TS – Exercices – Nombres complexes

Exercice 1

  1. Associer à chaque nombre complexe $z_k$ de la colonne de gauche, son écriture sous forme exponentielle et placer leurs points $M_k$ d’affixe $z_k$ dans le plan complexe.
    $\begin{array}{lcl} \bullet z_1=-\dfrac{1}{2}+\ic \dfrac{\sqrt{3}}{2} & &\bullet 3\e^{\ic \pi}\\
    \bullet z_2=\sqrt{3}-\ic && \bullet 2\sqrt{2}\e^{-\ic \pi/4}\\
    \bullet  z_3=-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) &&\bullet 2\e^{-\ic \pi/6} \\
    \bullet z_4=-3 &&\bullet 3\e^{5\ic \pi/6} \\
    \bullet z_5 = -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\ic &&\bullet \e^{2\ic \pi/3}\\
    \bullet z_6=2-2\ic &&\bullet \e^{-3\ic \pi/4}\\
    \bullet z_7=1-\sqrt{3} \ic &&\bullet 2\e^{-\ic \pi/2}\\
    \bullet z_8=-2\ic &&\bullet 2\e^{-\ic \pi/3}
    \end{array}$
    $\quad$
  2. Choisir la forme la plus adaptée pour déterminer les nombres suivants :
    a. $z_5+z_8$
    $\quad$
    b. $z_2z_6$
    $\quad$
    c.
    ${z_7}^2$
    $\quad$
    d. $z_5+\conj{z_5}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $z_1=-\dfrac{1}{2}+\ic \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    $\left|z_1\right|=1$ et arg$\left(z_1\right)=\dfrac{2\pi}{3}$
    Donc $z_1=\e^{2\ic \pi/3}$
    $\quad$
    $z_2=\sqrt{3}-\ic$ donc $\left|z_2\right|=2$
    Ainsi $z_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\ic}{2}$
    Par conséquent arg$\left(z_2\right)=-\dfrac{\pi}{6}$
    D’où $z_2=2\e^{-\ic \pi/6}$
    $\quad$
    $z_3=-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
    Ainsi $\left|z_3\right|=1$
    et arg$\left(z_3\right)=\dfrac{5\pi}{4} ~~(2\pi)=-\dfrac{3\pi}{4}$
    D’où $z_3=\e^{-3\ic\pi/4}$
    $\quad$
    $z_4=-3$ donc $\left|z_3\right|=3$ et arg$\left(z_3\right)=\pi$.
    Ainsi $z_4=\e^{\ic \pi}$
    $\quad$
    $z_5 = -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\ic$
    $\left|z_5\right|=3$
    d’où $z_5=3\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\right)$
    Ainsi arg$\left(z_5\right)=-\dfrac{5\pi}{6}$
    $z_5=3\e^{-5\ic\pi/6}$
    $\quad$
    $z_6=2-2\ic $
    $\left|z_6\right|=2\sqrt{2}$ ainsi $z_6=2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)$.
    Donc $z_6=2\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}$
    $\quad$
    $ z_7=1-\sqrt{3} \ic $
    $\left|z_7\right| = 2$ donc $z_7=2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\e^{-\ic\pi/3}$
    $\quad$
    $z_8=-2\ic=2\e^{-\ic\pi/2}$
  2. a. $z_5+z_8=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\ic-2\ic=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\ic$
    $\quad$
    b. $z_2z_6=2\e^{-\ic \pi/6} \times 2\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}=4\sqrt{2}\e^{-5\ic\pi/12}$
    $\quad$
    c. ${z_7}^2=\left(2\e^{-\ic\pi/3}\right)^2=4\e^{-2\ic\pi/3}$
    $\quad$
    d. $z_5+\conj{z_5}=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\ic-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{2}\ic=-3\sqrt{3}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

  1. Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan complexe dont l’affixe $z_M$ vérifie $\left|z_M-\ic +1\right|=3$.
    $\quad$
  2. Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan complexe dont l’affixe $z_M$ vérifie $\left|z_M-\ic+1\right|=\left|z_M-\ic\right|$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $\left|z_M-\ic +1\right|=3 \ssi \left|z_M-(-1+\ic)\right|=3 \ssi AM=3$ avec $A(-1+\ic)$.
    L’ensemble cherché est donc le cercle de centre $A(-1+\ic)$ et de rayon $3$.
    $\quad$
  2. $\left|z_M-\ic+1\right|=\left|z_M-\ic\right| \ssi \left|z_M-(-1+\ic)\right|=\left|z_M-\ic\right| \ssi AM=BM$ avec $A(-1+\ic)$ et $B(\ic)$.
    L’ensemble cherché est donc la médiatrice du segment $[AB]$ avec $A(-1+\ic)$ et $B(\ic)$.

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3      d’après Centres étrangers – juin 2014

On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z$ par $$\begin{cases} z_0=16\\z_{n+1}=\dfrac{1+\ic}{2}z_n \text{ pour tout entier naturel }n\end{cases}$$
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine $O$ on considère les points $A_n$ d’affixes $z_n$.

  1. Calculer $z_1$, $z_2$, $z_3$.
    $\quad$
  2. Placer dans le repère les points $A_0$, $A_1$ et $A_2$.
    $\quad$
  3. Écrire le nombre complexe $\dfrac{1+\ic}{2}$ sous forme trigonométrique.
    $\quad$
  4. Démontrer que le triangle $OA_0A_1$ est isocèle rectangle en $A_1$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. $z_0=16$
    $z_1=\dfrac{1+\ic}{2}\times 16=8(1+\ic)=8+8\ic$
    $z_2=\dfrac{1+\ic}{2}\times 8(1+\ic)=4(1+\ic)^2=4\times 2\ic=8\ic$
    $z_3=\dfrac{1+\ic}{2}\times 8\ic=4\ic(1+\ic)=-4+4\ic$.
    $\quad$
  2. $\quad$
  3. $\left|\dfrac{1+\ic}{2}\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    Donc $\dfrac{1+\ic}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)$
    Ainsi $\dfrac{1+\ic}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\ic\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$.
    $\quad$
  4. Calculons :
    $\begin{align*} \dfrac{z_{A_0}-z_{A_1}}{z_{O}-z_{A_1}}&=\dfrac{16-8-8\ic}{0-8-8\ic} \\
    &=\dfrac{8-8\ic}{-8-8\ic} \\
    &=-\dfrac{1-\ic}{1+\ic} \\
    &=-\dfrac{1-\ic}{1+\ic}\times \dfrac{1-\ic}{1-\ic} \\
    &=-\dfrac{1-2\ic-1}{2} \\
    &=\ic
    \end{align*}$
    Ainsi $\left(\vect{A_1O},\vect{A_1A_0}\right)=\text{arg}(\ic)=\dfrac{\pi}{2}$
    Et $\dfrac{A_1A_0}{A1O}=\left|\dfrac{z_{A_0}-z_{A_1}}{z_{O}-z_{A_1}}\right|=1$ et $A_1A_0=A_1O$.
    Le triangle $OA_0A_1$ est donc rectangle en $A_1$.
    Remarque : On pouvait bien évidemment calculer les trois longueurs du triangle pour démontrer le résultat.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4     QCM

Donner la seule réponse exacte parmi les trois proposées.

  1. Soient $z_1=(-1+\ic)$ et $z_2=\left(\sqrt{3}-\ic\right)$.
    La forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{z_1}{z_2}$ est :
    a. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\e^{11\ic \pi/12}$
    b. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\e^{7\ic \pi/12}$
    c. $\e^{7\ic \pi/12}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_n=\left(\sqrt{3}+\ic\right)^n$.
    $z_n$ est un nombre imaginaire pur lorsque $n$ est égal à :
    a. $3+3k~~(k\in \Z)$
    b. $3+6k~~(k\in \Z)$
    c. $3k~~(k\in \Z)$
    $\quad$
  3. Dans le plan complexe, on donne deux points distincts $A$ et $B$ d’affixes respectives $z_A$ et $z_B$ non nulles.
    Si $\dfrac{z_B-z_A}{z_B}=-\dfrac{\ic}{2}$, alors le triangle $OAB$ est :
    a. rectangle
    b. isocèle
    c. quelconque
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\left|z_1\right|=\sqrt{2}$ et $z_1=\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)=\sqrt{2}\e^{3\ic\pi/4}$.
    $\left|z_2\right|=2$ et $z_2=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\ic\right)=2\e^{-\ic\pi/6}$.
    Ainsi
    $\begin{align*} \dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{\sqrt{2}\e^{3\ic\pi/4}}{2\e^{-\ic\pi/6}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\e^{\ic\left(3\pi/4+\pi/6\right)} \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\e^{11\ic\pi/12}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\left|\sqrt{3}+\ic\right|=2$ donc $\sqrt{3}+\ic=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}\right)$
    Ainsi $\sqrt{3}+\ic=2\e^{\ic\pi/6}$
    Donc $z_n=2^n\e^{n\ic\pi/6}$
    $z_n$ est un imaginaire pur si, et seulement si, $\dfrac{n\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$
    si, et seulement si, $n=3+6k$
    $\quad$
  3. $\left(\vect{OB},\vect{AB}\right)=\text{arg}\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_B}\right)=-\dfrac{\pi}{2}~~(2\pi)$.
    Le triangle $OAB$ est donc rectangle en $B$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5     d’après Nouvelle Calédonie 2013

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\Ouv$.
On note $\C$ l’ensemble des nombres complexes.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

  1. Proposition 1 : Pour tout entier naturel $n$ : $(1+\ic)^{4n}=(-4)^n$.
    $\quad$
  2. Soit $(E)$ l’équation $(z-4)\left(z^2-4z+8\right)=0$ où $z$ désigne un nombre complexe.
    Proposition 2 : Les points dont les affixes sont solutions dans $\C$, de $(E)$ sont les sommets d’un triangle d’aire $8$.
    $\quad$
  3. Proposition 3 : Pour tout nombre réel $\alpha$, $1+\e^{2\ic \alpha}=2\e^{\ic \alpha}\cos(\alpha)$.
    $\quad$
  4. Soit $A$ le point d’affixe $z_A=\dfrac{1}{2}(1+\ic)$ et $M_n$ le point d’affixe $\left(z_A\right)^n$ où $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
    Proposition 4 : si $n-1$ est divisible par $4$, alors les points $O,A$ et $M_n$ sont alignés.
    $\quad$
  5. Soit $j$ le nombre complexe de module $1$ et d’argument $\dfrac{2\pi}{3}$.
    Proposition 5 : $1+j+j^2=0$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $(1+\ic)^{4n}=\left(\left((1+\ic)^2\right)^2\right)^n=\left((2\ic)^2\right)^n=(-4)^n$
    Proposition 1 vraie
    $\quad$
  2. Cherchons les solutions de $z^2-4z+8 = 0$.
    $\Delta = (-4)^2-4\times 8 = -16 < 0$.
    Cette équation possède donc $2$ solutions complexes :
    $\dfrac{4-4\text{i}}{2} = 2 – 2\text{i}$ et $2 + 2\text{i}$.
    Les solutions de (E) sont donc les nombres $4$, $2 – 2\text{i}$ et $2 + 2\text{i}$.
    On appelle $A$, $B$ et $C$ les points dont ces nombres sont les affixes.
    $B$ et $C$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses et $A$ est sur c et axe.
    Par conséquent $ABC$ est isocèle en $A$.
    Le milieu de $[BC]$ a pour affixe $2$ et $BC = |z_C – z_B| = |4\text{i}| = 4$.
    L’aire du triangle $ABC$ est donc $\dfrac{4\times(4-2)}{2} = 4$.
    Affirmation fausse
    $\quad$
  3. $1 + \text{e}^{2\text{i}\alpha} = 1 + \cos(2\alpha) + \text{i} \sin(2\alpha) = 1 + 3\cos^2(\alpha) – 1 + 2\text{i}\sin(\alpha)\cos(\alpha)$$1 + \text{e}^{2\text{i}\alpha} =2\cos^2(\alpha)+2\text{i}\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2\cos(\alpha)\left( \cos(\alpha) + \text{i}\sin(\alpha) \right) = 2\text{e}^{\text{i}\alpha}\cos(\alpha)$.
    Affirmation vraie
    $\quad$
  4. affixe de $\vect{OA} : a = \dfrac{1}{2}(1+i)$
    affixe de $\vect{OM_n} : m_n = \left(\dfrac{1}{2}(1+i) \right)^n$.
    $O$, $A$ et $M_n$ sont alignés $\ssi \dfrac{m_n}{a}\in \R$.
    Or $\dfrac{m_n}{a} = \left( \dfrac{1}{2}(1+i)\right) ^{n-1} = \left( \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi/4} \right) \right)^{n-1} = \dfrac{\sqrt{2}^{n-1}}{2^{n-1}}\text{e}^{(n-1)\text{i}\pi/4}$
    $\dfrac{m_n}{a}\in \R \ssi \dfrac{n-1}{4}\in \N \ssi n-1$ divisible par $4$.

    Affirmation vraie
    $\quad$
  5. $j=\text{e}^{2\text{i}\pi/3} = \cos \dfrac{2\pi}{3} + \text{i} \sin \dfrac{2\pi}{3} = -0,5 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$.
    Donc $j^2 = \text{e}^{4\text{i}\pi/3} = \cos \dfrac{4\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{4\pi}{3} = -0,5 – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$
    Finalement $1+j+j^2 = 1 – 0,5 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} – 0,5 – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} = 0$
    remarque : on pouvait également dire que $1+j+j^2 = \dfrac{1-j^3}{1-j}$. Et $1-j^3 = 1 – \text{e}^{2\text{i}\pi}=0$.

    Affirmation vraie

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