TS – Exercices – Lois normales

Exercice 1 $\qquad$ d’après Pondichéry avril 2015

Étude de la durée de vie d’un appareil électroménager

Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d’un type de lave-vaisselle

par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathscr{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 84$ et d’écart-type $\sigma$. De plus, on a $P(X \leqslant 64) = 0,16$.

La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $X$ est donnée ci-dessous.

TS - Exo - lois normales

  1. a. En exploitant le graphique, déterminer $P(64 \leqslant X \leqslant 104)$.
    $\quad$
    b. Quelle valeur approchée entière de $\sigma$ peut-on proposer ?
    $\quad$
  2. On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{X – 84}{\sigma}$.
    a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $Z$ ?
    $\quad$
    b. Justifier que $P(X \leqslant 64) = P \left(Z \leqslant \dfrac{- 20}{\sigma}\right)$.
    $\quad$
    c. En déduire la valeur de $\sigma$, arrondie à $10^{-3}$.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on considère que $\sigma = 20,1$.
    Les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$.
    a. Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre $2$ et $5$ ans.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à $10$ ans.
    $\quad$
Correction Exercice 1

Etude de la durée de vie d’un appareil électroménager

  1. a. On a $P(X \le \mu -20) = 0,16$ donc $P(X \ge \mu + 20) = P(X \ge 104)= 0,16$.
    Or $P(X \le 64) + P(64 \le X \le 104) + P(X \ge 104) = 1$
    Par conséquent $P(64 \le X \le 104) = 1 – 2 \times 0,16 = 0,68$.
    $\quad$
    b. On a ainsi $P(\mu – 20 \le X \le \mu +20) = 0,68$.
    D’après le résultat du cours, cela signifie que $\sigma \approx 20$.
    $\quad$
  2. a. La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} P(X \le 64) & = P(X – 84 \le -20) \\\\
    & = P\left( \dfrac{X  – 84}{\sigma}\le \dfrac{-20}{\sigma}\right)\\\\
    & = P \left(Z \le \dfrac{-20}{\sigma}\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On a donc $P \left(Z \le \dfrac{-20}{\sigma}\right) = 0,16$.
    Par conséquent, à l’aide de la calculatrice, $\dfrac{-20}{\sigma} \approx -0,9945$
    donc $\sigma \approx 20,11$.
    $\quad$
  3. a. On cherche donc $P(24 \le X \le 60)  \approx 0,115$
    $\quad$
    b. $P(X \le 120) = 0,5 – P(84 \le X \le 120) \approx 0,037$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2 $\qquad$ d’après Centres étrangers juin 2015

Un fournisseur produit deux sortes de cadenas. Les uns sont premier prix, et les autres sont haut de gamme. Un magasin de bricolage dispose d’un stock de cadenas provenant de ce fournisseur; ce stock comprend un grand nombre de cadenas de chaque type.

D’après une étude statistique faite sur plusieurs mois, on admet que le nombre $X$ de cadenas premier prix vendus par mois dans le magasin de bricolage peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 750$ et d’écart-type $\sigma = 25$.

  1. Calculer $P(725 \leqslant X \leqslant 775)$.
    $\quad$
  2. Le responsable du magasin veut connaître le nombre $n$ de cadenas premier prix qu’il doit avoir en stock en début de mois, pour que la probabilité d’être en rupture de stock en cours de mois soit inférieure à 0,05.  On ne réalimente pas le stock en cours de mois.
    Déterminer la plus petite valeur de l’entier $n$ remplissant cette condition.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. A l’aide de la calculatrice (mais une propriété du cours nous la donne aussi) on trouve :
    $P(725 \le X \le 775) \approx 0,683$
    $\quad$
  2. On cherche donc la valeur de $n$ telle que $P(X>n) = 0,05$
    Ou encore $P(X \le n) = 0,95$.
    A l’aide de la touche “invnorm” ou “normalFRép” de la calculatrice, on trouve $n= 792$ (on arrondit par excès).
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3 $\qquad$ d’après Amérique du Nord juin 2015

Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de $100$ grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle.

Contrôle avant la mise sur le marché

Une tablette de chocolat doit peser $100$ grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre $98$ et $102$ grammes.

La masse (exprimée en grammes) d’une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance $\mu = 100$ et d’écart-type $\sigma = 1$. Le réglage des machines de la chaîne de fabrication permet de modifier la valeur de $\sigma$.

  1. Calculer la probabilité de l’événement $M$ : “la tablette est mise sur le marché”.
    $\quad$
  2. On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité de cet événement atteigne $0,97$.
    Déterminer la valeur de $\sigma$ pour que la probabilité de l’événement “la tablette est mise sur le marché” soit égale à $0,97$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

Contrôle avant la mise sur le marché

  1. On doit donc calculer $P(98 \le X \le 102) \approx 0,954$.
    $\quad$
  2. On veut que :
    $\begin{align*} P(98 \le X \le 102) = 0,97 & \ssi P(-2 \le X -100 \le 2) = 0,97 \\\\
    & \ssi P\left(-\dfrac{2}{\sigma} \le \dfrac{X -100}{\sigma} \le \dfrac{2}{\sigma}\right) = 0,97
    \end{align*}$
    Or la variable aléatoire $Z = \dfrac{X -100}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P(98 \le X \le 102) = 0,97 & \ssi 2P\left(Z \le \dfrac{2}{\sigma} \right) – 1 = 0,97 \\\\
    &\ssi 2P\left(Z \le \dfrac{2}{\sigma} \right) = 1,97 \\\\
    &\ssi P\left(Z \le \dfrac{2}{\sigma} \right) = 0,985 \\\\
    & \ssi \dfrac{2}{\sigma} \approx 2,170 \\\\
    & \ssi \sigma \approx 0,922
    \end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4 $\qquad$ Polynésie juin 2015

Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de $18$ à $65$ ans peut être modélisée par une variable aléatoire $X_1$ suivant la loi normale d’espérance $\mu_1 = 165$~cm et d’écart-type $\sigma_1 = 6$~cm, et celle des hommes de $18$ à $65$ ans, par une variable aléatoire $X_2$ suivant la loi normale d’espérance $\mu_2 = 175$~cm et d’écart-type $\sigma_2 = 11$~cm.

Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.

  1. Quelle est la probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre $1,53$ mètre et $1,77$ mètre ?
    $\quad$
  2. a. Déterminer la probabilité qu’un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de $1,70$ mètre.
    $\quad$
    b. De plus, on sait que dans ce pays les femmes représentent $52\%$ de la population des personnes dont l’âge est compris entre $18$ et $65$ ans. On choisit au hasard une personne qui a entre $18$ et $65$ ans. Elle mesure plus de $1,70$ m. Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme ?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On cherche donc à calculer $P(153 \le X_1 \le 177) \approx 0,95$ (résultat de cours)
    $\quad$
  2. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X_2 \ge 170) &= 0,5 + P(170 \le X_2 \le 175) \\\\
    & \approx 0,68
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Calculons $P(X_1 \ge 170) = 0,5 – P(165 \le X_1 \le 170) \approx 0,20$
    On appelle $G$ l’événement “la personne choisie mesure plus de $1,70$m”.
    On appelle $F$ l’événement “la personne choisie est une femme”.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(G) &= p(F \cap G) + p\left(\overline{F} \cap G\right) \\\\
    &= 0,52 \times 0,20 + 0,48 \times 0,68 \\\\
    & \approx 0,43
    \end{align*}$
    $\quad$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} p_G(F) &= \dfrac{p(F \cap F)}{p(G)} \\\\
    &=\dfrac{0,52 \times 0,20}{0,43} \\\\
    & \approx 0,24
    \end{align*}$.
    La probabilité que la personne choisie soit une femme sachant qu’elle mesure plus de $1,70$ m est donc de $0,24$.
    $\quad$
    Remarque : En ne prenant pas les valeurs arrondies trouvées à chaque question, on obtient : $p_G(F) \approx 0,245 \approx 0,25$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5 $\qquad$ d’après Métropole juin 2015

Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3}$ près.

  1. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif donné.
    On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction $f$ définie sur $[0;+ \infty[$ par $$f(x) = \lambda\e^{- \lambda x}.$$
    a. Soit $c$ et $d$ deux réels tels que $0 \leqslant c < d$.
    Démontrer que la probabilité $P( c \leqslant X \leqslant d)$ vérifie
    $$P(c \leqslant X \leqslant d) = \e^{- \lambda c} – \e^{- \lambda d}$$
    b. Déterminer une valeur de $\lambda$ à $10^{-3}$ près de telle sorte que la probabilité $P(X > 20)$ soit égale à $0,05$.
    $\quad$
    c. Donner l’espérance de la variable aléatoire $X$.
    $\quad$
    Dans la suite de l’exercice on prend  $\lambda = 0,15$.
    d. Calculer $P(10 \leqslant X \leqslant 20)$.
    $\quad$
    e. Calculer la probabilité de l’événement $(X > 18)$.
    $\quad$
  2. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $16$ et d’écart type $1,95$.
    a. Calculer la probabilité de l’événement $(20 \leqslant Y \leqslant 21)$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité de l’événement $(Y < 11) \cup (Y > 21)$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. a. On a :
    $$\begin{align*} P(c \le X \le d) &= \displaystyle \int_c^d f(x)\mathrm{d}x \\\\
    & = \left[-\e^{-\lambda x}\right]_c^d \\\\
    &= -\e^{\lambda d} + \e^{-\lambda c} \\\\
    & = \e^{-\lambda c} – \e^{-\lambda d}
    \end{align*}$$
    $\quad$
    b. On veut que :
    $\begin{align*} P(X > 20) = 0,05 & \ssi 1 – P(X \le 20) = 0,05 \\\\
    & \ssi -P(X \le 20) = -0,95 \\\\
    & \ssi P(0 \le X \le 20) = 0,95 \\\\
    & \ssi 1 – \e^{-20 \lambda} = 0,95 \\\\
    & \ssi \e^{-20 \lambda} = 0,05 \\\\
    & \ssi  -20 \lambda = \ln 0,05 \\\\
    & \ssi \lambda = – \dfrac{\ln 0,05}{20}
    \end{align*}$
    Par conséquent : $\lambda \approx 0,150$
    $\quad$
    c. $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ $ = -\dfrac{20}{\ln 0,05} \approx 6,676$
    $\quad$
    d.
    $\begin{align*} P(10 \le X \le 20) &= \e^{-10 \times 0,15} – \e^{-20 \times 0,15} \\\\
    & = \e^{-1,5} – \e^{-3} \\\\
    & \approx 0,173
    \end{align*}$
    $\quad$
    e. $P(X > 18) = e^{-0,15 \times 18}  \approx 0,067$
    $\quad$
  2. a. $P(20 \le Y \le 21) \approx 0,015$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} P\left((Y < 11) \cup (Y > 21)\right) &= 1 – P(11 \le Y \le 21) \\\\
    & \approx 0,010
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6 $\qquad$ d’après Polynésie septembre 2015

On étudie une maladie dans la population d’un pays. On a constaté que le taux, en nanogrammes par millilitre $\left(\text{ng.mL}^{-1}\right)$, d’une substance Gamma présente dans le sang est plus élevé chez les personnes atteintes de cette maladie que chez les personnes qui n’en sont pas atteintes.

  1. Le taux de cette substance Gamma dans la population des personnes qui ne sont pas atteintes par la maladie est modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 40$ et d’écart-type $\sigma = 8$.
    On choisit au hasard une personne parmi celles qui ne sont pas atteintes par la maladie étudiée.
    Calculer la probabilité que le taux dans le sang de la substance Gamma soit supérieur à 60 ng.mL$^{-1}$.
    $\quad$
  2. Des études ont mis en évidence que le taux moyen de la substance Gamma chez les personnes atteintes par la maladie étudiée est de $50$ ng.mL$^{-1}$ et que $10\%$ d’entre elles ont un taux de substance Gamma inférieur à $43$ ng.mL$^{-1}$.
    On appelle $T’$ la variable aléatoire qui modélise le taux de la substance Gamma en ng.mL$^{-1}$ chez une personne atteinte par la maladie étudiée.
    On admet que $T’$ suit la loi normale d’espérance $\mu’$ et d’écart-type $\sigma’$.
    Préciser la valeur de $\mu’$ et déterminer la valeur de $\sigma’$.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. On veut calculer $P(T \ge 60) = 0,5 – P(40 \le T \le 60) \approx 0,0062$
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé, on a $\mu’=50$.
    On sait également que :
    $\begin{align*} P(T’ \le 43) = 0,1 & \ssi P\left(\dfrac{T’-50}{\sigma’} \le \dfrac{43-50}{\sigma’}\right)=0,1 \\\\
    &\ssi P\left(\dfrac{T’-50}{\sigma’} \le -\dfrac{7}{\sigma’}\right) = 0,1
    \end{align*}$
    Or la variable aléatoire $\dfrac{T’-50}{\sigma’}$ suit la loi normale centrée réduite.
    Par conséquent à l’aide de la touche Inverve Loi Normale on obtient $-\dfrac{7}{\sigma’} \approx -1,2816$ soit $\sigma’ \approx 5,4621$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7 $\qquad$ d’après Nouvelle-Calédonie novembre 2015

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source A, associe le taux de calcium de l’eau qu’elle contient. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $8$ et d’écart-type $1,6$.
On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source B, associe le taux de calcium qu’elle contient. On suppose que $Y$ suit la loi normale de moyenne $9$ et d’écart-type $\sigma$.

Lorsque le taux de calcium dans une bouteille est inférieur à $6,5$ mg par litre, on dit que l’eau de cette bouteille est très peu calcaire.

  1. Déterminer la probabilité pour que le taux de calcium mesuré dans une bouteille prise au hasard dans la production d’une journée de la source A soit compris entre $6,4$ mg et $9,6$ mg.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité $p(X \leqslant 6,5)$.
    $\quad$
  3. Déterminer $\sigma$ sachant que la probabilité qu’une bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source B contienne de l’eau très peu calcaire est $0,1$.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. On veut calculer $P(6,4 \le X \le 9,6) \approx 0,683$.
    $\quad$
  2. On a $P(X \le 6,5) = 0,5 – P(6,5 \le X \le 8) \approx 0,159$
    $\quad$
  3. On veut que :
    $\begin{align*} P(Y \le 6,5) = 0,1 &\ssi P(Y – 9 \le -2,5)  = 0,1 \\\\
    &\ssi P\left(\dfrac{Y-9}{\sigma}\le -\dfrac{2,5}{\sigma}\right) = 0,1
    \end{align*}$
    Or la variable aléatoire $Y’=\dfrac{Y-9}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    A l’aide de la calculatrice, on trouve que  $P(Y’\le a)=0,1$ pour $a\approx -1,282$
    Par conséquent $-\dfrac{2,5}{\sigma} \approx -1,282 \ssi \sigma \approx \dfrac{2,5}{1,282} \ssi \sigma \approx 1,95$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

 

Exercice 8 $\qquad$ d’après Nouvelle-Calédonie mars 2016

Une médaille est dite conforme lorsque sa masse est comprise entre $9,9$ et $10,1$ grammes.
On dispose de deux machines M$_1$ et M$_2$ pour produire les médailles.

  1. Après plusieurs séries de tests, on estime qu’une machine M$_1$ produit des médailles dont la masse $X$ en grammes suit la loi normale d’espérance $10$ et d’écart-type $0,06$.
    On note $C$ l’événement “la médaille est conforme”.
    Calculer la probabilité qu’une médaille produite par la machine M$_1$ ne soit pas conforme. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  2. La proportion des médailles non conformes produites par la machine M$_1$ étant jugée trop importante, on utilise une machine M$_2$ qui produit des médailles dont la masse $Y$ en grammes suit la loi normale d’espérance $\mu = 10$ et d’écart-type $\sigma$.
    $\quad$
  3. Soit $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{Y – 10}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par la variable $Z$ ?
    $\quad$
  4. Sachant que cette machine produit $6\%$ de pièces non conformes, déterminer la valeur arrondie au millième de $\sigma$.
    $\quad$
Correction Exercice 8

  1. $P(9,9 \le X \le 10,1) \approx 0,904$.
    Donc $p(C)=1-P(9,9 \le X \le 10,1) \approx 0,096$.
    $\quad$
  2. a. La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b. $6\%$ des pièces ne sont pas conformes. Par conséquent $94\%$ des pièces le sont.
    Donc :
    $\begin{align*} P(9,9 \le Y \le 10,1) = 0,94
    &\ssi P(-0,1 \le Y -10 \le 0,1)=0,94 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,1}{\sigma} \le \dfrac{Y-10}{\sigma} \le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,94\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,1}{\sigma} \le Z \le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,94\\
    &\ssi 2P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right)-1 = 0,94 \\
    &\ssi 2P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 1,94 \\
    &\ssi P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,97 \\
    \end{align*}$
    A l’aide de la calculatrice on trouve que $\dfrac{0,1}{\sigma}\approx 1,881$ et donc $\sigma \approx 0,053$.
    $\quad$

[collapse]