TS – DM – Intégration


Difficulté : ++
Exercice 1 :

Approximations rationnelles de $\pi$ et de $\ln(2)$

Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose $I_n = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\tan(x)\right)^n\mathrm{d}x$.

Partie A

  1. Justifier l’existence de $I_n$.
    $\quad$
  2. Sans calculer $I_n$, montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est positive et décroissante. Que peut-on en déduire?
    $\quad$
  3. Rappeler la dérivée de la fonction $\tan$, puis calculer celle de la fonction $h : \begin{cases} \left[0;\dfrac{\pi}{4}\right] \to \R \\x \mapsto \ln \left(\cos(x)\right) \end{cases}$.
    En déduire les valeurs exactes de $I_1$ et $I_2$.
    $\quad$
  4. En remarquant que $\left(\tan(x)\right)^3 = \tan(x) \times \left(\left(\tan(x)\right)^2+1\right) – \tan(x)$, calculer la valeur exacte de $I_3$.
    $\quad$
Correction Partie A

  1. La fonction $\tan$ est continue sur $\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]$. Il en est donc de même pour la fonction $\tan^n$ pour tout entier naturel non nul $n$.
    Par conséquent $I_n$ existe.
    $\quad$
  2. La fonction $\tan$ est positive sur $\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]$. Il en est donc de même pour la fonction $\tan^n$ pour tout entier naturel non nul $n$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n \ge 0$.
    $\quad$
    Soit $n$ un entier naturel non nul :
    $$\begin{align*}
    I_{n+1}-I_n &= \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\tan(x)\right)^{n+1}\mathrm{d}x-\int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\tan(x)\right)^{n}\mathrm{d}x \\\\
    &= \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\tan(x)\right)^{n} \left(\tan x-1\right) \mathrm{d}x
    \end{align*}$$
    Or sur $\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]$ $\tan x-1 \le 0$ et $\left(\tan(x)\right)^{n} \ge 0$.
    Par conséquent $I_{n+1}-I_n \le 0$.
    La suite $(I_n)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    La suite $(I_n)$ est décroissante et minorée par $0$; elle est donc convergente.
    $\quad$
  3. La dérivée de la fonction $\tan$ est définie, sur $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ par $1+\tan^2(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x}$.
    $\quad$
    La fonction $\cos$ est dérivable et strictement positive sur $\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]$ et la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$. Par conséquent la fonction $h$ est dérivable sur $\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]$.
    $h'(x) = -\sin(x) \dfrac{1}{\cos(x)} = -\tan x$.
    $\quad$
    $$\begin{align*}
    I_1 &= \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \mathrm{d}x \\\\
    & = \left[-h(x)\right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\\\
    & = -\ln \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\\
    &= -\ln \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\\\
    &= \ln \sqrt{2} \\\\
    &= \dfrac{1}{2} \ln (2)
    \end{align*}$$
    $\quad$
    $$\begin{align*}
    I_2 &= \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\tan(x)\right)^2 \mathrm{d}x \\\\
    & = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left[1 + \left(\tan(x)\right)^2-1\right] \mathrm{d}x \\\\
    & = \left[\tan(x)-x\right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\\\
    & = 1-\dfrac{\pi}{4}
    \end{align*}$$
    $\quad$
  4. $\tan(x) \times \left(\left(\tan(x)\right)^2 + 1\right)-\tan(x) = \left(\tan(x)\right)^3 + \tan(x)-\tan(x) = \left(\tan(x)\right)^3$.
    $$\begin{align*}
    I_3 &= \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\tan(x)\right)^3 \mathrm{d}x \\\\
    &= \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left[\tan(x) \times \left(\left(\tan(x)\right)^2 + 1\right)-\tan(x) \right] \mathrm{d}x \\\\
    &= \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left[\tan(x) \times \left(\left(\tan(x)\right)^2 + 1\right)\mathrm{d}x\right]-\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \mathrm{d}x \\\\
    &= \left[ \dfrac{1}{2} \left(\tan(x)\right)^2\right]_0^{\frac{\pi}{4}}-I_1 \\\\
    & = \dfrac{1}{2} + \ln \dfrac{\sqrt{2}}{2}
    \end{align*}$$

[collapse]

 

Partie B

  1. Pour tout entier $n > 0$, montrer que $I_n + I_{n+2} = \dfrac{1}{n+1}$.
    $\quad$
  2. En déduire que, pour tout entier $n > 0$, $\dfrac{1}{2(n+1)} \le I_n \le \dfrac{1}{n+1}$.
    $\quad$
  3. Quelle est la limite de la suite $(I_n)$?
    $\quad$
Correction Partie B

  1. Soit $n > 0$
    $$\begin{align*}
    I_n + I_{n+2} & = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\tan(x)\right)^n\mathrm{d}x + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\tan(x)\right)^{n+2} \mathrm{d}x \\\\
    & = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left[ \left(\tan(x)\right)^n + \left(\tan(x)\right)^{n+2}\right] \mathrm{d}x \\\\
    & = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\tan(x)\right)^n \left(1 + \left(\tan(x)\right)^2\right)\mathrm{d}x\\\\
    & = \left[\dfrac{1}{n+1}\left(\tan(x)\right)^{n+1}\right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\\\
    & = \dfrac{1}{n+1}
    \end{align*}$$
    $\quad$
    \item La suite $(I_n)$ est positive donc $I_n \le I_n+I_{n+2}$ soit $I_n \le \dfrac{1}{n+1}$.
    La suite $(I_n)$ est décroissante donc $I_{n+2} \le I_n$ par conséquent $I_{n+2} + I_n \le 2I_n$ soit $\dfrac{1}{n+1} \le 2I_n$ et $\dfrac{1}{2(n+1)} \le I_n$.
    Finalement $\dfrac{1}{2(n+1)} \le I_n \le \dfrac{1}{n+1}$.
    $\quad$
  2. On a $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n+1} = 0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2(n+1)} = 0$.
    D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} I_n= 0$.

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Partie C

On pose $u_n = I_{n+4}-I_n$ où $n \in \N^*$.

  1. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, sous la forme de la différence de deux fractions.
    $\quad$
  2. Calculer $u_2+u_6+u_{10}+\ldots+u_{4k-2}$ en fonction de $I_2$ et $I_{4k+2}$, pour $k$ entier strictement positif.
    $\quad$
  3. En déduire la limite de la somme : $S_k = 1 – \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{9} \ldots-\dfrac{1}{4k-1} + \dfrac{1}{4k+1}$ lorsque $k$ tend vers $+\infty$.
    $\quad$
  4. Montrer que pour tout $n > 0$,
    $$1 – \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} \ldots – \dfrac{1}{4n-1} + \dfrac{1}{4n+1}-\dfrac{1}{4n+3} \le \dfrac{\pi}{4} \le 1-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} \ldots + \dfrac{1}{4n+1}$$
    $\quad$
  5. Écrire un algorithme qui donne un encadrement de $\pi$ par deux rationnels, avec une précision choisie.
    $\quad$
  6. Calculer $u_1+u_5+u_9+\ldots+u_{4k-3}$ en fonction de $I_1$ et $I_{4k+1}$, pour $k$ entier strictement positif.
    $\quad$
  7. En déduire la limite de la somme : $1-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} \ldots + \dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k}$ lorsque $k$ tend vers $+\infty$.
    $\quad$
  8. Encadrer $\ln(2)$ par deux suites convergentes de rationnels.
    $\quad$
  9. Calculer la valeur exacte de $\displaystyle \sum_{n=1}^{100} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$, comparer avec $\ln(2)$. Conclusion?
    $\quad$
Correction Partie C

  1.  $\quad$
    $$\begin{align*}
    u_n &= I_{n+4}-I_n \\\\
    &= I_{n+4} + I_{n+2}-I_{n+2}-I_n \\\\
    &= \dfrac{1}{n+3}-\dfrac{1}{n+1}
    \end{align*}$$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $$\begin{align*}
    u_2+u_6+u_{10} + \ldots + u_{4k-2} &= I_6 – I_2 + I_{10}-I_6 + I_{14}-I_{10} + \ldots + I_{4k+2}-I_{4k-2} \\\\
    &= I_{4k+2}-I_2
    \end{align*}$$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $$\begin{align*}
    S_k &= 1-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{9} \ldots-\dfrac{1}{4k-1} + \dfrac{1}{4k+1} \\\\
    &= 1 + u_2 + u_6 + u_{10}+ \ldots + u_{4k-2} \\\\
    &= 1 + I_{4k+2}-I_2
    \end{align*}$$
    Or $\lim\limits_{n \to +\infty} I_n= 0$
    Donc $\lim\limits_{k \to +\infty} S_k= 1-\left(1-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi}{4}$
    $\quad$
  4. Puisque la suite $(I_n)$ est décroissante on peut dire que la suite $(S_n)$ l’est aussi.
    Donc $\dfrac{\pi}{4} \le 1-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} \ldots + \dfrac{1}{4n+1}$.
    D’après la question B.2 on a $I_{4n+2} \le \dfrac{1}{4n+3}$
    Donc
    $$\begin{align*}
    S_n-\dfrac{1}{4n+3} &= 1 + I_{4n+2}-I_n – \dfrac{1}{4n+3} \\\\
    & = \dfrac{\pi}{4} + I_{4n+2}-\dfrac{1}{4n+3} \\\\
    & \le \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{4n+3}-\dfrac{1}{4n+3} \\\\
    & \le \dfrac{\pi}{4}
    \end{align*}$$
    Par conséquent $$1-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} \ldots-\dfrac{1}{4n-1} + \dfrac{1}{4n+1}-\dfrac{1}{4n+3} \le \dfrac{\pi}{4} \le 1-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} \ldots + \dfrac{1}{4n+1}$$
    $\quad$
  5. Variables :
    $\quad$ $p$ est un réel
    $\quad$ $n$ est un entier naturel non nul
    $\quad$ $S$ est un réel
    $\quad$ $inf$ est un réel
    $\quad$ $sup$ est un réel
    Initialisation :
    $\quad$ Afficher “Quelle précision voulez-vous?”
    $\quad$ Saisir $p$
    $\quad$ $n$ prend la valeur $1$
    $\quad$ $S$ prend la valeur $1-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5}$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $\dfrac{1}{4n+3} > p$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\qquad$ $S$ prend la valeur $S – \dfrac{1}{4n-1} + \dfrac{1}{4n+1}$
    $\quad$ Fin Tant que
    $\quad$ $inf$ prend la valeur $4 \left(S-\dfrac{1}{4n+3}\right)$
    $\quad$ $sup$ prend la valeur $4S$
    Sortie :
    $\quad$ Afficher “Borne inférieure : ”
    $\quad$ Afficher $inf$
    $\quad$ Afficher “Borne supérieure : ”
    $\quad$ Afficher $sup$
    $\quad$
  6. Soit $k$ un entier naturel non nul.
    $$\begin{align*}
    u_1+u_5+u_9+\ldots+u_{4k-3} & = I_5 – I_1 + I_9-I_5 + \ldots + I_{4k+1}-I_{4k-3} \\\\
    &= I_{4k+1}-I_1
    \end{align*}$$
    $\quad$
  7. $\quad$
    $$\begin{align*}
    u_1+u_5+\ldots+u_{4k-3} &= -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{8}+\ldots-\dfrac{1}{4k-3+1}+\dfrac{1}{4k-3+3} \\\\
    &=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{8}+\ldots-\dfrac{1}{4k-2}+\dfrac{1}{4k} \\\\
    &=-\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k} \right)
    \end{align*}$$
    Par conséquent, d’après la question précédente, on a :
    $-\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k}\right) =I_{4k+1}-I_1$.
    Donc $A_k=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k} = 2\left(I_1-I_{4k+1}\right)$.
    Or d’après la question B.3. $\lim\limits_{k \to +\infty} I_{4k+1} = 0$.
    Donc $\lim\limits_{k \to +\infty} A_k = 2I_1=\ln (2)$.
    Par conséquent $\lim\limits_{k \to +\infty} 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k} = \ln (2)$.
    $\quad$
  8. On considère la suite $\left(A_k\right)$ définie, pour tout entier naturel $k$ non nul par $$A_k = 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k}$$ et la suite $\left(B_k\right)$ définie par $$B_k = A_k + \dfrac{1}{2k+1}.$$
    $A_{k+1}-A_k = \dfrac{1}{2(k+1)-1} – \dfrac{1}{2(k+1)} = \dfrac{1}{2k+1} – \dfrac{1}{2k+2} >0$.
    La suite $\left(A_k\right)$ est donc croissante et, d’après la question précédente, sa limite est $\ln(2)$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $k$ non nul, on a $A_k \le \ln(2)$
    $$\begin{align*}
    B_{k+1}-B_k &= A_{k+1}-A_k+\dfrac{1}{2(k+1)+1}-\dfrac{1}{2k+1} \\\\
    &= \dfrac{1}{2k+1} – \dfrac{1}{2k+2} + \dfrac{1}{2(k+1)+1}-\dfrac{1}{2k+1} \\\\
    &= -\dfrac{1}{2k+2}+\dfrac{1}{2k+3}\\\\
    &<0
    \end{align*}$$
    La suite $\left(B_k\right)$ est donc décroissante.
    $\lim\limits_{k \to +\infty}B_k = \lim\limits_{k \to +\infty} \left(A_k + \dfrac{1}{2k+1}\right) = \ln (2)$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $k$ non nul, on a $B_k \ge \ln(2)$.
    Ainsi,pour tout entier naturel $k$ non nul, on a $A_k \le \ln(2) \le B_k$
    $\quad$
  9. $\quad$
    $$ \sum_{n=1}^{100} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}=\dfrac{47~979~622~564~155~786~918~478~609~039~662~898~122~617}{69~720~375~229~712~477~164~533~808~935~312~303~556~800}$$
    Et $\displaystyle \ln(2)-\sum_{n=1}^{100} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} \approx 4,975 \times 10^{-3}$
    Cette approximation de $\ln(2)$ par $\displaystyle \sum_{n=1}^{100} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ n’est pas très rapide car en $100$ étapes l’erreur est supérieure à $10^{-3}$.

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Exercice 2 :

Approximations rationnelles de $\e$

Pour tout entier $n$ de $\N$, on considère la suite $(I_n)$ définie par $I_n = \displaystyle \int_1^{\e} \left(\ln(x)\right)^n \mathrm{d}x$.

  1. Montrer que la suite $(I_n)$ est définie, positive et décroissante. Calculer $I_0$.
    $\quad$
  2. Dériver la fonction $\begin{cases} [1;\e] \to \R \\ x \mapsto x \ln(x) \end{cases}$, en déduire la valeur exacte de $I_1$.
    $\quad$
  3. Dériver la fonction $\begin{cases} [1;\e] \to \R \\ x \mapsto x \left(\ln(x)\right)^n \end{cases}$ pour $n > 0$
    $\quad$
  4. En déduire que pour tout $n \in \N$, $I_{n+1} = \e-(n+1)I_n$.
    $\quad$
  5. Calculer les valeurs exactes de $I_2$, $I_3$ et $I_4$ en fonction de $\e$; puis leurs valeurs approchées à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  6. Démontrer que $(n+1)I_n \le \e$. En déduire la convergence de $I_n$.
    $\quad$
  7. Calculer la limite de $nI_n$.
    $\quad$
  8. Programmer sur la calculatrice ou un tableur le calcul de $I_n$ à partir de la formule de récurrence. Que remarque-t-on? Expliquer.
    $\quad$
  9. Avec un logiciel de calcul formel, calculer la valeur exacte de $I_{30}$, en déduire une approximation rationnelle de $\e$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. La fonction $\ln$ est continue et positive sur $[1;\e]$. Il en est de même pour la fonction $\ln^n$, pour tout entier naturel $n$. par conséquent $I_n$ est est définie et positive pour tout $n$ de $\N$.
    $\quad$
    Soit $n\in \N$ :
    $$\begin{align*}
    I_{n+1}-I_{n} &=\displaystyle \int_1^{\e} \left(\ln(x)\right)^{n+1}\mathrm{d}x-\int_1^{\e} \left(\ln(x)\right)^{n}\mathrm{d}x \\\\
    &= \displaystyle \int_1^{\e} \left(\ln(x)\right)^{n}\left(\ln x – 1\right) \mathrm{d}x
    \end{align*}$$
    Sur $[1;\e]$, $\ln(x) \le 1$ donc $I_{n+1}-I_n \le 0$.
    $\quad$
    La suite $(I_n)$ est donc définie, positive et décroissante.
    $\quad$
    $$\begin{align*}
    I_0 &= \displaystyle \int_1^{\e} 1 \mathrm{d}x \\\\
    &= [x]_1^{\e} \\
    & = \e-1
    \end{align*}$$
    $\quad$
  2. La fonction $x \mapsto x\ln(x)$ est dérivable sur $[1;\e]$ en tant produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Sa dérivée est définie sur $[1;\e]$ par : $\ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} = \ln(x)+1$.
    $\quad$
    $$\begin{align*}
    I_1 &= \displaystyle \int_1^{\e} \ln x \mathrm{d}x \\\\
    &= \displaystyle \int_1^{\e} \left(\ln x + 1-1\right) \mathrm{d}x \\\\
    &= \displaystyle \int_1^{\e} \left(\ln x+1\right) \mathrm{d}x -\int_1^{\e} 1 \mathrm{d}x \\\\
    &= \left[x\ln(x)\right]_1^{\e}-\e +1\\\\
    &= 1
    \end{align*}$$
    $\quad$
  3. Soit $n \in \N^*$. La fonction $f_n:x \mapsto x\left(\ln(x)\right)^n$ est dérivable sur $[1;\e]$ en tant produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Sa dérivée est définie sur $[1;\e]$ par :
    $$\begin{align*} f_n'(x) &= \left(\ln(x)\right)^n + x \times \dfrac{n}{x} \times \left(\ln(x)\right)^{n-1} \\\\
    &= \left(\ln(x)\right)^n+n\left(\ln(x)\right)^{n-1}
    \end{align*}$$
    $\quad$
  4. Soit $n\in \N$
    $$\begin{align*}
    \displaystyle I_{n+1} &= \int_0^{\e} \left(\ln(x)\right)^{n+1}\mathrm{d}x \\\\
    &= \left[x\left(\ln(x)\right)^{n+1} \right]_0^{\e}-\int_0^{\e} (n+1)\left(\ln(x)\right)^n\mathrm{d}x \\\\
    &= \e-(n+1)I_n
    \end{align*}$$
    $\quad$
  5. $I_2 = \e-2I_1 = \e-2 \approx 0,718$
    $\quad$
    $I_3 = \e-3I_2 = 6-2\e\approx 0,563$
    $\quad$
    $i_4 = \e-4I_3 = 9\e-24 \approx 0,465$
    $\quad$
  6. $(n+1)I_n = \e-I_{n+1}$. Or $(I_n)$ est une suite positive. Donc $(n+1)I_n \le \e$.
    $\quad$
    On a ainsi $0 \le I_n \le \dfrac{\e}{n+1}$.
    Or $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\e}{n+1} = 0$.
    D’après le théorème des gendarmes, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} I_n= 0$.
    $\quad$
  7. On a $I_{n+1} = \e-nI_n-I_n$.
    Or $\lim\limits_{n \to +\infty} I_{n+1} = \lim\limits_{n \to +\infty} I_n = 0$.
    Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} nI_n = \e$.
    $\quad$
  8. On constate, sur un tableur, qu’à partir du rang $16$, la suite $(I_n)$ n’est plus décroissante. Cela est certainement dû à des erreurs d’arrondis.
    $\quad$
  9. La valeur exacte de $I_{30}$ est :
    $$97~581~073~836~835~777~732~377~428~235~481 \e -265~252~859~812~191~058~636~308~480~000~000$$
    Puisque $\lim\limits_{n \to +\infty} I_n = 0$ alors $\e \approx \dfrac{265~252~859~812~191~058~636~308~480~000~000}{97~581~073~836~835~777~732~377~428~235~481}$

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Exercice 3

Calculer les intégrales suivantes :

  1. $\displaystyle \int_0^2 \left(1 – |x-1|\right)^3\mathrm{d}x$
    $\quad$
  2. $\displaystyle \int_0^{\pi} \left(\sin x\right)^5 \mathrm{d}x$
    $\quad$
  3. $\displaystyle \int_0^{\pi} \sin^5 t \cos t \mathrm{d}x$
    $\quad$
  4. $\displaystyle \int_0^3 \dfrac{1}{\sqrt{4x+1}}\mathrm{d}x$
    $\quad$
  5. $\displaystyle \int_{\sqrt{\e}}^{\e} \dfrac{1 + \ln(u)}{u\ln(u)} \mathrm{d}u$.
Correction Exercice 3

  1. $(1-|x-1|)^3 = \begin{cases} (1-(1-x))^3 \text{~~sur~} [0,1] \\(1-(x – 1))^3 \text{  sur } [1;2]\end{cases}$ $=\begin{cases} x^3 \text{  sur } [0,1] \\(2-x)^3 \text{~~sur~} [1;2]\end{cases}$
    $$\begin{align*}
    \displaystyle \int_0^2 \left(1-|x-1|\right)^3\mathrm{d}x &= \int_0^1 x^3\mathrm{d}x + \int_1^2 (2-x)^3\mathrm{d}x \\\\
    &= \left[\dfrac{x^4}{4}\right]_0^1 + \left[\dfrac{-(2-x)^4}{4}\right]_1^2 \\\\
    & = \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4} \\\\
    & = \dfrac{1}{2}
    \end{align*}$$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $$\begin{align*} \displaystyle \int_0^{\pi} \left(\sin x\right)^5 \mathrm{d}x &= \int_0^{\pi} \left(\left(\sin(x)\right)^2\right)^2\sin(x)\mathrm{d}x \\\\
    &= \int_0^{\pi} \left(1-\left(\cos(x)\right)^2\right)^2\sin(x)\mathrm{d}x \\\\
    &= \int_0^{\pi} \left(1-2\left(\cos(x)\right)^2 + \left(\cos(x)\right)^4\right)\sin(x)\mathrm{d}x \\\\
    &= \left[-\cos(x) + \dfrac{2}{3}\left(\cos(x)\right)^3-\dfrac{1}{5}\left(\cos{x}\right)^5\right]_0^{\pi} \\\\
    &= \dfrac{8}{15} + \dfrac{8}{15} \\\\
    & = \dfrac{16}{15}
    \end{align*}$$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $$\begin{align*} \displaystyle \int_0^{\pi} \sin^5 t \cos t \mathrm{d}x &= \left[\dfrac{\left(\sin(x)\right)^6}{6}\right]_0^{\pi} \\\\
    &= 0-0 \\
    &= 0
    \end{align*}$$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $$ \begin{align*} \displaystyle \int_0^3 \dfrac{1}{\sqrt{4x+1}}\mathrm{d}x &= \left[\dfrac{2\sqrt{4x+1}}{4}\right]_0^3 \\
    & = \dfrac{\sqrt{13}}{2}-\dfrac{1}{2} \\\\
    & = \dfrac{\sqrt{13}-1}{2}
    \end{align*}$$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $$\begin{align*}
    \int_{\sqrt{\e}}^{\e} \dfrac{1 + \ln(u)}{u\ln(u)} \mathrm{d}u & = \left[\ln\left(u\ln(u)\right) \right]_{\sqrt{\e}}^{\e} \\\\
    &= \ln \e-\ln \dfrac{\sqrt{\e}}{2} \\\\
    &= 1-\ln \sqrt{\e} + \ln 2 \\\\
    & = 1-\dfrac{1}{2}\ln \e + \ln 2\\\\
    &=\dfrac{1}{2} + \ln 2
    \end{align*}$$

[collapse]

$\quad$