TS – DM – Équation et fonction exponentielle

Difficulté +++   

Exercice 1

$f$ est une fonction dérivable strictement décroissante de $[0;1]$ dans $[0;1]$.

Montrer que l’équation $f(x) = x$ a une solution unique dans $[0;1]$.

$\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 2

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par $u_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}$, puis de donner des approximations décimales de sa limite.

Partie A

On considère la suite $(v_n)$ définie pour $n \ge 1$ par $v_n = u_n + \dfrac{1}{n \times n!}$.

  1. Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est croissante et que la suite $(v_n)_{n \in \N}$ est décroissante.
    $\quad$
  2. En déduire que pour tout $n \ge 1$, on a : $2 \le u_n \le v_n \le 3$.
    $\quad$
  3. Montrer que les suite $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent et ont la même limite notée $L$.
    $\quad$
  4. On se propose de donner une approximation décimale de $L$ à $10^{-10}$ près. Montrer que pour cela, il suffit de calculer $u_{13}$. Faire le calcul et reconnaître le nombre $L$.
    $\quad$
  5. Quel terme de la suite devrait-on calculer pour obtenir une approximation de $L$ à $10^{-30}$ près. Faire ce calcul avec un logiciel de calcul formel.

 

Partie B

On se propose de déterminer la valeur exacte de $L$. On définit sur l’intervalle $[0;1]$, pour $n \ge 0$ la famille de fonctions $(f_n)$ par $\displaystyle f_n(x) = -\e^{-x}\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} = -\e^{-x}\left(1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}\right)$.

  1. Déterminer l’expression de la dérivée de $f_n$.
    $\quad$
  2. En déduire que $f_n$ est croissante sur $[0;1]$, puis que $u_n \le \e$.
    $\quad$
  3. On définit sur l’intervalle $[0;1]$ la famille de fonctions $(g_n)$ par $g_n(x) = f_n(x) – \dfrac{x}{n!}$.
    Calculer $g_n'(x)$ et montrer que $g_n$ est décroissante sur $[0;1]$.
    $\quad$
  4. En déduire que pour tout $n \in \N$ : $\e\left(1 – \dfrac{1}{n!}\right) \le u_n \le \e$.
    $\quad$
  5. Confirmer la valeur de $L$.

 

Partie C : Généralisation

  1. Montrer par récurrence que pour tout réel $x \ge 0$, on a : $\e^x \ge 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \ldots + \dfrac{x^n}{n!}$
    $\quad$
  2. On définit une nouvelle fonction $h_n$ sur $[0;+\infty[$, par $h_n(x) = 1 + f_n(x) – \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}$.
    Calculer sa dérivée, puis montrer que $h_n(x) \le 0$ pour tout $x \ge 0$.
    $\quad$
  3. En déduire que pour tout $ x \ge 0$, $\displaystyle 0 \le \e^x – \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} \le \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\e^x$.
    $\quad$
  4. Montrer la généralisation suivante : pour $x \ge 0$, $\displaystyle \e^x = \lim\limits_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}$. On note alors $\displaystyle \e^x = \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{x^k}{k!}$.

$\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 3 (se méfier de la calculatrice)

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\Oij$. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

$$f(x) = \dfrac{1}{2}\e^{2x} – 2,1\e^x + 1,1x + 1,6$$

  1. Faire apparaître sur l’écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la fenêtre : $-5 \le x \le 4$, $-4 \le y \le 4$.
    Reproduire l’allure de la courbe obtenue sur la copie.
    $\quad$
  2. D’après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer :
    a. Sur les variations de la fonction $f$?
    $\quad$
    b. Sur le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 0$?
    $\quad$
  3. On se propose maintenant d’étudier la fonction $f$.
    a. Résoudre dans $\R$ l’inéquation $\e^{2x} – 2,1\e^x + 1,1 \le 0$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Déduire de cette étude le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 0$.
    $\quad$
  4. On veut représenter, sur l’écran d’une calculatrice, la courbe représentative de la fonction sur l’intervalle $[-0,05;0,15]$, de façon à visualiser les résultats de la question 3.
    Quelles valeurs extrêmes de l’ordonnée $y$ peut-on choisir pour la fenêtre de la calculatrice?
    $\quad$

Correction