Suites et récurrence

Correction

Exercice 2 (D’après Asie juin 2013)

Partie A
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1} = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}$$
On admet que tout les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n > 1$.
a. Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a :$u_{n+1}-u_n = \dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}$.
b. Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$ :$$u_{n+1} = \dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}$$
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

On considère l’algorithme suivant :
Entrée
$\quad$ Soit un entier naturel non nul $n$
Initialisation
$\quad$ Affecter à $u$ la valeur $2$
Traitement et sortie
$\quad$ POUR $i$ allant de $1$ à $n$
$ \qquad$ Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1+0,5u}{0,5 + u}$
$ \qquad$ Afficher $u$
$\quad$ FIN POURReproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n=3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
i& 1 & 2 & 3 \\\\
\hline
u & & & \\\\
\hline
\end{array}$$
Pour $n= 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
i & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\\\
\hline
u& 1,0083 & 0,9973 & 1,0009 & 0,9997 & 1,0001 & 0,99997 & 1,00001 &0,999996 &1,000001 \\\\
\hline
\end{array}
$$Conjecturer le comportement de la suite $(u_n)$ à l’infini.
On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = \dfrac{u_n-1}{u_n+1}$.
a. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $-\dfrac{1}{3}$.
b. Calculer $v_0$ puis écrire $v_n$ en fonction de $n$.
a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_n \ne 1$.
b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}$.
c. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Correction

Partie A

Initialisation : $u_0 = 2>1$. La propriété est vraie au rang $0$.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n > 1$
Alors
$$u_{n+1} = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}=\dfrac{3+u_n+2u_n-2}{3+u_n}$$
$$u_{n+1}=1+\dfrac{2u_n-2}{3+u_n}$$
D’après l’hypothèse de récurrence : $2u_n-2 > 0$. On a de plus $3+u_n > 0$. Donc $u_{n+1} > 1$.
La propriété est vraie au rang $n+1$.
Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$.
En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
Donc pour tout entier naturel, $u_n > 1$.
$~$
Remarque : ne surtout pas faire la division des $2$ inégalités obtenues pour le numérateur et le dénominateur car le passage à l(inverse change le sens des inégalités !
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a. $u_{n+1} – u_n = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n} – u_n $ $=\dfrac{1 + 3u_n -3u_n-u_n^2}{3+u_n}$ $=\dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}$
$~$
b. D’après la question $1.$ on sait que $1-u_n < 0$. De plus $1+u_n > 0$ et $3+u_n > 0$
Donc $u_{n+1}-u_n < 0$.
La suite $(u_n)$ est donc décroissante.

Partie B

i $1$ $2$ $3$

u $0,800$ $1,077$ $0,976$
Il semblerait que la suite $(u_n)$ “oscille” autour de $1$ tout en tendant vers $1$.
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a. $$v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1}=\dfrac{ \dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}-1}{1+\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n} }=\dfrac{\dfrac{1+0,5u_n-0,5-u_n}{0,5+u_n} }{\dfrac{0,5+u_n+1+0,5u_n}{0,5+u_n}}$$
$$v_{n+1}=\dfrac{0,5-0,5u_n}{1,5+1,5u_n}\dfrac{-0,5}{1,5} \times \dfrac{u_n-1}{1+u_n}=\dfrac{-1}{3}v_n$$
$(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{-1}{3}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{3}$
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b. Donc $v_n=\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{-1}{3} \right)^n$
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a. Pour tout entier naturel $n$ on a : $\left(\dfrac{-1}{3} \right)^n \le 1$ donc $v_n \le \dfrac{1}{3}$ et $v_n \ne 1$
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b. $v_n = \dfrac{u_n-1}{1+u_n}$ donc
$$(1+u_n)v_n = u_n – 1$$
$$\Leftrightarrow v_n+1=u_n-u_n \times v_n$$
$$\Leftrightarrow u_n = \dfrac{1+v_n}{1-v_n}$$
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c. $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=0$ car $-1 < \dfrac{-1}{3} < 1$.
Par conséquent :
$$ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 1$$

i	$1$	$2$	$3$
u	$0,800$	$1,077$	$0,976$

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