}$ : “La personne va au deuxième niveau.”
  • N$_{3}$ : “La personne va au troisième niveau.”
  • E : “La personne emprunte l’escalier.”
  1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. a. Montrer que la probabilité que la personne aille au $2^{\text{e}}$ niveau par l’escalier est égale à $\dfrac{1}{12}$.
    $\quad$
    b. Montrer que les événements N$_{1}$, N$_{2}$ et N$_{3}$ sont équiprobables.
    $\quad$
    c. Déterminer la probabilité que la personne emprunte l’escalier sachant qu’elle va au $2^{\text{e}}$ niveau.
    $\quad$
  3. On interroge désormais $20$ personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.
    On appelle $X$ la variable aléatoire qui, aux $20$ personnes interrogées, associe le nombre de personnes allant au $2^{\text{e}}$ niveau.
    a. Justifier le fait que $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
    $\quad$
    b. Déterminer, à $10^{-4}$ près, la probabilité que $5$ personnes exactement aillent au $2^{\text{e}}$ niveau.
    $\quad$
    c. En moyenne sur les $20$ personnes, combien vont au $2^{\text{e}}$ niveau?
    $\quad$
    d. Soit $n$ un entier inférieur ou égal à $300$. On interroge désormais $n$ personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.
    Déterminer le plus petit entier $n$ strictement positif tel que la probabilité de l’événement “au moins un personne va au $2^{\text{e}}$ niveau” soit supérieure ou égale à $0,99$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

Partie A : ROC

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants par conséquent $p(A \cap B)=p(A)p(B)$
D’après la formule des probabilités totales on a :
$$\begin{align*}
p(B)=p(B\cap A)+p\left(B \cap \overline{A}\right) &\ssi p(B)=p(A)p(B)+p\left(B \cap \overline{A}\right) \\
&\ssi p(B)-p(A)p(B)=p\left(B \cap \overline{A}\right) \\
& \ssi p(B)\left(1-p(A)\right)=p\left(B \cap \overline{A}\right) \\
&\ssi p(B)p\left(\overline{A}\right)=p\left(B \cap \overline{A}\right)
\end{align*}$$

Les événement $\overline{A}$ et $B$ sont donc indépendants.

$\quad$

Partie B

  1. $\quad$
    TS - DS - 3h - ex3$\quad$
  2. a. On veut calculer $p\left(E\cap N_2\right) = 0,25 \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{12}$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $$\begin{align*} p\left(N_1\right) &=p\left(E \cap N_1\right)+p\left(\overline{E} \cap N_2\right)\\
    &=0,25\times \dfrac{2}{3}+0,75\times \dfrac{50}{225}\\
    &=\dfrac{1}{3}
    \end{align*}$$
    D’après l’arbre pondéré on a $p(N_3)=0,75\times \dfrac{100}{225}=\dfrac{1}{3}$
    Puisque $p\left(N_1\right)+p\left(N_2\right)+p\left(N_3\right)=1$ alors $p\left(N_2\right)=\dfrac{1}{3}$.
    Les événements $N_1$, $N_2$ et $N_3$ sont donc équiprobables.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $$\begin{align*}
    p_{N2}(E)&=\dfrac{p\left(N_2\cap E\right)}{p\left(N_2\right)} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{12}}{\dfrac{1}{3}} \\
    &=\dfrac{1}{4}
    \end{align*}$$
    $\quad$
  3. a. Il y a $20$ tirages aléatoires, indépendants, identiques. A chaque tirage, il n’y a que deux issues : $N_2$ et $\overline{N_2}$ et $p\left(N_2\right)=\dfrac{1}{3}$.
    Par conséquent $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $P(X=5)=\displaystyle \binom{20}{5}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^5 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{15} \approx 0,1457$
    $\quad$
    c. L’espérance de la variable aléatoire $X$ est $E(X)=np=\dfrac{20}{3}\approx 6,6667$.
    Par conséquent environ $6,6667$ personnes vont au $2^{\text{e}}$ niveau.
    $\quad$
    d. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui, aux $n$ personnes interrogées, associe le nombre de personnes allant au $2^{\text{e}}$ niveau.
    Pour les mêmes raison qu’à la question 3.a. $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\dfrac{1}{3}$.
    On veut trouver la plus petite valeur de $n$ telle que $P(Y\geqslant 1) \geqslant 0,99$.
    $$\begin{align*}
    p(Y \geqslant 1) \geqslant 0,99 &\ssi 1-P(Y=0) \geqslant 0,99 \\
    &\ssi 1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n \geqslant 0,99 \\
    &\ssi \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \leqslant 0,01
    \end{align*}$$
    A l’aide de la calculatrice on trouve $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{11} \approx 0,0116$ et $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{12} \approx 0,0077$.
    La plus petite valeur de $n$ est donc $12$.

[collapse]

$\quad$