TS – DM – exercices autour de la fonction ln

Difficulté : + 

Exercice 1

  1. Résoudre dans $\R$ l’équation : $\ln(2x) = \ln(x^2 – 1)$.
    $\quad$
  2. Résoudre dans $\R$ l’inéquation : $\ln(3-x) + \ln 2 – 2\ln(x + 1) \ge 0$.

$\quad$
Correction

$\quad$

Exercice 2

Pour cet exercice, on pourra d’abord envisager une conjecture graphique en traçant plusieurs courbes, en utilisant un curseur, puis démontrer rigoureusement le résultat.

On donne un entier naturel non nul $n$.

  1. Discuter selon les valeurs de $n$ le nombre de solutions de l’équation $\ln x = x^n$.
    $\quad$
  2. Discuter selon les valeurs de $n$ le nombre de solutions de l’équation $\e^x=x^n$.
    $\quad$
  3. Comparer $n^2$ et $2^n$.

$\quad$
Correction

$\quad$

Exercice 3

Soit $f$ la fonction : $x \mapsto \ln\left(\e^{2x} – \e^x + 1\right)$.

  1. Monter que $f$ est définie sur $\R$. Étudier les limites respectives de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
    $\quad$
  2. Calculer $f'(x)$ et étudier le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Étudier la limite en $+\infty$ de $f(x) – 2x$. En déduire les asymptotes à la courbe $\mathscr{C}$ de $f$.
    $\quad$
  4. Étudier la position de $\mathscr{C}$ par rapport à l’asymptote oblique $\Delta$ quand $x > 0$.
    $\quad$
  5. Déterminer l’équation de la tangente $\mathscr{T}$ à $\mathscr{C}$ au point $(0;0)$.
    $\quad$
  6. Étudier la position de $\mathscr{C}$ par rapport à $\mathscr{T}$.
    $\quad$
  7. Tracer $\mathscr{C}$, $\Delta$ et $\mathscr{T}$.
    $\quad$
  8.  Soit $k$ un réel strictement positif. Discuter, suivant les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l’équation d’inconnue $x$ : $e^{2x} – \e^x+1-k=0$.
    • par le calcul
    $\quad$
    • en utilisant la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
    Correction