TS – Exercices – Fonction ln

Exercice 1

Propriétés algébriques – Pour s’entraîner 

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de $\ln 3$.

  1. $\ln \left( \dfrac{1}{9} \right)$
    $\quad$
  2.  $\ln 24-\ln 216$
    $\quad$
  3. $\ln \dfrac{3}{4} + \ln 4$
    $\quad$
  4. $2\ln 3-\ln 27$
    $\quad$
  5. $\ln \left( 9\sqrt{3} \right)$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\ln \left( \dfrac{1}{9} \right)=-\ln 9=-\ln\left(3^2\right)=-2\ln 3$
    $\quad$
  2.  $\ln 24-\ln 216=\ln\left(\dfrac{24}{216}\right)=\ln \left(\dfrac{1}{9}\right)=-2\ln 3$
    $\quad$
  3. $\ln \dfrac{3}{4} + \ln 4=\ln \left(\dfrac{3}{4}\times 4\right)=\ln 3$
    $\quad$
  4. $2\ln 3-\ln 27=2\ln 3\ln \left(3^3\right)=2\ln 3-3\ln 3=-\ln 3$
    $\quad$
  5. $\ln \left( 9\sqrt{3} \right)=\ln 9 + \ln \sqrt{3}=2\ln 3+\dfrac{1}{2}\ln 3=\dfrac{5}{2}\ln 3$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2 

Propriétés algébriques – Pour s’entraîner 

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de $\ln x$.

  1. $\ln \left( \dfrac{x}{3} \right)$
    $\quad$
  2. $\ln \sqrt{x}$
    $\quad$
  3. $\ln \dfrac{x}{4} + \ln x$
    $\quad$
  4. $2\ln x-\ln \left( x^{45} \right)$
    $\quad$
  5. $\ln \left( 9\sqrt{x} \right)$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $\ln \left( \dfrac{x}{3} \right)=\ln x-\ln 3$
    $\quad$
  2. $\ln \sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\ln x$
    $\quad$
  3. $\ln \dfrac{x}{4} + \ln x=\ln x-\ln 4+\ln x=2\ln x+\ln 4$
    $\quad$
  4. $2\ln x-\ln \left( x^{45} \right)=2\ln x-45\ln x=-43\ln x$
    $\quad$
  5. $\ln \left( 9\sqrt{x} \right)=\ln 9+\ln \sqrt{x}=2\ln 3+\dfrac{1}{2}\ln x$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3 

Équations et inéquations – Pour s’entraîner

Résoudre :

  1. $\ln (2-3x) \pg 0$
    $\quad$
  2. $\ln(2-x)+1=0$
    $\quad$
  3. $\ln(x+5)=\ln3$
    $\quad$
  4. $\ln \left( \dfrac{3}{x} \right) \pg \ln 3$
    $\quad$
  5. $\e^x \pp \dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  6. $\ln \left( \dfrac{3x-1}{x+2} \right) \pg 0$
    $\quad$
  7. $2 \left( \ln(x-1) \right) ^{2} +5 \ln(x-1)-15 = 0$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $\ln (2-3x) \pg 0$
    On cherche dans un premier temps l’intervalle d’étude. Il faut que $2-3x>0 \ssi x<\dfrac{2}{3}$.
    Sur $\left]-\infty;\dfrac{2}{3}\right[$ on a :
    $\begin{align*} \ln(2-3x) \pg 0 &\ssi \ln(2-3x) \pg \ln 1 \\
    &\ssi 2-3x \pg 1 \\
    &\ssi -3x \pg -1 \\
    &\ssi x\pp \dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est donc $\left]-\infty;\dfrac{1}{3}\right]$.
    $\quad$
  2. $\ln(2-x)+1=0$
    On cherche dans un premier temps l’intervalle d’étude. Il faut que $2-x>0 \ssi x<2$.
    Sur $]-\infty;2[$ on a :
    $\begin{align*} \ln(2-x)+1=0 &\ssi \ln(2-x)=-1 \\
    &\ssi \ln(2-x)=\ln \left(\e^{-1}\right) \\
    &\ssi 2-x=\e^{-1} \\
    &\ssi -x=\e^{-1}-2 \\
    &\ssi x=2-\e^{-1}
    \end{align*}$
    La solution de l’équation est $2-\e^{-1}$.
    $\quad$
  3. $\ln(x+5)=\ln3$
    On cherche dans un premier temps l’intervalle d’étude. Il faut que $x+5>0 \ssi x>-5$.
    Sur $]-5;+\infty[$ on a :
    $\begin{align*} \ln(x+5)=\ln 3 &\ssi x+5=3 \\
    &\ssi x=-2
    \end{align*}$
    La solution de l’équation est $-2$.
    $\quad$
  4. $\ln \left( \dfrac{3}{x} \right) \pg \ln 3$
    On cherche dans un premier temps l’intervalle d’étude. Il faut que $\dfrac{3}{x}>0 \ssi x>0$.
    Sur $]0;+\infty[$ on a :
    $\begin{align*} \ln \left( \dfrac{3}{x} \right) \pg \ln 3 &\ssi \dfrac{3}{x} \pg 3 \\
    &\ssi 0 < \dfrac{x}{3} \pp \dfrac{1}{3} \\
    &\ssi 0<x\pp 1
    \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $]0;1]$.
    $\quad$
  5. $\e^x \pp \dfrac{1}{2} \ssi x \pp \ln \dfrac{1}{2} \ssi x \pp -\ln 2$
    La solution de l’inéquation est $]-\infty;-\ln 2]$.
    $\quad$
  6. $\ln \left( \dfrac{3x-1}{x+2} \right) \pg 0$
    On cherche dans un premier temps l’intervalle d’étude. Il faut que $\dfrac{3x-1}{x+2} >0$.
    $3x-1=0 \ssi x=\dfrac{1}{3}$ et $3x-1>0 \ssi x > \dfrac{1}{3}$
    $x+2=0 \ssi x=-2$ et $x+2>0 \ssi x>-2$

    Sur $]-\infty;-2[\cup\left]\dfrac{1}{3};+\infty\right[$ on a :
    $\begin{align*} \ln \left( \dfrac{3x-1}{x+2} \right) \pg 0 &\ssi \ln \left( \dfrac{3x-1}{x+2} \right) \pg \ln 1 \\
    &\ssi \dfrac{3x-1}{x+2} \pg 1 \\
    &\ssi \dfrac{3x-1}{x+2}-1 \pg 0 \\
    &\ssi \dfrac{3x-1-x-2}{x+2} \pg 0 \\
    &\ssi \dfrac{2x-3}{x+2} \pg 0
    \end{align*}$
    $2x-3=0 \ssi x=\dfrac{3}{2}$ et $2x-3>0 \ssi x > \dfrac{3}{2}$
    $x+2=0 \ssi x=-2$ et $x+2>0 \ssi x>-2$

    Ainsi la solution de l’inéquation est $]-\infty;-2[\cup\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.$\quad$
  7. $2 \left( \ln(x-1) \right) ^{2} +5 \ln(x-1)-15 = 0$
    On résout cette équation sur $]1;+\infty[$.
    On pose $X=\ln(x-1)$
    On obtient ainsi l’équation $2X^2+5X-15=0$
    Le discriminant est $\Delta=5^2-4\times 2\times (-15)=145>0$
    Les solutions sont donc $\dfrac{-5-\sqrt{145}}{4}$ et $\dfrac{-5+\sqrt{145}}{4}$.
    On résout maintenant sur $]1;+\infty[$ les équations :
    $\begin{array}{ll|l}
    \ln(x-1)=\dfrac{-5-\sqrt{145}}{4} && \ln(x-1)=\dfrac{-5+\sqrt{145}}{4} \\
    \ssi x-1=\exp\left(\dfrac{-5-\sqrt{145}}{4}\right) && \ssi x-1=\exp \left(\dfrac{-5+\sqrt{145}}{4}\right) \\
    \ssi x=1+\exp\left(\dfrac{-5-\sqrt{145}}{4}\right)&& \ssi x=1+\exp\left(\dfrac{-5+\sqrt{145}}{4}\right)
    \end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $1+\exp\left(\dfrac{-5-\sqrt{145}}{4}\right)$ et $1+\exp\left(\dfrac{-5+\sqrt{145}}{4}\right)$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4 

Limites – Pour s’entraîner

Déterminer les limites suivantes

  1. $\lim\limits_{x \to +\infty} \left( \ln x \right) ^{2}-\ln x $
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x-2x$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{x \to 0^+} \left( \ln x \right) ^{2}-3\ln x $
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln \left( x^2 +105x + 18\right)$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\lim\limits_{x \to +\infty}\ln x=+\infty $
    $\lim\limits_{X \to +\infty} X^2-X=\lim\limits_{X \to +\infty} X^2=+\infty$ d’après la limite des termes de plus haut degré.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \left( \ln x \right) ^{2}-\ln x=+\infty$
    $\quad$
  2. $\ln x-2x=x\left(\dfrac{\ln x}{x}-2\right)$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x-2x=-\infty$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{x \to 0^+}  \ln x=-\infty$
    Donc $\lim\limits_{x \to 0^+}  \left(\ln x\right)^2=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} -3\ln x=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to 0^+} \left( \ln x \right) ^{2}-3\ln x =+\infty$
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln \left( x^2 +105x + 18\right)$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2+105x-18=\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty$ d’après la limite des termes de plus haut degré.
    $\lim\limits_{X \to +\infty} \ln X=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln\left(x^2+105x+18\right)=+\infty$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5 

Limites – Pour s’entraîner

  1. Démontrer que $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$
    $\quad$
  2. Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} x\ln \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)$
    $\quad$
  3. Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x \ln \left( 1+e^{-x} \right)$
    $\quad$
  4. Calculer $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln \left( 1+\sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $t(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}=\dfrac{\ln(1+x)-\ln 1}{1+x-1}$
    Donc $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=f'(0)$ (limite du taux d’accroissement $t(x)$) où $f(x)=\ln(1+x)$
    Or $f'(x)=\dfrac{1}{x+1}$ donc $f'(0)=1$
    Ainsi $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$
    $\quad$
  2. Si on pose $X=\dfrac{1}{x}$ alors $x\ln \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)=\dfrac{\ln(1+X}{X}$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} x\ln \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)= \lim\limits_{X \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$
    $\quad$
  3. Si on pose $X=\e^{-x}$ alors $\e^x \ln \left( 1+e^{-x} \right)=\dfrac{\ln(1+X)}{X}$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x \ln \left( 1+e^{-x} \right) =\lim\limits_{X \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$
    $\quad$
  4. Si on pose $X=\sqrt{X}$ alors $\dfrac{\ln \left( 1+\sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}=\dfrac{\ln(1+X)}{X}$
    Donc $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln \left( 1+\sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{X \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$
    $\quad$

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