TS – Exercices – suites et nombres complexes

Suites et nombres complexes

Exercice 1     D’après Centres étrangers Juin 2010

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $$f(x)=6-\dfrac{5}{x+1}.$$
Le but de cet exercice est d’étudier des suites $\left(u_n\right)$ définies par un premier terme positif ou nul $u_0$ et vérifiant pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=f\left(u_n\right).$$

  1. Étude de propriétés de la fonction $f$.
    a. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. Résoudre dans l’intervalle $[0;+\infty[$ l’équation $f(x)=x$.
    On note $\alpha$ la solution.
    $\quad$
    c. Montrer que si $x$ appartient à l’intervalle $[0;\alpha]$ alors $f(x)$ appartient à l’intervalle $[0;\alpha]$.
    De même, montrer que si $x$ appartient à l’intervalle $[\alpha;+\infty[$ alors $f(x)$ appartient à l’intervalle $[\alpha;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Étude de la suite $\left(u_n\right)$ pour $u_0=0$.
    Dans cette question, on considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)=6-\dfrac{5}{u_n+1}.$$
    a. Sur le graphique représenté dans l’annexe sont représentées les courbes d’équations $y=x$ et $y=f(x)$.
    Placer le point $A_0$ de coordonnées $\left(u_0;0\right)$, et, en utilisant ces courbes, construire à partir de $A_0$ les points $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$ d’ordonnées nulle et d’abscisses respectives $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
    Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    b. Démontrer, par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_n\pp u_{n+1}\pp \alpha.$
    $\quad$
    c. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
    $\quad$
  3. Étude des suites $\left(u_n\right)$ selon les valeurs du réel positif ou nul $u_0$.
    Dans cette question, toute trace d’argumentation, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
    Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ suivant les valeurs du réel positif ou nul $u_0$?
    $\quad$

ANNEXE

 

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ comme somme et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    $f'(x)=-\left(-\dfrac{5}{(x+1)^2}\right)=\dfrac{5}{(x+1)^2}>0$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} f(x)=x &\ssi 6-\dfrac{5}{x+1}=x \\
    &\ssi \dfrac{6(x+1)-5}{x+1}=x \\
    &\ssi \dfrac{6x+1}{x+1}-x=0\\
    &\ssi \dfrac{6x+1-x(x+1)}{x+1}=0 \\
    &\ssi \dfrac{6x+1-x^2-x}{x+1}=0 \\
    &\ssi \dfrac{-x^2+5x+1}{x+1}=0
    \end{align*}$
    On cherche donc les solutions de $-x^2+5x+1=0$ telles que $x\pg 0$
    On résout $-x^2+5x+1=0$
    Son discriminant est $\Delta=29>0$
    Les solutions sont $x_1=\dfrac{-5-\sqrt{29}}{-2}=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2} > 0$ et $x_2=\dfrac{-5+\sqrt{29}}{-2}=\dfrac{5-\sqrt{29}}{2}<0$
    Donc $\alpha=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2}$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et donc en particulier sur l’intervalle $[0;\alpha]$
    $\begin{align*} 0\pp x \pp \alpha &\ssi f(0)\pp f(x) \pp f(\alpha) \\
    &\ssi 1 \pp f(x) \pp \alpha\end{align*}$
    Donc si $x$ appartient à l’intervalle $[0;\alpha]$ alors $f(x)$ appartient à l’intervalle $[0;\alpha]$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et donc en particulier sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$
    $\begin{align*} \alpha \pp x &\ssi  f(\alpha) \pp f(x) \\
    &\ssi \alpha \pp f(x)\end{align*}$
    Donc si $x$ appartient à l’intervalle $[\alpha;+\infty[$ alors $f(x)$ appartient à l’intervalle $[\alpha;+\infty[$.
  2. a.

    La suite $\left(u_n\right)$ semble donc être strictement croissante et converger vers $\alpha$.
    $\quad$
    b. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0 =0$ et $u_1=1$.
    Donc $0 \pp u_0 \pp u_1 \pp \alpha$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $0 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$.
    On sait que $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    D’après la question 1. on sait également que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\alpha]$.
    Donc $f(0) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(\alpha)$ soit $1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$.
    Par conséquent $0 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\alpha$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
    Ce réel $\ell$ est solution dans $[0;+\infty[$ de l’équation $f(x)=x$.
    Ainsi $\ell=\alpha$.
    $\quad$
  3. Étudions tout d’abord le signe de $f(x)-x$ sur $[0;+\infty[$.
    $f(x)-x=\dfrac{-x^2+5x+1}{x+1}$
    Sur $[0;+\infty[$, le signe de $f(x)-x$ ne dépend que de celui de $-x^2+5x+1$.
    Donc $f(x)-x>0$ sur $[0;\alpha[$ et $f(x)-x<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    $\bullet$ Soit $u_0\in[0;\alpha]$
    Montrons par récurrence que $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$ pour tout entier naturel $n$.
    Initialisation : Si $n=0$ alors  $u_1=f\left(u_0\right)>u_0$ d’après ce qu’on vient de montrer.
    On sait également que si $x$ appartient à l’intervalle $[0;\alpha]$ alors $f(x)$ appartient à l’intervalle $[0;\alpha]$.
    Donc $0 \pp u_0 \pp u_1 \pp \alpha$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $0 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$.
    On sait que $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    D’après la question 1. on sait également que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\alpha]$.
    Donc $f(0) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(\alpha)$ soit $1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$.
    Par conséquent $0 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    $\quad$
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est croissante, majorée par $\alpha$. Elle converge vers le réel $\ell$ qui vérifie $f(\ell)=\ell$. Donc $\ell=\alpha$
    $\quad$
    $\bullet$ si $u_0=\alpha$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est constante. Elle converge donc vers $\alpha$
    $\quad$
    $\bullet$ si $u_0\in]\alpha;+\infty[$.
    Montrons par récurrence que $\alpha \pp u_{n+1} \pp u_{n}$ pour tout entier naturel $n$.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $u_1=f\left(u_0\right)<u_0$ d’après ce qui a été montré en début de question
    On sait également que si $x$ appartient à l’intervalle $[\alpha;+\infty[$ alors $f(x)$ appartient à l’intervalle $[\alpha;+\infty[$.
    Donc $\alpha \pp u_1 \pp u_0 $.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $\alpha\pp u_{n+1} \pp u_{n}$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $\alpha \pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$.
    On sait que $\alpha \pp u_{n+1} \pp u_{n} $.
    D’après la question 1. on sait également que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
    Donc $f(\alpha) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_{n}\right)$ soit $\alpha\pp u_{n+2} \pp u_{n+1} $.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $\alpha\pp u_{n+1} \pp u_{n}$.
    $\quad$
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, minorée par $\alpha$. Elle converge vers le réel $\ell$ qui vérifie $f(\ell)=\ell$. Donc $\ell=\alpha$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 2 :     Application

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{4u_n-1}{u_n+2}$.

  1. Soit $f$ la fonction définie sur $]-2;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{4x-1}{x+2}$.
    Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n>u_{n+1} \pg 1$.
    $\quad$
    b. En déduite que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ sachant qu’elle vérifie $f(\ell)=\ell$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-2;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{4(x+2)-(4x-1)}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{4x+8-4x+1}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{9}{(x+2)^2} \\
    &>0
    \end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $]-2;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. Montrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=5$ et $u_1=f(5)=\dfrac{19}{7}$
    Ainsi $u_0>u_1 \pp 1$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n>u_{n+1} \pg 1$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}>u_{n+2} \pg 1$.
    On sait que $u_n>u_{n+1} \pg 1$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]-2;+\infty[$.
    Donc $f\left(u_n\right) > f\left(u_{n+1}\right) \pg f(1)$
    soit $u_{n+1} > u_{n+2} \pg 1$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n > u_{n+1} \pg 1$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$ : elle converge vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    c. On résout l’équation $f(x)=x$ sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    $\begin{align*} f(x)=x &\ssi \dfrac{4x-1}{x+2}=x \\
    &\ssi \dfrac{4x-1}{x+2}-x=0\\
    &\ssi \dfrac{4x-1-x(x+2)}{x+2}=0\\
    &\ssi \dfrac{4x-1-x^2-2x}{x+2}=0\\
    &\ssi \dfrac{-x^2+2x-1}{x+2}=0\\
    &\ssi \dfrac{-(x-1)^2}{x+2}=0 \\
    &\ssi x=1
    \end{align*}$
    Ainsi $\ell=1$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3     D’après Asie Juin 2007

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\Ouv$. L’unité graphique est $4$ cm.
Soit $\lambda$ un nombre complexe non nul et différent de $1$.
On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes par : $$\begin{cases} z_0=0\\z_{n+1}=\lambda z_n+\ic\end{cases}$$

On note $M_n$ le point d’affixe $z_n$.

  1. Calcul de $z_n$ en fonction de $n$ et de $\lambda$.
    a. Vérifier les égalités: $z_1=\ic$; $z_2=(\lambda+1)\ic$; $z_3=\left(\lambda^2+\lambda+1\right)\ic$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout entier $n$ positif ou nul on a $z_n=\dfrac{\lambda^n-1}{\lambda-1}\ic$.
    $\quad$
  2. Étude du cas $\lambda=\ic$.
    a. Montrer que $z_4=0$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+4}$ en fonction de $z_n$.
    $\quad$
    c. Représenter les points $M_0$, $M_1$, $M_2$, $M_3$ et $M_4$ dans le repère $\Ouv$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. a. $z_0=0$.
    $z_1=\lambda \times 0+\ic=\ic$.
    $z_2=\lambda \times \ic + \ic=(\lambda+1)\ic$.
    $z_3=\lambda \times (\lambda+1)\ic+\ic =\left(\lambda(\lambda+1)+1\right)\ic$ $=\left(\lambda^2+\lambda+1\right)\ic$.
    $\quad$
    b. Démontrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $z_1=\ic$
    $\dfrac{\lambda^1-1}{\lambda-1}\ic=\ic=z_1$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n > 0$ : $z_n=\dfrac{\lambda^n-1}{\lambda-1}\ic$.
    Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $z_{n+1}=\dfrac{\lambda^{n+1}-1}{\lambda-1}\ic$.
    $\begin{align*} z_{n+1}&=\lambda z_n+\ic \\
    &=\dfrac{\lambda\left(\lambda^n-1\right)}{\lambda-1}\ic+\ic \\
    &=\dfrac{\left(\lambda^{n+1}-\lambda+\lambda-1\right)\ic}{\lambda-1} \\
    &=\dfrac{\lambda^{n+1}-1}{\lambda-1}\ic
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $z_n=\dfrac{\lambda^n-1}{\lambda-1}\ic$.
    $\quad$
  2. a. Si $\lambda=\ic$
    Alors $z_3=(-1+\ic+1)\ic=-1$ donc $z_4=\ic \times (-1)+\ic=0$.
    $\quad$
    b. On a $z_4=z_0=0$
    Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\begin{align*} z_{n+4}&=\dfrac{\lambda^{n+4}-1}{\lambda-1}\ic \\
    &=\dfrac{\lambda^n\times \lambda^4-1}{\lambda-1}\ic \\
    &=\dfrac{\lambda^n\times 1-1}{\lambda-1}\ic \text{   car } \ic^4=1 \\
    &=z_n
    \end{align*}$
    Donc, pour tout entier naturel, on a $z_{n+4}=z_n$.
    $\quad$
    c.

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$\quad$

Exercice 4     Encore une étude de suite …

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$ pour tout entier naturel $n$.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ on a $0<u_n<2$.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \pp u_{n+1}$.
    Que peut-on en déduire?
    $\quad$
Correction Exercice 4

On veut donc démontrer que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pp u_{n+1}$

Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1$ et $u_1=\sqrt{u_0+1}=\sqrt{2}$
On a bien $u_0<u_1$
La propriété est vraie au rang $0$.

$\quad$

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n\pp u_{n+1}$
$\begin{align*} u_n\pp  u_{n+1} &\ssi u_n+1 \pp u_{n+1}+1 \\
&\ssi \sqrt{u_n+1} \pp \sqrt{u_{n+1}+1} \quad (*)\\
&\ssi u_{n+1} \pp u_{n+2}
\end{align*}$
$(*)$ par croissance de la fonction racine carrée.

La propriété est donc vraie au rang $n+1$

$\quad$

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent  la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

[collapse]

$\quad$