TS – DM – exercices autour de la fonction exponentielle

Difficulté : Exercice 1 + $\quad$ Exercice 2 ++

 

Exercice 1

Partie A :  Étude d’une fonction auxiliaire $g$.

La fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(x) = 2\e^x + 2x – 7$.

  1. Étudier les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations.
    $\quad$
  3. Justifier que l’équation $g(x) = 0$ admet dans $\R$ une solution unique $\alpha$ telle que : $$0,940 < \alpha < 0,941$$
    $\quad$
  4. Étudier le signe de $g$ sur $\R$.
    $\quad$

Partie B : Étude d’une fonction

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = (2x – 5)(1 – \e^{-x})$. On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $\Oij$.

  1. Étudier le signe de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
    $\quad$
  3. Calculer $f'(x)$, où $f’$ désigne la fonction dérivée de $f$ et vérifier que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe. Dresser le tableau de variations de $f$.
    a. Démontrer l’égalité $f(\alpha) = \dfrac{(2\alpha – 5)^2}{2\alpha – 7}$.
    $\quad$
    b. Étudier le sens de variations de la fonction $h : x \mapsto \dfrac{(2x – 5)^2}{2x – 7}$ sur l’intervalle $\left]-\infty;\dfrac{5}{2}\right]$.
    En déduire, à partir de l’encadrement de $\alpha$ obtenu dans la partie A, un encadrement d’amplitude $10^{-3}$ de $f(\alpha)$.
    $\quad$
  4. Démontrer que la droite $\mathscr{D}$, d’équation $y=2x – 5$, est asymptote à $\mathscr{C}$ en $+\infty$. Préciser la position de $\mathscr{C}$ par rapport à $\mathscr{D}$.
    $\quad$
  5. Tracer la droite $\mathscr{D}$ et la courbe $\mathscr{C}$ dans le repère $\Oij$ (unité graphique $2$ cm).
    $\quad$

Partie C :  Étude d’une suite de rapports de distances

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $3$, on considère les points $A_n$, $B_n$ et $C_n$ d’abscisse $n$, appartenant respectivement à l’axe des abscisses, la droite $\mathscr{D}$ et la courbe $\mathscr{C}$.

Soit $u_n$ le réel défini par $u_n = \dfrac{C_nB_n}{A_nB_n}$.

  1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $3$, on a : $$u_n = \dfrac{2n – 5 – f(n)}{2n – 5}$$
    $\quad$
  2. a. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$?
    $\quad$
    b. Calculer la limite de la suite $(u_n)$.
    $\quad$

$\quad$

correction

$\quad$

Exercice 2

  1. Déterminer la position du point de la courbe de la fonction exponentielle qui est situé le plus près de l’origine du repère.
    $\quad$
  2. On considère deux points $A$ et $B$ distincts de la courbe de la fonction exponentielle. Montrer que le segment $[AB]$ est toujours situé au dessus de la courbe.
    $\quad$
  3. En découpant l’intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles de même amplitude, proposer un algorithme qui donne une valeur approchée par défaut de la longueur de la courbe de la fonction exponentielle entre les points d’abscisses $0$ et $1$.

Pour ces questions, la calculatrice, géogébra, algobox ou un tableur pourront être utilisés.

Correction