Exercices bac – suites – début d’année

Suites et récurrence

Début d’année

Exercice 1 ( D’après Polynésie juin 2013)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}$$

  1. a. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    b. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0<u_n$.
  2. On admet que $u_n <1$ pour tout entier naturel $n$.
    Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
  3. Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n}$.
    a. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $3$.
    b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}$.
    d. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
Correction Exercice 1

  1. a. $u_1 = \dfrac{3u_0}{1+2u_0} = 0,75$ $\quad$ $u_2 = \dfrac{3u_1}{1+2u_1} = 0,9$
    $~$
    b. Initialisation : $u_0 = 0,5 > 0$. La propriété est donc vraie au rang $0$
    $~$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0 < u_n$.
    Alors $u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}$ est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont positifs.
    Donc $u_{n+1} > 0$
    La propriété est, par conséquent, vraie au rang $n+1$.
    $~$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0< u_n$.
    $~$
  2. $~$
    $$\begin{align} u_{n+1}-u_{n} &= \dfrac{3u_n}{1+2u_n} – u_n \\\\
    & = \dfrac{3u_n}{1+2u_n} – \dfrac{u_n+2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
    & = \dfrac{2u_n-2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
    & = \dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}
    \end{align}$$
    On sait que $0 < u_n < 1$ donc $u_{n+1} – u_n > 0$.
    La suite $(u_n)$ est donc croissante.
    $~$
  3. a. $~$
    $$\begin{align} v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}} \\\\
    & = \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{1 – \dfrac{3u_n}{1+2u_n}} \\\\
    &= \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{\dfrac{1+2u_n-3u_n}{1+2u_n}} \\\\
    &=\dfrac{3u_n}{1+2u_n} \times \dfrac{1+2u_n}{1-u_n} \\\\
    &= 3 \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\&=3v_n
    \end{align}$$
    $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $3$.
    $~$
    b. $v_0 = \dfrac{0,5}{1 – 0,5} = 1$ donc $v_n = 3^n$.
    $~$
    c. $~$
    $$ \begin{align} v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n}& \Leftrightarrow 3^n = \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\
    &\Leftrightarrow (1-u_n) \times 3^n = u_n \\\\
    & \Leftrightarrow 3^n = u_n + 3^n u_n \\\\
    & \Leftrightarrow u_n = \dfrac{3^n}{1+3^n}
    \end{align}$$
    d. $\dfrac{1+3^n}{3^n} = \dfrac{1}{3^n} + 1$ or $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{3^n} = 0$ (car $3 > 1$).
    Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{u_n} = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1 + 3^n}{3^n} = 1$ et $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} u_n = 1$

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Exercice 2 (D’après Asie juin 2013)

Partie A
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1} = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}$$
On admet que tout les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1.  Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n > 1$.
  2.  a. Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a :$u_{n+1}-u_n = \dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}$.
    b. Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$ :$$u_{n+1} = \dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}$$
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1.  On considère l’algorithme suivant :
    Entrée 
    $\quad$  Soit un entier naturel non nul $n$
    Initialisation
    $\quad$ Affecter à $u$ la valeur $2$
    Traitement et sortie
    $\quad$ POUR $i$ allant de $1$ à $n$
    $ \qquad$ Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1+0,5u}{0,5 + u}$
    $ \qquad$ Afficher $u$
    $\quad$ FIN POURReproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n=3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    i& 1 & 2 & 3 \\\\
    \hline
    u & & & \\\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. Pour $n= 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    i & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\\\
    \hline
    u& 1,0083 & 0,9973 & 1,0009 & 0,9997 & 1,0001 & 0,99997 & 1,00001 &0,999996 &1,000001 \\\\
    \hline
    \end{array}
    $$Conjecturer le comportement de la suite $(u_n)$ à l’infini.
  3. On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = \dfrac{u_n-1}{u_n+1}$.
    a. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $-\dfrac{1}{3}$.
    b. Calculer $v_0$ puis écrire $v_n$ en fonction de $n$.
  4. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_n \ne 1$.
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}$.
    c. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
Correction Exercice 2

Partie A

  1. Initialisation : $u_0 = 2>1$. La propriété est vraie au rang $0$.
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n > 1$
    Alors
    $$u_{n+1} = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}=\dfrac{3+u_n+2u_n-2}{3+u_n}$$
    $$u_{n+1}=1+\dfrac{2u_n-2}{3+u_n}$$
    D’après l’hypothèse de récurrence : $2u_n-2 > 0$. On a de plus $3+u_n > 0$. Donc $u_{n+1} > 1$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$.
    En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    Donc pour tout entier naturel, $u_n > 1$.
    $~$
    Remarquene surtout pas faire la division des $2$ inégalités obtenues pour le numérateur et le dénominateur car le passage à l’inverse change le sens des inégalités !
    $~$
  2. a. $u_{n+1} – u_n = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n} – u_n $ $=\dfrac{1 + 3u_n -3u_n-u_n^2}{3+u_n}$ $=\dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}$
    $~$
    b. D’après la question $1.$ on sait que $1-u_n < 0$. De plus $1+u_n > 0$ et $3+u_n > 0$
    Donc $u_{n+1}-u_n < 0$.
    La suite $(u_n)$ est donc décroissante.

Partie B

  1. i $1$ $2$ $3$
    u $0,800$ $1,077$ $0,976$
  2. Il semblerait que la suite $(u_n)$ “oscille” autour de $1$ tout en tendant vers $1$.
    $~$
  3. a. $$v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1}=\dfrac{ \dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}-1}{1+\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n} }=\dfrac{\dfrac{1+0,5u_n-0,5-u_n}{0,5+u_n} }{\dfrac{0,5+u_n+1+0,5u_n}{0,5+u_n}}$$
    $$v_{n+1}=\dfrac{0,5-0,5u_n}{1,5+1,5u_n}\dfrac{-0,5}{1,5} \times \dfrac{u_n-1}{1+u_n}=\dfrac{-1}{3}v_n$$
    $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{-1}{3}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{3}$
    $~$
    b. Donc $v_n=\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{-1}{3} \right)^n$
    $~$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a : $\left(\dfrac{-1}{3} \right)^n \le 1$ donc $v_n \le \dfrac{1}{3}$ et $v_n \ne 1$
    $~$
    b. $v_n = \dfrac{u_n-1}{1+u_n}$ donc
    $$(1+u_n)v_n = u_n – 1$$
    $$\Leftrightarrow v_n+1=u_n-u_n \times v_n$$
    $$\Leftrightarrow u_n = \dfrac{1+v_n}{1-v_n}$$
    $~$
    c. $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=0$ car $-1 < \dfrac{-1}{3} < 1$.
    Par conséquent :
    $$ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 1$$

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Exercice 3 : Comparaisons

Partie A : Préambule

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x^3-3x^2-3x-1$.

  1. Calculer la dérivée de $f$ et en déduire les variations de $f$.
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout entier naturel $n\ge 4$, on a $2n^3 > (n+1)^3$.
    $\quad$

Partie B : Conjecture

Soit $n$ un entier naturel, on se propose de comparer $2^n$ et $n^3$.

  1. Avec une calculatrice, un tableur ou un logiciel de calcul formel, émettre une conjecture quant au résultat de cette comparaison.
    $\quad$
  2. En utilisant le préambule, montrer cette conjecture par récurrence.
    $\quad$

 

Partie C : Question ouverte

Soit $n$ un entier naturel, comparer $3^n$ et $n!$ $\quad$ .

Main méthode $n!$ se lit “factorielle $n$”, et désigne l’entier naturel défini par la relation de récurrence $\begin{cases} 0!=1\\(n+1)!=(n+1)\times n!\end{cases}$.

Par conséquent, si $n\ge 1$, $n!$ désigne le produit de tous les entiers de $1$ à $n$.

 

Correction Exercice 3

Partie A : Préambule

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=3x^2-6x-3$ = 3\left(x^2-2x-1\right).
    Déterminons les racines :
    $\Delta = (-2)^2-4\times 1\times (-1)= 8>0$.
    Les deux racines sont donc $x_1 = \dfrac{2 – \sqrt{8}}{2}  =1-\sqrt{2}<0$ et $x_2=1+\sqrt{2}>0$.
    Puisque $a=1>0$, $f'(x) \le 0$ sur $\left[0;1+\sqrt{2}\right]$ et $f'(x)\ge 0$ sur $\left[1+\sqrt{2};+\infty\right[$.
    Par conséquent $f$ est décroissante sur $\left[0;1+\sqrt{2}\right]$ et croissante sur $\left[1+\sqrt{2};+\infty\right[$.
    $\quad$
  2. Soit $n\ge 4$,
    $\begin{align*} 2n^3-(n+1)^3 &=2n^3-\left(n^3+3n^2+3n+1\right) \\\\
    &=n^3-3n^2-3n-1 \\\\
    &=f(n)
    \end{align*}$
    Or $f(4) = 3 >0$ et $f$ est croissante sur $[4;+\infty[$.
    Par conséquent pour tout entier $n\ge 4$, $f(n) >0$. et $2n^3 > (n+1)^3$.
    $\quad$

Partie B : Conjecture

  1. On conjecture que $2^n > n^3$ dès que $n\ge 10$.
    $\quad$
  2. Initialisation : Si $n=10$ alors $2^{10} = 1~024$ et $10^3 = 1~000$.
    La propriété est vraie au rang $10$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $2^n > n^3$.
    Alors :
    $\begin{align*} 2^{n+1} &= 2 \times 2^n \\\\
    & > 2 n^3 &\text{hypothèse de récurrence}\\\\
    & > (n+1)^3 &\text{préambule}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $10$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n \ge 10$, on a $2^n>n^3$.
    $\quad$

Partie C : Question ouverte

Montrons par récurrence que pour tout $n \ge 7$ alors $n! > 3^n$.

Initialisation : Si $n=7$ alors $7! = 5~040$ et $3^7=2~187$.
La propriété est donc vraie au rang $7$.
$\quad$

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $n! > 3^n$.
Alors :
$\begin{align*} (n+1)! &=(n+1) \times n! \\\\
&>(n+1) \times 3^n & \text{hypothèse de récurrence}\\\\
&>3 \times 3^n & \text{car $n\ge 7$ alors $n+1>3$} \\\\
&>3^{n+1}
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$

Conclusion : La propriété est vraie au rang $7$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n\ge7$ on a $n! > 3^n$.

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