TS – DM – exercices autour de la fonction exponentielle – Ex 2

Correction

1. Soit $M(x;\e^x)$ un point de la courbe $\mathscr{C}$ représentant la fonction exponentielle dans un repère orthonormé $\Oij$.
   On a alors $$OM = \sqrt{x^2 + \left(\e^x\right)^2} = \sqrt{x^2 + \e^{2x}}$$
   On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \sqrt{x^2 + \e^{2x}}$
   Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
   $$f'(x) = \dfrac{2x + 2\e^{2x}}{2\sqrt{x^2 + \e^{2x}}} = \dfrac{x + \e^{2x}}{\sqrt{x^2 + \e^{2x}}}$$
   La distance $OM$ est minimale si, et seulement si, $f'(x) = 0$.
   Or $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x + \e^{2x} = 0$.
   $\quad$
   On appelle $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = x + \e^{2x}$.
   $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^{2x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x) = -\infty$
   $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{2x} = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$.
   Cette fonction est dérivable sur $\R$ comme somme de fonctions dérivables sur $\R$.
   $$g'(x) = 1 + 2\e^{2x}$$
   La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, on a $g'(x) > 0$.
   La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\R$.
   De plus $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$.
   Par conséquent $0 \in ]-\infty;+\infty[$.
   D’après le théorème de la bijection, l’équation $g(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$.
   Il existe donc bien un unique point $M(\alpha;\e^{\alpha})$ situé à une distance minimale de l’origine.
   Voici la courbe représentative de la fonction $g$ au voisinage de $\alpha$.
   
   Une valeur approchée de $\alpha$ est $-0,4263028$
   Pour calculer la valeur exacte : Lien Wolframalpha
   $\quad$
2. Soit $A(a;\e^a)$ et $B(b;\e^b)$, avec $a<b$, deux points de la courbe de la fonction exponentielle dans un repère $\Oij$.
   Une équation de la droite $(AB)$ est $y = \dfrac{\e^b – \e^a}{b – a}(x – a) + \e^a$.
   On appelle $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \dfrac{\e^b – \e^a}{b – a}(x – a) + \e^a – \e^x$.
   Elle est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
   $$h'(x) = \dfrac{e^b-e^a}{b-a} – \e^x$$
   $h’$ est également dérivable sur $\R$
   $$h”(x) = -\e^x < 0\quad \forall x\in \R$$
   Nous allons déterminer le signe de $h'(a)$ et de $h'(b)$ mais pour cela nous allons avoir besoin de montrer la propriété suivante :
   $\quad$
   
   
   Propriété : Pour tout $x \in \R^*$, $\e^x > 1 + x$
   
   
   Démontrons ce résultat. On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \e^x – 1 – x$.
   $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivable sur cet intervalle.
   $f'(x) = \e^x – 1 > 0$ sur $]0;+\infty[$ et $f'(x) < 0 $ sur $]-\infty;0[$
   Donc $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et strictement décroissante sur $]-\infty;0[$.
   Le minimum est donc $f(0) = 0$
   Par conséquent, pour tout $x\in \R^*$, $f(x) > f(0)$ soit $f(x) > 0$ et $e^x > 1 + x$.
   $\quad$
   $h'(a) = \dfrac{e^b-e^a}{b – a} – e^a = \dfrac{e^b – e^a – (b-a)e^a}{b-a} = \dfrac{e^a\left[e^{b-a} – 1 – (b -a)\right]}{b – a}$.
   Puisque $b>a$ alors $b-a > 0$ et d’après la propriété précédente $h'(a)>0$.
   $h'(b) = \dfrac{e^b-e^a}{b-a} – e^b = \dfrac{e^b-e^a – (b-a)e^b}{b-a} = \dfrac{e^b\left[1 – e^{a – b} + (a-b)\right]}{b-a}$.
   Or, d’après la propriété précédente, $1 + (a – b) – e^{a – b} <0$.
   Donc $h'(b)<0$.
   La fonction $h’$ est continue (car dérivable)et strictement décroissante sur $[a;b]$.
   De plus $h'(a)> 0$ et $h'(b)<0$. Donc $0 \in [h'(b];h'(a)]$
   D’après le théorème de la bijection, l’équation $h'(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$.
   $\quad$
   Cela signifie donc que sur $[a;\alpha]$, $h$ est strictement croissante et sur $[\alpha;b]$, $h$ est strictement décroissante.
   Or $h(a) = h(b) = 0$ donc sur $[a;b]$, $h(x) \ge 0$.
   Cela signifie donc que la corde $[AB]$ est au-dessus de la courbe représentative de la fonction exponentielle.
   $\quad$
3. Variables
   $\quad$ $A$, $B$, $L$ sont des réels positifs
   $\quad$ $N$, $K$ sont des entiers naturels non nuls
   Initialisation
   $\quad$ Saisir la valeur de $N$
   $\quad$ Affecter à $A$ la valeur $0$
   $\quad$ Affecter à $B$ la valeur $\dfrac{1}{N}$
   $\quad$
   $\quad$ Affecter à $L$ la valeur $\sqrt{\left(e^B-e^A\right)^2+\dfrac{1}{N^2}}$
   Traitement
   $\quad$ Pour $K$ allant de $1$ à $N-1$ faire
   $\qquad$ Affecter à $A$ la valeur $B$
   $\qquad$ Affecter à $B$ la valeur $B + \dfrac{1}{N}$
   $\quad$
   $\qquad$ Affecter à $L$ la valeur $L +\sqrt{\left(e^B-e^A\right)^2+\dfrac{1}{N^2}}$
   $\quad$ Fin Pour
   Sortie
   $\quad$ Afficher $L$
   Fichier algobox