TS - Devoir commun décembre 2016 - durée 3h

Exercice 1

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire $\boldsymbol{g}$

La fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(x)=2\e^x+2x-7$.

Étudier les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
$\quad$
Dresser le tableau de variation de la fonction $g$.
$\quad$
Montrer que l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur $\R$.
Fournir un encadrement au millième de $\alpha$.
$\quad$
Étudier le signe de $g$ sur $\R$.
$\quad$
On considère l’algorithme suivant :
Entrée :
$\quad$ $P$ est un réel strictement positif
Initialisation :
$\quad$ $X$ prend la valeur $0$
$\quad$ $Y$ prend la valeur $-5$
Traitement :
$\quad$Tant que $Y <0$
$\qquad$ $X$ prend la valeur $X+P$
$\qquad$ $Y$ prend la valeur $g(X)$
$\quad$ Fin Tant que
Sortie:
$\quad$ Afficher $X-P$ et $X$
$\quad$
On entre une valeur de $P$ égale à $0,1$. Quelles sont les valeurs en sortie?

$\quad$

Partie B : étude d’une fonction

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par :

$$f(x)=(2x-5)\left(1-\e^{-x}\right).$$

Étudier le signe de $f$ sur $\R$.
$\quad$
Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
$\quad$
Calculer $f'(x)$, où $f’$ désigne la fonction dérivée de $f$ et vérifier que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe.
$\quad$
Dresser le tableau de variations de $f$.
$\quad$
a. Démontrer l’égalité $f(\alpha)=\dfrac{(2\alpha-5)^2}{2\alpha-7}$.
$\quad$
b. Étudier le sens de variation de la fonction $h : x \mapsto \dfrac{(2x-5)^2}{2x-7}$ sur l’intervalle $\left]-\infty;\dfrac{5}{2}\right[$.
En déduire, à partir de l’encadrement de $\alpha$ obtenu dans la partie A, un encadrement d’amplitude $10^{-2}$ de $f(\alpha)$.
$\quad$

Correction Exercice 1

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire $\boldsymbol{g}$

$\lim\limits_{x \to -\infty} \e^x=0$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} 2x-7 = -\infty$ donc $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)=-\infty$.
$\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} 2x-7=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$.
$\quad$
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a : $g'(x)=2\e^x+2$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ dans $\R$ on a $g'(x) > 0$.
On obtient alors le tableau de variation suivant :
$\quad$
La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\R$.
De plus $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$. Or $0\in]-\infty;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution sur $\R$.
A l’aide de la calculatrice on obtient l’encadrement suivant : $0,940 < \alpha < 0,941$.
$\quad$
La fonction $g$ est strictement croissante sur $\R$ et s’annule en $\alpha$. On obtient, par conséquent, le tableau de signes suivant :
$\quad$
L’algorithme permet de fournir un encadrement au dixième de $\alpha$ donc les valeurs de sorties seront $0,9$ et $1$.
$\quad$

Partie B : étude d’une fonction

$2x-5 = 0 \ssi x=\dfrac{5}{2}$ et $2x-5>0 \ssi x > \dfrac{5}{2}$
$1-\e^{-x}=0 \ssi \e^{-x}=1 \ssi x=0$ et $1-\e^{-x} > 0 \ssi \e^{-x} < 1 \ssi -x < 0 \ssi x > 0$.
On obtient alors le tableau de signes suivant :

$\quad$
$\lim\limits_{x \to -\infty}-x=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^{-x}=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} 1-\e^{-x}=-\infty$
De plus $\lim\limits_{x \to -\infty} 2x-5=-\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
$\lim\limits_{x \to +\infty}-x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} 1-\e^{-x}=1$
De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} 2x-5=+\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&= 2\left(1-\e^{-x}\right)-\left(-\e^{-x}\right)(2x-5) \\\\
&=2-2\e^{-x}+2x\e^{-x}-5\e^{-x} \\\\
&=2-7\e^{-x}+2x\e^{-x} \\\\
&=\e^{-x}\left(2\e^x+2x-7\right) \\\\
&=g(x)\e^{-x}
\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $g(x)$.
Par conséquent $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe.
$\quad$
On obtient alors le tableau de variation suivant :
$\quad$
a. On sait que :
$\begin{align*} g(\alpha)=0 &\ssi 2\e^{\alpha}+2\alpha-7 \\\\
&\ssi 2\e^{\alpha}=7-2\alpha \\\\
&\ssi \e^{\alpha}=\dfrac{7-2\alpha}{2} \\\\
&\ssi \e^{-\alpha}=\dfrac{2}{7-2\alpha}
\end{align*}$
Donc
$\begin{align*}
f(\alpha)&=(2\alpha-5)\left(1-\e^{-\alpha}\right) \\\\
&=(2\alpha-5)\left(1-\dfrac{2}{7-2\alpha}\right) \\\\
&=(2\alpha-5)\left(\dfrac{7-2\alpha-2}{7-2\alpha}\right) \\\\
&=(2\alpha-5)\left(\dfrac{5-2\alpha}{7-2\alpha}\right) \\\\
&=(2\alpha-5)\left(\dfrac{2\alpha-5}{2\alpha-7}\right)\\\\
&=\dfrac{(2\alpha-5)^2}{2\alpha-7}
\end{align*}$
$\quad$
b. La fonction $h$ est dérivable sur $\left]-\infty;\dfrac{5}{2}\right[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
$\begin{align*} h'(x)&=\dfrac{2\times 2(2x-5)(2x-7)-2(2x-5)^2}{(2x-7)^2} \\\\
&=\dfrac{2(2x-5)\left(2(2x-7)-(2x-5)\right)}{(2x-7)^2} \\\\
&=\dfrac{2(2x-5)(4x-14-2x+5)}{(2x-7)^2} \\\\
&=\dfrac{2(2x-5)(2x-9)}{(2x-7)^2}
\end{align*}$
Pour tout $x < \dfrac{5}{2}$ on a $2x-5<0$, $2x-9<0$ et $(2x-7)^2>0$.
Par conséquent $h'(x)>0$ sur l’intervalle $\left]-\infty;\dfrac{5}{2}\right[$ et la fonction $h$ est strictement croissante sur cet intervalle.
On sait que $0,940<\alpha<0,941$ par conséquent $h(0,940)<h(\alpha)<h(0,941)$
soit $-1,905<f(\alpha)<-1,895$.
On en déduit donc $-1,91<f(\alpha)<-1,90$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Le chikungunya est une maladie virale transmise d’un être humain à l’autre par des piqûres de moustiques femelles infectées.
Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus. Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes :

la probabilité qu’une personne atteinte par le virus ait un test positif est $0,98$;
la probabilité qu’une personne non atteinte par le virus ait un test positif est $0,01$.

On procède à un test de dépistage systématique dans une population “cible”. Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle :

$M$ l’événement : “l’individu choisi est atteint du chikungunya”;
$T$ l’événement : “le test de l’individu choisi est positif”.

On note $p (0 \pp p \pp 1)$ la proportion de personnes atteintes par la maladie dans la population cible.

Partie A : On suppose dans toute cette partie que $p=0,1$.

Construire un arbre pondéré modélisant la situation.
$\quad$
Calculer $P(M\cap T)$.
$\quad$
Montrer que la probabilité que le test soit positif est $0,107$.
$\quad$
L’individu choisi a un test positif. Quelle est la probabilité qu’il soit atteint par la maladie?(on donnera une valeur arrondie à $0,001$ près).
$\quad$

Partie B : Dans toute cette partie, $p$ est à nouveau un réel quelconque appartenant à $[0;1]$.

On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu’une personne ayant un test positif soit réellement atteinte du chikungunya est supérieure ou égale à $0,95$.

Démontrer que la probabilité de $M$ sachant $T$ est donnée par la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(p)=\dfrac{98p}{97p+1}$.
$\quad$
À partir de quelle proportion $p$ de malades dans la population le test est-il fiable? (On donnera une valeur arrondie à $0,01$ près.)
$\quad$

Partie C

En juillet 2015, l’institut de veille sanitaire d’une île annonce que $15\%$ de la population est atteinte par le virus. On effectue des tests sur un échantillon de $100$ personnes choisies au hasard dans cette île. La population est suffisamment importante pour considérer que le choix d’un tel échantillon peut être assimilé à un tirage avec remise de $100$ personnes dans la population.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $100$ personnes choisies au hasard, fait correspondre le nombre de personnes atteintes par le virus.

Déterminer en justifiant la loi suivie par la variable aléatoire $X$ et préciser ses paramètres.
$\quad$
Quelle est la probabilité que sur cet échantillon exactement $10$ personnes soient atteintes par le virus? (On donnera une valeur arrondie à $0,01$ près.)
$\quad$
Quelle est la probabilité qu’au plus $15$ personnes soient atteintes par le virus? (On donnera une valeur arrondie à $0,01$ près.)
$\quad$

Correction Exercice 2

Partie A : On suppose dans toute cette partie que $p=0,1$.

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
D’après l’arbre pondéré on a : $P(M\cap T)=0,1\times 0,98=0,098$.
$\quad$
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}
P(T)&=P(M\cap T)+p\left(\overline{M}\cap T\right) \\\\
&=0,098+0,9\times 0,01 \\\\
&=0,107
\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*}
P_T(M)&=\dfrac{P(T\cap M)}{P(T)} \\\\
&=\dfrac{0,098}{0,107} \\\\
&\approx 0,916
\end{align*}$
$\quad$

Partie B :

On obtient dans cette situation l’arbre pondéré suivant :$\quad$
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}
P(T)&=P(M\cap T)+P\left(\overline{M}\cap T\right) \\\\
&=0,98p+0,01(1-p) \\\\
&=0,97p+0,01
\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*}
P_T(M)&=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} \\\\
&=\dfrac{0,98p}{0,97p+0,01} \\\\
&=\dfrac{98p}{97p+1}
\end{align*}$
$\quad$
Le test est fiable si :
$\begin{align*} f(p) \pg 0,95 &\ssi \dfrac{98p}{97p+1} \pg 0,95 \\\\
&\ssi 98p\pg 0,95(97p+1) \\\\
&\ssi 98p \pg 92,15p+0,95 \\\\
&\ssi 5,85p\pg 0,95 \\\\
&\ssi p \pg \dfrac{0,95}{5,85} \\\\
&\ssi p \pg \dfrac{17}{119}
\end{align*}$
Le test est donc fiable si $p\pg 0,16$ à $0,01$ près.
$\quad$

Partie C

Il y a $100$ tirages aléatoires, indépendants avec remise. A chaque tirage il n’y a que deux issues : $M$ et $\overline{M}$. De plus $P(M)=0,15$.
La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,15$.
$\quad$
On veut calculer $P(X=10)=\displaystyle \binom{100}{10}\times 0,15^{10}\times 0,85^{90} \approx 0,04$
$\quad$
D’après la calculatrice $P(X \pp 15) \approx 0,57$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par :

$$u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, \quad u_{n+1} = – \dfrac{1}{2}u_n^2 + 3u_n – \dfrac{3}{2}.$$

Partie A : conjecture

Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
Donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près des termes $u_3$ et $u_4$.
$\quad$
Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$

Partie B: validation des conjectures

On considère la suite numérique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = u_n-3$.

Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = -\dfrac{1}{2}v_n^2$.
$\quad$
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: -1 \pp v_n \pp 0$.
$\quad$
a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1}-v_n = -v_n\left(\dfrac{1}{2}v_n + 1\right)$.
$\quad$
b. En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
$\quad$
Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite $\left(v_n\right)$ converge ?
$\quad$
On note $\ell$ la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
On admet que $\ell$ appartient à l’intervalle $[- 1;0]$ et vérifie l’égalité : $\ell = -\dfrac{1}{2}\ell^2$.
Déterminer la valeur de $\ell$.
$\quad$
Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées ?
$\quad$

Correction Exercice 3

Partie A : conjecture

$u_1 = -\dfrac{1}{2} \times 2^2 + 3 \times 2 – \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}$
$\quad$
$u_2 = – \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 + 3 \times \dfrac{5}{2} – \dfrac{3}{2} = \dfrac{23}{8}$
$\quad$
On a ensuite $u_3 \approx 2,99219$ et $u_4 \approx 2,99997$
$\quad$
Il semblerait donc que la suite $(u_n)$ soit croissante et converge vers $3$.
$\quad$

Partie B: validation des conjectures

$\quad$
$\begin{align*} v_{n+1} &= u_{n+1}-3 \\\\
&= -\dfrac{1}{2} u_n^2 + 3u_n-\dfrac{3}{2}- 3 \\\\
&= -\dfrac{1}{2} u_n^2 + 3u_n-\dfrac{9}{2} \\\\
&= -\dfrac{1}{2} \left(u_n^2-6u_n + 9\right) \\\\
&= -\dfrac{1}{2} (u_n-3)^2 \\\\
&= -\dfrac{1}{2} v_n^2
\end{align*}$
$\quad$
Initialisation : Si $n = 0$ alors $v_0 = 2-3 = -1$ donc $-1 \le v_0 \le 0$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $-1 \le v_n \le 0$.
Ainsi $ 0 \le v_n^2 \le 1$ et $-\dfrac{1}{2} \le -\dfrac{1}{2}v_n^2 \le 0$ soit $-1 \le v_{n+1} \le 0$.
La propriété est donc vraie au rang $n+1$
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. Si la propriété est vraie au rang $n$ alors elle est également vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $-1 \le v_n \le 0$.
$\quad$
a. $v_{n+1}-v_n = -\dfrac{1}{2}v_n^2-v_n = -v_n \left(\dfrac{1}{2}v_n + 1\right)$
$\quad$
b. On sait que $-1 \le v_n \le 0$ donc $-v_n \ge 0$
De plus $-\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{2} v_n \le 0$ soit $\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{2} v_n + 1 \le 1$.
Par conséquent $\dfrac{1}{2} v_n + 1 \ge 0$.
Finalement, $v_{n+1}-v_n \ge 0$.
La suite $(v_n)$ est donc croissante.
$\quad$
La suite $(v_n)$ est croissante et majorée par $0$. Elle converge donc.
$\quad$
$\ell = -\dfrac{1}{2}\ell^2 \ssi \ell + \dfrac{1}{2}\ell^2 = 0 \ssi \ell \left(1 + \dfrac{1}{2}\ell \right) = 0$
Cela signifie donc que $\ell = 0$ ou $\ell + \dfrac{1}{2}\ell = 0$ (et donc $\ell=-2$).
On sait que $\ell \in [-1;0]$. Par conséquent $\ell = 0$.
$\quad$
On sait que :
$\bullet$ la suite $(v_n)$ est croissante et converge vers $0$;
$\bullet$ $u_n = v_n + 3$ pour tout entier naturel $n$.
Par conséquent la suite $(u_n)$ est également croissante et converge vers $3$.
Les conjectures de la partie A sont donc validées.
$\quad$

[collapse]