Exercices corrigés maths - probabilités TS

Exercice 1 (Amérique du Nord mai 2012)

Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhèrent à la section tennis. On sait également que $30\%$ des membres de cette association adhèrent à la section tennis.

Partie A

On choisit au hasard un membre de cette association et on note :

$F$ l’évènement “le membre choisi est une femme”,
$T$ l’évènement “le membre choisi adhère à la section tennis”

Montrer que la probabilité de l’événement $F$ est égale à $\dfrac{2}{5}$.
$\quad$
On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis.
$\quad$
Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ?
$\quad$

Partie B

Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie.

Chaque semaine, un membre de l’association est choisi au hasard de manière indépendante pour tenir la loterie.

Déterminer la probabilité pour qu’en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_n$ la probabilité pour qu’en $n$ semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.
$\quad$
Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $p_n = 1 – \left (\dfrac{7}{10}\right)^n$.
$\quad$
Déterminer le nombre minimal de semaines pour que $p_n \geq 0,99$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice 1

Partie A

Puisque $30\%$ des membres de l’association adhèrent à la section tennis on a, d’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align} \dfrac{1}{4} \times p(F) + \dfrac{1}{3} \times p(H) = 0,3 & \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} \times p(F) + \dfrac{1}{3} \times \left(1 – p(F)\right) = 0,3 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} \times p(F) – \dfrac{1}{3} \times p(F) = \dfrac{3}{10} – \dfrac{1}{3} \\\\
& \Leftrightarrow – \dfrac{1}{12} \times p(F) = – \dfrac{1}{30} \\\\
& \Leftrightarrow p(F) = \dfrac{12}{30} \\\\
& \Leftrightarrow p(F) = \dfrac{2}{5}
\end{align}$
$\quad$
On cherche à calculer $p_T(F) = \dfrac{P(T \cap F)}{p(T)}$.
$\quad$
On sait que $p_F(T) = \dfrac{1}{4} = \dfrac{p(T \cap F)}{P(F)} = \dfrac{p(T \cap F)}{\dfrac{2}{5}}$.
Donc $p(T \cap F) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{10}$.
$\quad$
Par conséquent $p_T(F) = \dfrac{\dfrac{1}{10}}{\dfrac{30}{100}} = \dfrac{1}{3}$.

$\quad$

Partie B

Les choix de membres pour tenir la loterie sont identiques, faits au hasard et de manière indépendante. Il y a $4$ tirages. A chaque tirage, il y a $2$ issues possibles $T$ et $\overline{T}$.
La variable aléatoire $Y$ associant le nombre de membres de la section tennis suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = \dfrac{3}{10}$.
$\quad$
$P(Y = 2) = \binom{4}{2} \times \left(\dfrac{3}{10}\right)^2 \times \left(\dfrac{7}{10}\right)^2 = 0,2646$.
$\quad$
L’événement $A$ : “aucun membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis” a une probabilite $p(A) = \dfrac{7}{10}$.
$\quad$
Par conséquent $p_n = 1 – p(A)^n = 1 – \left(\dfrac{7}{10}\right)^n$.
$\quad$
On veut donc que :
$\begin{align} 1 – \left(\dfrac{7}{10}\right)^n \ge 0,99 & \Leftrightarrow \left(\dfrac{7}{10}\right)^n \le 0,01 \\\\
& \Leftrightarrow n \ln \dfrac{7}{10} \le \ln 0,01 \\\\
& \Leftrightarrow n \ge \dfrac{\ln 0,01}{\ln \dfrac{7}{10}} \\\\
& \Leftrightarrow n \ge 13
\end{align}$
$\quad$
Autre méthode (si la fonction $\ln$ n’a pas encore été vue): utiliser la fonction Table de la calculatrice.
$\quad$

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Exercice 2 (Pondichéry avril 2013)

Dans une entreprise, on s’intéresse à la probabilité qu’un salarié soit absent durant une période d’épidémie de grippe.

Un salarié malade est absent
La première semaine de travail, le salarié n’est pas malade.
Si la semaine $n$ le salarié n’est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$.
Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$.

On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_{n}$ l’évènement “le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine”. On note $p_{n}$ la probabilité de l’évènement $E_{n}$.

On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $0 \leq p_{n} < 1$.

1. a. Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l’aide d’un arbre de probabilité.
  $\quad$
  b. Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu’il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
  $\quad$
2. a. Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité donné ci-dessous
  $\quad$
  
  b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$.
  $\quad$
  c. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n} = p_{n} – 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$.
  $\quad$
  En déduire l’expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$.
  $\quad$
  d. En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$.
  $\quad$
  e. On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l’algorithme suivant :
  Variables
  $\qquad$ K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel
  Initialisation
  $\qquad$ prend la valeur $0$
  $\qquad$ J prend la valeur $1$
  $\qquad$ Entrée & Saisir la valeur de $K$
  Traitement
  $\qquad$ Tant que P $< 0,05 – 10^{- \text{K}}$
  $\qquad$ $\qquad$ P prend la valeur $0,2 \times \text{P} + 0,04$
  $\qquad$ $\qquad$ J prend la valeur J $+ 1$
  $\qquad $Fin tant que
  Sortie
  $\qquad$ Afficher J
  $\quad$
  À quoi correspond l’affichage final J ? Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s’arrête ?
  $\quad$
3. Cette entreprise emploie $220$ salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu’un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d’épidémie est égale à $p = 0,05$.
  On suppose que l’état de santé d’un salarié ne dépend pas de l’état de santé de ses collègues.
  On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
  a. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
  b. Calculer l’espérance mathématique $\mu$ et l’écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $X$.

Correction Exercice 2

a.

Donc d’après la propriété des probabilités totales $p_3 = 0,04 \times 0,24 + 0,96 \times 0,04 = 0,048$
$~$
b. On cherche donc $p_{E_3}(E_2) = \dfrac{0,04 \times 0,24}{0,048} = 0,2$
$~$
a.

b. donc $p_{n+1} = 0,24p_n+0,04(1-p_n) = 0,2p_n + 0,04$
$~$
c. $u_{n+1} = p_{n+1} – 0,05 = 0,2p_n + 0,04 – 0,05 $ $= 0,2p_n – 0,01 = 0,2(p_n-0,05) = 0,2u_n$
$u_1 = -0,05$
Donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $0,2$ et de premier terme $-0,05$.
Par conséquent :
$$u_n=-0,05 \times 0,2^{n-1} \qquad \text{et} \qquad p_n = 0,05 – 0,05 \times 0,2^{n-1}$$
$~$
d. $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} 0,2^n = 0$ car $-1 < 0,2 <1$.
Donc $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty}p_n = 0,05$
$~$
La suite $(p_n)$ est croissante et sa limite est $0,05$.
$~$
e. La variable J correspond au rang à partir duquel $0,05 – 10^{-k} \le p_n \le 0,05$
$\quad$
La suite $(p_n)$ est croissante et sa limite est $0,05$. Donc pour tout réel $\lambda > 0$, il existe un rang à partir duquel $p_n> 0,05 – \lambda$.
En particulier si $\lambda = 10^{-K}$.
Le programme va donc s’arrêter.
$~$
a. Parmi les $220$ salariés, le choix d’un salarié est fait au hasard et son état de santé n’a pas d’incidence sur celui d’un autre salarié. Chaque salarié est soit malade, soit en bonne santé. La probabilité qu’un salarié soit malade est de $0,05$.
Par conséquent $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=220$ et $p=0,05$.
b. Donc $µ = 220 \times 0,05 = 11$ et $\sigma = \sqrt{220 \times 0,05 \times 0,95} = \sqrt{10,45}$.

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$\quad$

Exercice 3 (Asie juin 2013)

Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.

Partie A

Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète $80\%$ de ses boîtes chez le fournisseur A et $20\%$ chez le fournisseur B.

$10\%$ des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et $20\%$ de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.

On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants :

événement A : “la boîte provient du fournisseur A” ;
événement B : “la boîte provient du fournisseur B” ;
événement S : “la boîte présente des traces de pesticides”.

Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.
$\quad$
a. Quelle est la probabilité de l’événement $B \cap \overline{S}$ ?
$\quad$
b. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
$\quad$
On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?

$\quad$

Partie B

Le gérant d’un salon de thé achète $10$ boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de $10$ boîtes avec remise.

On considère la variable aléatoire $X$ qui associe à ce prélèvement de $10$ boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides.

Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
$\quad$
Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’au moins $8$ boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.

Correction Exercice 3

$\quad$
a. $p \left( B \cap \bar{S} \right) = 0,2 \times 0,8 = 0,16$
$~$
b. On utilise la propriété des probabilités totales.
$p\left( \bar{S} \right) = p \left( A \cap \bar{S} \right) + p \left( B \cap \bar{S} \right)$ $=0,8\times 0,9 + 0,16 $ $=0,88$
$~$
On cherche $p_S(B) = \dfrac{p(B \cap S)}{p(S)} = \dfrac{0,2 \times 0,2}{1 – 0,88}$ $= \dfrac{1}{3}$ $\approx 0,33$
$~$

Partie B

Les $10$ tirages sont aléatoires, identiques et indépendants. Chaque tirage ne possède que $2$ issues : $S$ et $\bar{S}$.
$p\left(\bar{S} \right) = 0,88$.
La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,88$.
$~$
$P(X=10) = \displaystyle \binom{10}{10} 0,88^{10}\times(1-0,88)^0$ $=0,88^{10}$ $\approx 0,28$.
$~$
$P(X \ge 8) = \displaystyle \binom{10}{8} 0,88^8 \times (1-0,88)^2 + \binom{10}{9} 0,88^9\times (1-0,88)^1$ +$\displaystyle \binom{10}{10} 0,88^{10} \times(1-0,88)^0$ $\approx 0,89$

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$\quad$

Exercice 4 (Liban Juin 2005)

Un fabricant d’écrans plasma teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrication.
Si le test est positif (c’est-à-dire si l’écran fonctionne correctement), l’écran est acheminé chez le client. Sinon l’écran retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois.
Si ce deuxième test est positif, l’écran est acheminé chez le client, sinon il est détruit.

Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour $70\%$ des écrans neufs sortis directement des chaînes de fabrication, mais que parmi les écrans réparés, seulement $65\%$ d’entre eux passent le second test avec succès.

On note $T_1$ l’événement : “le premier test est positif”.
On note $C$ l’événement : “l’écran est acheminé chez le client”.

On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication. Déterminer les probabilités des événements $T_1$ et $C$.
$\quad$
La fabrication d’un écran revient à $1000$ euros au fabricant si l’écran n’est testé qu’une fois. Cela lui coûte $50$ euros de plus si l’écran doit être testé une seconde fois. Un écran est facturé $a$ euros ($a$ étant un réel positif) au client.
On introduit la variable aléatoire $X$ qui, à chaque écran fabriqué, associe le “gain” (éventuellement négatif) réalisé par le fabricant.
a. Déterminer la loi de probabilité de $X$ en fonction de $a$.
$\quad$
b. Exprimer l’espérance de $X$ en fonction de $a$.
$\quad$
c. À partir de quelle valeur de $a$, l’entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices ?
$\quad$

Correction Exercice 4

$p\left(T_1\right)=0,7$.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(C)&=p\left(T_1\cap C\right)+p\left(\conj{T_1}\cap C\right) \\
&=0,7+0,3\times 0,65\\
&=0,895
\end{align*}$
$\quad$
a. On obtient la loi de probabilité suivante :
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x_i&a-1~000&a-1~050&-1~050\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&0,7&0,195&0,105\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
b.
\begin{align*}E(X)&=0,7(a-1~000)+0,195(a-1~050)-0,105\times 1~050\\
&=0,7a-700+0,195a-204,75-110,25\\
&=0,895a-1~015
\end{align*}$
$\quad$
c. L’entreprise réalise des bénéfices si :
$\begin{align*} E(X)>0 &\ssi 0,895a-1~015 > 0\\
&\ssi 0,895a>1~015\\
&\ssi a>\dfrac{1~015}{0,895}
\end{align*}$
L’entreprise réalise donc des bénéfices si $a\pg 1~134,08$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$