Montrons tout d’abord que $\forall x \pg 1, \forall y \pg 1$ on a $x+y \pp 1+xy \qquad (1)$

$(1-x)\times(1-y)=1-x-y+xy$
Or $x\pg 1$ et $y\pg 1$ donc $(1-x)(1-y) \pg 0$.
Par conséquent $1-x-y+xy\pg 0 \ssi 1+xy\pg x+y$.

$\quad$

Montrons maintenant, par récurrence, que $\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+a_i\right) \pp 2^{n-1}\left(1+\prod_{i=1}^n a_i\right)$ pour tout entier naturel $n$ non nul.

Initialisation : Si $n=1$ alors $\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+a_i\right) = 1+a_1$
Or $2^{n-1}\left(1+\prod_{i=1}^n a_i\right) = 2^0\left(1+a_1\right))=1+a_1$.
Et $1+a_1 \pp 1+a_1$.
La propriété est donc vraie au rang $1$.

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+a_i\right) \pp 2^{n-1}\left(1+\prod_{i=1}^n a_i\right)$

$$\begin{align*} \prod_{i=1}^{n+1} \left(1+a_i\right) &= \prod_{i=1}^n \left(1+a_i\right)\times \left(1+a_{n+1}\right) \\
& \pp 2^{n-1}\left(1+\prod_{i=1}^n a_i\right) \times \left(1+a_{n+1}\right) \\
&\pp 2^{n-1} \left(1+\prod_{i=1}^n a_i + a_{n+1}+\prod_{i=1}^{n+1} a_i \right)
\end{align*}$$
Or d’après $(1)$ : $\displaystyle \prod_{i=1}^n a_i + a_{n+1} \pp 1 + \prod_{i=1}^n a_i \times a_{n+1}$
Soit $\displaystyle \prod_{i=1}^n a_i + a_{n+1} \pp 1+\prod_{i=1}^{n+1} a_i $.

Par conséquent :

$$\begin{align*} \prod_{i=1}^{n+1} \left(1+a_i\right) &\pp 2^{n-1}\left(1+\prod_{i=1}^n a_i + a_{n+1}+\prod_{i=1}^{n+1} a_i \right)  \\
&\pp 2^{n-1}\left(1+\prod_{i=1}^{n+1} a_i +1+\prod_{i=1}^{n+1} a_i \right)  \\
&\pp 2^{n}\left(1+\prod_{i=1}^{n+1} a_i  \right)
\end{align*}$$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

$\quad$

Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+a_i\right) \pp 2^{n-1}\left(1+\prod_{i=1}^n a_i\right)$.

1. $x+\dfrac{1}{x}-2 = \dfrac{x^2-2x+1}{x} =\dfrac{(x-1)^2}{x}$
   Par conséquent, pour tout réel $x$ strictement positif, $x+\dfrac{1}{x}-2 \pg 0$.
   Soit $x+\dfrac{1}{x}\pg 2$.
   $\quad$
2. Montrons par récurrence sur $n$ que $\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n a_i\right) \times \left(\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}\right) \pg n^2$.
   Initialisation : Si $n=1$ alors
   $\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n a_i\right) \times \left(\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}\right) = a_1 \times \dfrac{1}{a_1} = 1 \pg 1^2$
   La propriété est vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n a_i\right) \times \left(\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}\right) \pg n^2$
   $$\begin{align*} \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n+1} a_i\right) \times \left(\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac{1}{a_i}\right)&= \left(\sum_{i=1}^n a_i + a_{n+1}\right) \times \left(\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}+\dfrac{1}{a_{n+1}}\right) \\
   &= \left(\sum_{i=1}^n a_i\right) \times \left(\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}\right) + a_{n+1}\times \left(\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}\right) +\dfrac{1}{a_{n+1}}\times  \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)+ \dfrac{a_{n+1}}{a_{n+1}} \\
   &= \left(\sum_{i=1}^n a_i\right) \times \left(\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}\right) + a_{n+1}\times \left(\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}\right) +\dfrac{1}{a_{n+1}}\times  \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)+ 1
   \end{align*}$$
   $\quad$
   On va montrer que $\displaystyle a_{n+1}\times \left(\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}\right) +\dfrac{1}{a_{n+1}}\times  \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\pg 2n$
   $$\begin{align*} \displaystyle a_{n+1}\times \left(\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}\right) +\dfrac{1}{a_{n+1}}\times  \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)&= \dfrac{a_{n+1}}{a_1}+\dfrac{a_{n+1}}{a_2}+\ldots+\dfrac{a_{n+1}}{a_n}+\dfrac{a_1}{a_{n+1}}+\dfrac{a_2}{a_{n+1}}+\ldots+\dfrac{a_n}{a_{n+1}} \\
   &=\left( \dfrac{a_{n+1}}{a_1}+\dfrac{a_1}{a_{n+1}}\right)+\left(\dfrac{a_{n+1}}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_{n+1}}\right)+\ldots+\left(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}+\dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right)\\
   & \pg \underbrace{2+2+\ldots+2}_{n \text{ fois}} \qquad \text{ d’après la question } 1
   \end{align*}$$
   Par conséquent :
   $$\begin{align*} \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n+1} a_i\right) \times \left(\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac{1}{a_i}\right)&= \left(\sum_{i=1}^n a_i\right) \times \left(\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}\right) + a_{n+1}\times \left(\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}\right) +\dfrac{1}{a_{n+1}}\times  \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)+ 1 \\
   &\pg n^2+2n+1 \\
   &\pg (n+1)^2
   \end{align*}$$
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n a_i\right) \times \left(\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}\right) \pg n^2$