TS – DM – Intégration

Difficulté : ++
Exercice 1 :

Approximations rationnelles de $\pi$ et de $\ln(2)$

Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose $I_n = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\tan(x)\right)^n\mathrm{d}x$.

Partie A

1. Justifier l’existence de $I_n$.
   $\quad$
2. Sans calculer $I_n$, montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est positive et décroissante. Que peut-on en déduire?
   $\quad$
3. Rappeler la dérivée de la fonction $\tan$, puis calculer celle de la fonction $h : \begin{cases} \left[0;\dfrac{\pi}{4}\right] \to \R \\x \mapsto \ln \left(\cos(x)\right) \end{cases}$.
   En déduire les valeurs exactes de $I_1$ et $I_2$.
   $\quad$
4. En remarquant que $\left(\tan(x)\right)^3 = \tan(x) \times \left(\left(\tan(x)\right)^2+1\right) – \tan(x)$, calculer la valeur exacte de $I_3$.
   $\quad$

 

Partie B

1. Pour tout entier $n > 0$, montrer que $I_n + I_{n+2} = \dfrac{1}{n+1}$.
   $\quad$
2. En déduire que, pour tout entier $n > 0$, $\dfrac{1}{2(n+1)} \le I_n \le \dfrac{1}{n+1}$.
   $\quad$
3. Quelle est la limite de la suite $(I_n)$?
   $\quad$

 

Partie C

On pose $u_n = I_{n+4}-I_n$ où $n \in \N^*$.

1. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, sous la forme de la différence de deux fractions.
   $\quad$
2. Calculer $u_2+u_6+u_{10}+\ldots+u_{4k-2}$ en fonction de $I_2$ et $I_{4k+2}$, pour $k$ entier strictement positif.
   $\quad$
3. En déduire la limite de la somme : $S_k = 1 – \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{9} \ldots-\dfrac{1}{4k-1} + \dfrac{1}{4k+1}$ lorsque $k$ tend vers $+\infty$.
   $\quad$
4. Montrer que pour tout $n > 0$,
   $$1 – \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} \ldots – \dfrac{1}{4n-1} + \dfrac{1}{4n+1}-\dfrac{1}{4n+3} \le \dfrac{\pi}{4} \le 1-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} \ldots + \dfrac{1}{4n+1}$$
   $\quad$
5. Écrire un algorithme qui donne un encadrement de $\pi$ par deux rationnels, avec une précision choisie.
   $\quad$
6. Calculer $u_1+u_5+u_9+\ldots+u_{4k-3}$ en fonction de $I_1$ et $I_{4k+1}$, pour $k$ entier strictement positif.
   $\quad$
7. En déduire la limite de la somme : $1-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} \ldots + \dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k}$ lorsque $k$ tend vers $+\infty$.
   $\quad$
8. Encadrer $\ln(2)$ par deux suites convergentes de rationnels.
   $\quad$
9. Calculer la valeur exacte de $\displaystyle \sum_{n=1}^{100} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$, comparer avec $\ln(2)$. Conclusion?
   $\quad$

 

Exercice 2 :

Approximations rationnelles de $\e$

Pour tout entier $n$ de $\N$, on considère la suite $(I_n)$ définie par $I_n = \displaystyle \int_1^{\e} \left(\ln(x)\right)^n \mathrm{d}x$.

1. Montrer que la suite $(I_n)$ est définie, positive et décroissante. Calculer $I_0$.
   $\quad$
2. Dériver la fonction $\begin{cases} [1;\e] \to \R \\ x \mapsto x \ln(x) \end{cases}$, en déduire la valeur exacte de $I_1$.
   $\quad$
3. Dériver la fonction $\begin{cases} [1;\e] \to \R \\ x \mapsto x \left(\ln(x)\right)^n \end{cases}$ pour $n > 0$
   $\quad$
4. En déduire que pour tout $n \in \N$, $I_{n+1} = \e-(n+1)I_n$.
   $\quad$
5. Calculer les valeurs exactes de $I_2$, $I_3$ et $I_4$ en fonction de $\e$; puis leurs valeurs approchées à $10^{-3}$ près.
   $\quad$
6. Démontrer que $(n+1)I_n \le \e$. En déduire la convergence de $I_n$.
   $\quad$
7. Calculer la limite de $nI_n$.
   $\quad$
8. Programmer sur la calculatrice ou un tableur le calcul de $I_n$ à partir de la formule de récurrence. Que remarque-t-on? Expliquer.
   $\quad$
9. Avec un logiciel de calcul formel, calculer la valeur exacte de $I_{30}$, en déduire une approximation rationnelle de $\e$.
   $\quad$

 

Exercice 3

Calculer les intégrales suivantes :

1. $\displaystyle \int_0^2 \left(1 – |x-1|\right)^3\mathrm{d}x$
   $\quad$
2. $\displaystyle \int_0^{\pi} \left(\sin x\right)^5 \mathrm{d}x$
   $\quad$
3. $\displaystyle \int_0^{\pi} \sin^5 x \cos x \mathrm{d}x$
   $\quad$
4. $\displaystyle \int_0^3 \dfrac{1}{\sqrt{4x+1}}\mathrm{d}x$
   $\quad$
5. $\displaystyle \int_{\sqrt{\e}}^{\e} \dfrac{1 + \ln(u)}{u\ln(u)} \mathrm{d}u$.

$\quad$