TS – DM – eq et exp – Ex 2

Exercice 2

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par $u_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}$, puis de donner des approximations décimales de sa limite.

Partie A

On considère la suite $(v_n)$ définie pour $n \ge 1$ par $v_n = u_n + \dfrac{1}{n \times n!}$.

  1. Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est croissante et que la suite $(v_n)_{n \in \N}$ est décroissante.
    $\quad$
  2. En déduire que pour tout $n \ge 1$, on a : $2 \le u_n \le v_n \le 3$.
    $\quad$
  3. Montrer que les suite $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent et ont la même limite notée $L$.
    $\quad
  4. On se propose de donner une approximation décimale de $L$ à $10^{-10}$ près. Montrer que pour cela, il suffit de calculer $u_{13}$. Faire le calcul et reconnaître le nombre $L$.
    $\quad$
  5. Quel terme de la suite devrait-on calculer pour obtenir une approximation de $L$ à $10^{-30}$ près. Faire ce calcul avec un logiciel de calcul formel.

 

Partie B

On se propose de déterminer la valeur exacte de $L$. On définit sur l’intervalle $[0;1]$, pour $n \ge 0$ la famille de fonctions $(f_n)$ par $\displaystyle f_n(x) = -\e^{-x}\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} = -\e^{-x}\left(1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}\right)$.

  1. Déterminer l’expression de la dérivée de $f_n$.
    $\quad$
  2. En déduire que $f_n$ est croissante sur $[0;1]$, puis que $u_n \le \e$.
    $\quad$
  3. On définit sur l’intervalle $[0;1]$ la famille de fonctions $(g_n)$ par $g_n(x) = f_n(x) – \dfrac{x}{n!}$.
    Calculer $g_n'(x)$ et montrer que $g_n$ est décroissante sur $[0;1]$.
    $\quad$
  4. En déduire que pour tout $n \in \N$ : $\e\left(1 – \dfrac{1}{n!}\right) \le u_n \le \e$.
    $\quad$
  5. Confirmer la valeur de $L$.

 

Partie C : Généralisation

  1. Montrer par récurrence que pour tout réel $x \ge 0$, on a : $\e^x \ge 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \ldots + \dfrac{x^n}{n!}$
    $\quad$
  2. On définit une nouvelle fonction $h_n$ sur $[0;+\infty[$, par $h_n(x) = 1 + f_n(x) – \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}$.
    Calculer sa dérivée, puis montrer que $h_n(x) \le 0$ pour tout $x \ge 0$.
    $\quad$
  3. En déduire que pour tout $ x \ge 0$, $\displaystyle 0 \le \e^x – \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} \le \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\e^x$.
    $\quad$
  4. Montrer la généralisation suivante : pour $x \ge 0$, $\displaystyle \e^x = \lim\limits_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}$. On note alors $\displaystyle \e^x = \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{x^k}{k!}$.

Correction

Partie A

  1. $\displaystyle u_{n+1} – u_n = \sum_{k=0}^{n+1} \dfrac{1}{k!} – \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} = \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} + \dfrac{1}{(n+1)!} – \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} = \dfrac{1}{(n+1)!} > 0$.
    la suite $(u_n)$ est donc croissante
    $\quad$
    $$\begin{align*} v_{n+1} – v_n &= u_{n+1} + \dfrac{1}{(n+1)\times (n+1)!} – u_n – \dfrac{1}{n \times n!} \\\\
    & = \dfrac{1}{(n+1)!} + \dfrac{1}{(n+1) \times (n+1)!} – \dfrac{1}{n \times n!}\\\\
    &= \dfrac{n(n+1) + n – (n+1)(n+1)}{n(n+1)(n+1)!} \\\\
    &= \dfrac{n^2+n+n-(n^2+2n+1)}{n(n+1)(n+1)!} \\\\
    &=\dfrac{-1}{n(n+1)(n+1)!} \\\\
    & < 0
    \end{align*}$$
    La suite $(v_n)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  2. De par la définition de $v_n$ on a $u_n \le v_n$.
    Par conséquent $u_1 \le u_n \le v_n \le v_1$
    Soit $$2 \le u_n \le v_n \le 3$$
    $\quad$
  3. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée. Elle converge donc vers un réel $L$ d’après le théorème de convergence monotone.
    La suite $(v_n)$ est décroissante et minorée. Elle converge donc vers un réel $L’$ d’après le théorème de convergence monotone.
    Or $v_n = u_n + \dfrac{1}{n \times n!}$ donc $v_n – u_n = \dfrac{1}{n \times n!} \qquad (1)$.
    Mais $\lim\limits_{n \to +\infty} n \times n! = +\infty$ par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n \times n!} = 0$.
    En prenant les limites des termes de l’équation $(1)$ on obtient $L’ – L = 0$. Par conséquent $L = L’$.
    Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent donc vers la même limite $L$.
    $\quad$
  4. Pour obtenir une approximation de $L$ à $10^{-10}$ près il suffit que $v_{n} – u_{n} \le 10^{-10}$.
    Cela signifie donc qu’il suffit que $\dfrac{1}{n \times n!} \le 10^{-10}$.
    En prenant $n= 12$ on trouve $v_{12} – u_{12} \approx 1,74 \times 10^{-10}$.
    En prenant $n= 13$ on trouve $v_{13} – u_{13} \approx 1,24 \times 10^{-11}$.
    Il suffit donc de calculer $u_{13}$ pour obtenir une approximation à $10^{-10}$ près de $L$.
    Il semblerait que $L = \text{e}$.
    $\quad$
  5. Sur le même principe il suffit que $\dfrac{1}{n \times n!} \le 10^{-30}$ pour obtenir une approximation décimale de $L$ à $10^{-30}$ près.
    Un logiciel de calcul formel nous indique qu’il suffit de calculer $u_{28}$. On cherche pour cela le rang à partir duquel $n \times n! \ge 10^{-30}$.

$\quad$

Partie B

  1. La fonction $f_n$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $$\begin{align*} f_n'(x) &= \text{e}^{-x} \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} – \text{e}^{-x}\sum_{k=1}^n\dfrac{kx^{k-1}}{k!} \\\\
    &= \text{e}^{-x} \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} – \text{e}^{-x}\sum_{k=1}^n\dfrac{x^{k-1}}{(k-1)!} \\\\
    &= \text{e}^{-x} \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} – \text{e}^{-x}\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{x^k}{k!} \\\\
    &= \dfrac{x^n}{n!}\text{e}^{-x}
    \end{align*}$$
  2. Pour tout $x$ de $[0;1]$, $\dfrac{x^n}{n!} \ge 0$.
    Par conséquent la fonction $f_n$ est croissante sur $[0;1]$.
    $\quad$
    Cela signifie donc que $f_n(1) \ge f_n(0)$
    Or $f_n(1) = -\text{e}^{-1} \times u_n$ et $f_n(0) = -1$.
    Par conséquent $-\text{e}^{-1}u_n \ge -1$ soit $u_n \le \text{e}$.
    $\quad$
  3. La fonction $g_n$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $$\begin{align*} g_n'(x) &= f_n'(x) – \dfrac{1}{n!} \\\\
    &= \dfrac{x^n}{n!} – \dfrac{1}{n!} \\\\
    &= \dfrac{x^n – 1}{n!}
    \end{align*}$$
    Puisque $x$ appartient à l’intervalle $[0;1]$ alors $x^n – 1 \le 0$.
    La fonction $g_n$ est donc décroissante sur $[0;1]$.
    $\quad$
  4. Cela signifie donc que $g_n(0) \ge g_n(1)$.
    Or $g_n(0) = f_n(0) = -1$
    et $g_n(1) = f_n(1) – \dfrac{1}{n!} = -\text{e}^{-1}u_n – 1\dfrac{1}{n!}$
    Par conséquent $-1 \ge -\text{e}^{-1}u_n – \dfrac{1}{u_n} \Leftrightarrow 1 \le \text{e}^{-1}u_n + \dfrac{1}{n!} \Leftrightarrow \text{e}\left(1 – \dfrac{1}{n!} \right) \le u_n$.
    A l’aide de la question $\textbf{B.2.}$ on obtient ainsi :
    $$\text{e}\left(1 – \dfrac{1}{n!}\right) \le u_n \le \text{e}$$
  5. $\lim\limits_{n \to +\infty} 1 – \dfrac{1}{n!} = 1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \text{e}\left(1 – \dfrac{1}{n!}\right) = \text{e}$
    D’après le théorème des gendarmes $L = \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \text{e}$.

$\quad$

Partie C

  1. On appelle $g_n$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par :
    $$g_n(x) = \text{e}^x – \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}$$
    Cette fonction est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\quad$
    Montrons par récurrence sur $n$ que pour tout $x \ge 0$, $g_n(x) \ge 0$
    Initialisation : Si $n= 0$ alors $g_0(x) = \text{e}^x – 1 \ge 0$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $g_n(x) = \text{e}^x – \displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} \ge 0$.
    $g_{n+1}$ est dérivable sur $[0;1]$.
    $$\begin{align*} g_{n+1}'(x) &= \text{e}^x – \sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{kx^{k-1}}{k!} \\\\
    &= \text{e}^x – \sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{x^{k-1}}{(k-1)!} \\\\
    &= \text{e}^x – \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} \\\\
    & \ge 0
    \end{align*}$$
    La fonction $g_{n+1}$ est croissante sur $[0;+\infty[$. Donc pour tout $x \ge 0$ on a $g_{n+1}(x) \ge g_{n+1}(0) = 0$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ et tout réel positif $x$ on a $g_n(x) \ge 0$ soit $$\text{e}^x \ge \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}$$
  2. La fonction $h_n$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $$\begin{align*}
    h_n'(x) &= f_n'(x) – \dfrac{(n+1)x^n}{(n+1)!} \\\\
    & \dfrac{x^n}{n!}\text{e}^{-x} – \dfrac{x^n}{n!}\\\\
    & \dfrac{x^n}{n!}\left(\text{e}^{-x} – 1\right)
    \end{align*}$$
    Sur $[0;+\infty[$, $x^n \ge 0$ et $\text{e}^{-x} – 1 \le 0$, par conséquent $h_n'(x) \le 0$ sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    Cela signifie donc que, pour tout $x\ge0$, $h_n(x) \le h_n(0)$ soit $h_n(x) \le 0$.
    $\quad$
  3. On a ainsi pour tout $x \ge 0$ :
    $$\begin{align*}
    h_n(x) \le 0 & \Leftrightarrow 1 + f_n(x) – \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!} \le 0 \\\\
    &\Leftrightarrow 1 – \text{e}^{-x}\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} \le \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!} \\\\
    &\Leftrightarrow \text{e}^x – \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} \text{e}^x \le \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!} \\\\
    \end{align*}$$
    De plus d’après la question $\textbf{C.1}$ on sait que $\displaystyle \text{e}^{x} -\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} \ge 0$
    Par conséquent : $$ 0 \le \text{e}^x – \sum_{k=0}^n \dfrac{x^n}{k!} \le \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\text{e}^x$$
  4. Soit $x \ge 0$. Montrons que $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{x^n}{n!} = 0$.
    On définit la suite $(u_n)$ par $u_n = \dfrac{x^n}{n!}$.
    $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{x}{n+1}$
    On appelle $n_0 = E(2x)$ où $E$ désigne la fonction partie entière.
    On obtient ainsi, pour tout $n \ge n_0$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{x}{n+1} \le \dfrac{1}{2}$
    Par conséquent, pour tout $n \ge n_0$ on a $0 \le u_n \le u_{n_0} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-n_0}$.
    Le théorème des gendarmes nous assure alors que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.
    $\quad$
    En reprenant l’inégalité de la question \textbf{C.3.} on a ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\text{e}^{x} = 0$.
    D’après le théorème des gendarmes on a ainsi que $\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} \text{e}^x – \sum_{k=0}^n \dfrac{x^n}{k!} = 0$.
    Et donc $\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n \dfrac{x^n}{k!} = \text{e}^x$.