Correction exercice 1

Suites et récurrence

Correction

Exercice 1 ( D’après Polynésie juin 2013)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}$$

  1. a. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    b. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0<u_n$.
  2. On admet que $u_n <1$ pour tout entier naturel $n$.
    Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
  3. Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n}$.
    a. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $3$.
    b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}$.
    d. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Correction

  1. a. $u_1 = \dfrac{3u_0}{1+2u_0} = 0,75$ $\quad$ $u_2 = \dfrac{3u_1}{1+2u_1} = 0,9$
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    b. Initialisation : $u_0 = 0,5 > 0$. La propriété est donc vraie au rang $0$
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    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0 < u_n$.
    Alors $u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}$ est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont positifs.
    Donc $u_{n+1} > 0$
    La propriété est, par conséquent, vraie au rang $n+1$.
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    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0< u_n$.
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  2. $~$
    $$\begin{align} u_{n+1}-u_{n} &= \dfrac{3u_n}{1+2u_n} – u_n \\\\
    & = \dfrac{3u_n}{1+2u_n} – \dfrac{u_n+2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
    & = \dfrac{2u_n-2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
    & = \dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}
    \end{align}$$
    On sait que $0 < u_n < 1$ donc $u_{n+1} – u_n > 0$.
    La suite $(u_n)$ est donc croissante.
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  3. a. $~$
    $$\begin{align} v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}} \\\\
    & = \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{1 – \dfrac{3u_n}{1+2u_n}} \\\\
    &= \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{\dfrac{1+2u_n-3u_n}{1+2u_n}} \\\\
    &=\dfrac{3u_n}{1+2u_n} \times \dfrac{1+2u_n}{1-u_n} \\\\
    &= 3 \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\&=3v_n
    \end{align}$$
    $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $3$.
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    b. $v_0 = \dfrac{0,5}{1 – 0,5} = 1$ donc $v_n = 3^n$.
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    c. $~$
    $$ \begin{align} v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n}& \Leftrightarrow 3^n = \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\
    &\Leftrightarrow (1-u_n) \times 3^n = u_n \\\\
    & \Leftrightarrow 3^n = u_n + 3^n u_n \\\\
    & \Leftrightarrow u_n = \dfrac{3^n}{1+3^n}
    \end{align}$$
    d. $\dfrac{1+3^n}{3^n} = \dfrac{1}{3^n} + 1$ or $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{3^n} = 0$ (car $3 > 1$).
    Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{u_n} = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1 + 3^n}{3^n} = 1$ et $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} u_n = 1$

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