TS - DM - eq et exp

Exercice 3 (se méfier de la calculatrice)

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\Oij$. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

$$f(x) = \dfrac{1}{2}\e^{2x} – 2,1\e^x + 1,1x + 1,6$$

Faire apparaître sur l’écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la fenêtre : $-5 \le x \le 4$, $-4 \le y \le 4$.
Reproduire l’allure de la courbe obtenue sur la copie.
$\quad$
D’après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer :
a. Sur les variations de la fonction $f$?
$\quad$
b. Sur le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 0$?
$\quad$
On se propose maintenant d’étudier la fonction $f$.
a. Résoudre dans $\R$ l’inéquation $\e^{2x} – 2,1\e^x + 1,1 \le 0$.
$\quad$
b. Étudier les variations de la fonction $f$.
$\quad$
c. Déduire de cette étude le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 0$.
$\quad$
On veut représenter, sur l’écran d’une calculatrice, la courbe représentative de la fonction sur l’intervalle $[-0,05;0,15]$, de façon à visualiser les résultats de la question 3.
Quelles valeurs extrêmes de l’ordonnée $y$ peut-on choisir pour la fenêtre de la calculatrice?

Correction

$\quad$
a. Il semblerait que la fonction $f$ soit strictement croissante sur l’intervalle $[-5;4]$.
$\quad$
b. L’équation $f(x)=0$ semble avoir une unique solution.
$\quad$
a. On pose $X = \text{e}^x$.
L’inéquation $\text{e}^{2x} – 2,1\text{e}^x + 1,1 \le 0$ $\quad$ $(1)$ devient alors : $X^2 -2,1X + 1,1 \le 0$ $\quad$ $(2)$.
On calcule le discriminant : $\Delta = 2,1^2 – 4,4 = 0,01 > 0$.
Il y a donc deux racines réelles : $X_1 = \dfrac{2,1 – \sqrt{0,01}}{2} = \dfrac{2,1 – 0,1}{2} = 1$ et $X_2 = \sqrt{2,1 + 0,1}{2} = 1,1$.
La solution de $(2)$ est donc $[1;1,1]$.
Si $X_1 = 1$ alors $\text{e}^{x_1} = 1$ et $x_1 = 0$.
Si $X_2 = 1,1$ alors $\text{e}^{x_2} = 1,1$ et $x_2 = \ln 1,1$
La solution de $(1)$ est donc $[0;\ln 1,1]$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme somme de fonctions dérivables sur $\R$.
$f'(x) = \text{e}^x – 2,1\text{e}^x + 1,1$.
D’après la question précédente, on peut donc dire que :
• $f$ est croissante sur $]-\infty;0]$
• $f$ est décroissante sur $[0;\ln 1,1]$
• $f$ est croissante sur $[\ln 1,1;+\infty[$
$\quad$
c. $\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^{2x} = 0$ \quad $\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0$ \quad donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.
$f(x) = \text{e}^{2x} \left(\dfrac{1}{2} – 2,1 \text{e}^{-x} + 1,1x\text{e}^{-2x} + 1,6\text{e}^{-2x}\right)$.
$\lim\limits_{x \to +\infty} x\text{e}^{-2x} = 0$ \quad $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-2x} = 0$
Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
$f(0) = 0$ et $f(\ln 1,1) = -0,105 + 1,1\ln 1,1$
— Sur l’intervalle $]-\infty;0]$, la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante. $f(0)=0$. D’après le théorème de la bijection, l’équation $f(x) = 0$ ne possède alors qu’une unique solution dans cet intervalle.
$\quad$
— Sur l’intervalle $]0;\ln 1,1]$, $f(x) < 0$. D’après la contraposée du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x) = 0$ ne possède pas de solution dans cet intervalle.
$\quad$
— Sur l’intervalle $]\ln 1,1;+\infty[$, la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante. De plus $f(\ln 1,1) <0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} = +\infty$. Par conséquent $0\in ]f(\ln 1,1);+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection, l’équation $f(x)= 0$ possède une unique solution sur cet intervalle.
$\quad$
Finalement, l’équation $f(x)=0$ possède deux solutions sur $\R$.
$\quad$
On peut choisir comme valeur minimale pour $y$ : $\min(f(-0,05);f(\ln 1,1))$ et pour valeur valeur maximale de $y$: $f(0,15)$ car $f(0,15) > 0$.