TS - Exercices corrigés

Exercice 1

Déterminer l’ensemble de définition et les limites aux bornes des fonctions définies par :

$f_1(x)=\dfrac{1}{\ln(x)}$
$\quad$
$f_2(x)=\ln\left(x^2+2x+3\right)$
$\quad$
$f_3(x)=x-\ln x$
$\quad$

Correction Exercice 1

La fonction $f_1$ est définie sur $I=]0;1[\cup]1;+\infty[$ (il faut que $x>0$ et que $\ln x\neq 0$).
$\bullet$ $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} f_1(x)=0^-$
$\bullet$ $\lim\limits_{x\to 1^-} \ln x=0^-$ donc $\lim\limits_{x \to 1^-} f_1(x)=-\infty$
$\bullet$ $\lim\limits_{x\to 1^+} \ln x=0^+$ donc $\lim\limits_{x \to 1^+} f_1(x)=+\infty$
$\bullet$ $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 1^-} f_1(x)=0$
$\quad$
On étudie dans un premier temps le signe de $x^2+2x+3$.
$\Delta=2^2-4\times 3\times 1=-8<0$. Le coefficient principal est $a=1>0$.
Donc l’expression est toujours strictement positive.
Ainsi la fonction $f_2$ est définie sur $\R$.
$\bullet$ $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2+2x+3=\lim\limits_{x \to -\infty} x^2=+\infty$ d’après la limite des termes de plus haut degré. De plus $\lim\limits_{X \to +\infty} \ln X=+\infty$.
Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f_2(x)=+\infty$
$\bullet$ $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2+2x+3=\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty$ d’après la limite des termes de plus haut degré. De plus $\lim\limits_{X \to +\infty} \ln X=+\infty$.
Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f_2(x)=+\infty$
$\quad$
La fonction $f_3$ est définie sur $]0;+\infty[$
$\bullet$ $\lim\limits_{x \to 0^+} x=0$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} f_3(x)=+\infty$
$\bullet$ $f_3(x)=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)$.
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f_3(x)=+\infty$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions et les limites indiquées.

$f_1(x)= \dfrac{\ln(1+x)}{x^2}$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} f_1(x)$
$\quad$
$f_2(x)=x+x\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f_2(x)$
$\quad$
$f_3(x)=\dfrac{\ln x}{x^4}$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f_3(x)$
$\quad$

Correction Exercice 2

$\ln(1+x)$ existe pour tout $x\in ]-1;+\infty[$.
Donc $f_1$ est définie sur $]-1;0[\cup]0;+\infty[$.
$f_1(x)=\dfrac{1}{x}\times \dfrac{\ln(1+x)}{x}$.
Or $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$
Donc $\lim\limits_{x \to 0} f_1(x)=+\infty$.
$\quad$
Il faut que $1+\dfrac{1}{x}>0 \ssi \dfrac{1+x}{x}>0$.
Donc $f_2$ est définie sur $]-\infty;-1[\cup]0;+\infty[$.
$f_2(x)=x\left(1+\ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right)\right)$
$\lim\limits_{x \to +\infty} 1+\dfrac{1}{x}=1$ ainsi $\lim\limits_{x \to +\infty} 1+\ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right)=1$.
Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} f_2(x)=+\infty$.
$\quad$
$f_3$ est définie sur $]0;+\infty[$.
$f_3(x)=\dfrac{1}{x^3} \times \dfrac{\ln x}{x}$
Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^3}=0$.
Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f_3(x)=0$.
$\quad$
Remarque : On peut aussi utiliser la propriété (hors programme) $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=0$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{\ln x}{x+1}$.

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
$\quad$
Déterminer les limites aux bornes.
$\quad$
En déduire l’existence d’asymptotes.
$\quad$
Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ représentant la fonction $f$ au point d’abscisse $1$.
$\quad$

Correction Exercice 3

La fonction $f$ est définie sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
$\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} x+1=1$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=-\infty$
$f(x)=\dfrac{x}{x+1}\times \dfrac{\ln x}{x}$
D’après la limite des termes de plus haut degré, on a $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x+1}=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$
Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$.
$\quad$
Il y a donc deux asymptotes d’équation $x=0$ et $y=0$.
$\quad$
Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $1$ est :
$y=f'(1)(x-1)+f(1)$
La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle qui ne s’annule pas.
$f'(x)=\dfrac{\dfrac{x+1}{x}-\ln(x)}{(x+1)^2}$
Ainsi $f'(1)=\dfrac{1}{2}$ et $f(1)=0$.
Une équation de la tangente est donc $y=\dfrac{x-1}{2}$.

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$\quad$

Exercice 4

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x\ln(x)}$.

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
$\quad$
Déterminer les variations de la fonction $f$.
$\quad$
Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ représentant la fonction $f$ au point d’abscisse $\e$.
$\quad$

Correction Exercice 4

La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ et s’annule en $1$.
Donc la fonction $f$ est définie sur $]0;1[\cup]1;+\infty[$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $]0;1[$ et sur $]1;+\infty[$ en tant que produit et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
On va utiliser la dérivée de $\dfrac{1}{u}$ avec $u(x)=x\ln(x)$.
$u'(x)=\ln(x)+\dfrac{x}{x}=\ln(x)+1$.
Ainsi $f'(x)=-\dfrac{\ln(x)+1}{\left(x\ln(x)\right)^2}$
Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement de celui de $-\left(\ln(x)+1\right)$
$\ln(x)+1>0 \ssi \ln(x) > -1 \ssi x>\e^{-1}$
Donc $f'(x)<0 sur \left]\e^{-1};1\right[\cup]1;+\infty[$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $\left]0;\e^{-1}\right[$ et décroissante sur les intervalles $\left]\e^{-1};1\right[$ et $]1;+\infty[$.
$\quad$
Une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $\e$ est :
$y=f'(\e)(x-\e)+f(\e)$
Or $f'(\e)=-\dfrac{\ln(\e)+1}{\left(\e\ln(\e)\right)^2}=-\dfrac{2}{\e^2}$
et $f(\e)=\dfrac{1}{\e}$
Ainsi une équation de la tangente est :
$y=-\dfrac{2}{\e^2}(x-\e)+\dfrac{1}{\e}=-\dfrac{2x}{\e^2}+\dfrac{3}{\e}$
$\quad$

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$\quad$