1. a. $u_1 = \dfrac{3u_0}{1+2u_0} = 0,75$ $\quad$ $u_2 = \dfrac{3u_1}{1+2u_1} = 0,9$
   $~$
   b. Initialisation : $u_0 = 0,5 > 0$. La propriété est donc vraie au rang $0$
   $~$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0 < u_n$.
   Alors $u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}$ est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont positifs.
   Donc $u_{n+1} > 0$
   La propriété est, par conséquent, vraie au rang $n+1$.
   $~$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0< u_n$.
   $~$
2. $~$
   $$\begin{align} u_{n+1}-u_{n} &= \dfrac{3u_n}{1+2u_n} – u_n \\\\
   & = \dfrac{3u_n}{1+2u_n} – \dfrac{u_n+2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
   & = \dfrac{2u_n-2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
   & = \dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}
   \end{align}$$
   On sait que $0 < u_n < 1$ donc $u_{n+1} – u_n > 0$.
   La suite $(u_n)$ est donc croissante.
   $~$
3. a. $~$
   $$\begin{align} v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}} \\\\
   & = \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{1 – \dfrac{3u_n}{1+2u_n}} \\\\
   &= \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{\dfrac{1+2u_n-3u_n}{1+2u_n}} \\\\
   &=\dfrac{3u_n}{1+2u_n} \times \dfrac{1+2u_n}{1-u_n} \\\\
   &= 3 \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\&=3v_n
   \end{align}$$
   $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $3$.
   $~$
   b. $v_0 = \dfrac{0,5}{1 – 0,5} = 1$ donc $v_n = 3^n$.
   $~$
   c. $~$
   $$ \begin{align} v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n}& \Leftrightarrow 3^n = \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\
   &\Leftrightarrow (1-u_n) \times 3^n = u_n \\\\
   & \Leftrightarrow 3^n = u_n + 3^n u_n \\\\
   & \Leftrightarrow u_n = \dfrac{3^n}{1+3^n}
   \end{align}$$
   d. $\dfrac{1+3^n}{3^n} = \dfrac{1}{3^n} + 1$ or $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{3^n} = 0$ (car $3 > 1$).
   Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{u_n} = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1 + 3^n}{3^n} = 1$ et $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} u_n = 1$

Partie A

1. Initialisation : $u_0 = 2>1$. La propriété est vraie au rang $0$.
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n > 1$
   Alors
   $$u_{n+1} = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}=\dfrac{3+u_n+2u_n-2}{3+u_n}$$
   $$u_{n+1}=1+\dfrac{2u_n-2}{3+u_n}$$
   D’après l’hypothèse de récurrence : $2u_n-2 > 0$. On a de plus $3+u_n > 0$. Donc $u_{n+1} > 1$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$.
   En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
   Donc pour tout entier naturel, $u_n > 1$.
   $~$
   Remarque : ne surtout pas faire la division des $2$ inégalités obtenues pour le numérateur et le dénominateur car le passage à l’inverse change le sens des inégalités !
   $~$
2. a. $u_{n+1} – u_n = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n} – u_n $ $=\dfrac{1 + 3u_n -3u_n-u_n^2}{3+u_n}$ $=\dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}$
   $~$
   b. D’après la question $1.$ on sait que $1-u_n < 0$. De plus $1+u_n > 0$ et $3+u_n > 0$
   Donc $u_{n+1}-u_n < 0$.
   La suite $(u_n)$ est donc décroissante.

Partie B

1. i	$1$	$2$	$3$
   u	$0,800$	$1,077$	$0,976$

2. Il semblerait que la suite $(u_n)$ “oscille” autour de $1$ tout en tendant vers $1$.
   $~$
3. a. $$v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1}=\dfrac{ \dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}-1}{1+\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n} }=\dfrac{\dfrac{1+0,5u_n-0,5-u_n}{0,5+u_n} }{\dfrac{0,5+u_n+1+0,5u_n}{0,5+u_n}}$$
   $$v_{n+1}=\dfrac{0,5-0,5u_n}{1,5+1,5u_n}\dfrac{-0,5}{1,5} \times \dfrac{u_n-1}{1+u_n}=\dfrac{-1}{3}v_n$$
   $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{-1}{3}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{3}$
   $~$
   b. Donc $v_n=\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{-1}{3} \right)^n$
   $~$
4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a : $\left(\dfrac{-1}{3} \right)^n \le 1$ donc $v_n \le \dfrac{1}{3}$ et $v_n \ne 1$
   $~$
   b. $v_n = \dfrac{u_n-1}{1+u_n}$ donc
   $$(1+u_n)v_n = u_n – 1$$
   $$\Leftrightarrow v_n+1=u_n-u_n \times v_n$$
   $$\Leftrightarrow u_n = \dfrac{1+v_n}{1-v_n}$$
   $~$
   c. $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=0$ car $-1 < \dfrac{-1}{3} < 1$.
   Par conséquent :
   $$ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 1$$

Partie A : Préambule

1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $f'(x)=3x^2-6x-3 = 3\left(x^2-2x-1\right)$.
   Déterminons les racines :
   $\Delta = (-2)^2-4\times 1\times (-1)= 8>0$.
   Les deux racines sont donc $x_1 = \dfrac{2 – \sqrt{8}}{2}  =1-\sqrt{2}<0$ et $x_2=1+\sqrt{2}>0$.
   Puisque $a=1>0$, $f'(x) \le 0$ sur $\left[0;1+\sqrt{2}\right]$ et $f'(x)\ge 0$ sur $\left[1+\sqrt{2};+\infty\right[$.
   Par conséquent $f$ est décroissante sur $\left[0;1+\sqrt{2}\right]$ et croissante sur $\left[1+\sqrt{2};+\infty\right[$.
   $\quad$
2. Soit $n\ge 4$,
   $\begin{align*} 2n^3-(n+1)^3 &=2n^3-\left(n^3+3n^2+3n+1\right) \\\\
   &=n^3-3n^2-3n-1 \\\\
   &=f(n)
   \end{align*}$
   Or $f(4) = 3 >0$ et $f$ est croissante sur $[4;+\infty[$.
   Par conséquent pour tout entier $n\ge 4$, $f(n) >0$. et $2n^3 > (n+1)^3$.
   $\quad$

Partie B : Conjecture

1. On conjecture que $2^n > n^3$ dès que $n\ge 10$.
   $\quad$
2. Initialisation : Si $n=10$ alors $2^{10} = 1~024$ et $10^3 = 1~000$.
   La propriété est vraie au rang $10$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $2^n > n^3$.
   Alors :
   $\begin{align*} 2^{n+1} &= 2 \times 2^n \\\\
   & > 2 n^3 &\text{hypothèse de récurrence}\\\\
   & > (n+1)^3 &\text{préambule}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $10$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n \ge 10$, on a $2^n>n^3$.
   $\quad$

Partie C : Question ouverte

Montrons par récurrence que pour tout $n \ge 7$ alors $n! > 3^n$.

Initialisation : Si $n=7$ alors $7! = 5~040$ et $3^7=2~187$.
La propriété est donc vraie au rang $7$.
$\quad$

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $n! > 3^n$.
Alors :
$\begin{align*} (n+1)! &=(n+1) \times n! \\\\
&>(n+1) \times 3^n & \text{hypothèse de récurrence}\\\\
&>3 \times 3^n & \text{car $n\ge 7$ alors $n+1>3$} \\\\
&>3^{n+1}
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$

Conclusion : La propriété est vraie au rang $7$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n\ge7$ on a $n! > 3^n$.