TS – Exercices – Nombres complexes 2

Exercice 1 

On considère l’application $f$ qui à tout nombre complexe $z$ différent de 1, associe le nombre complexe

$$f(z) = \frac{2 – \text{i}z}{1 – z}.$$

L’exercice étudie quelques propriétés de $f$.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\Ouv$ d’unité graphique $2$ cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions 1 et 2.

$A$ est le point d’affixe $1$ et $B$ celui d’affixe $- 2\ic$.

  1. On pose $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ réels.
    Écrire $f(z)$ sous forme algébrique. En déduire l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un réel et représenter cet ensemble.
    $\quad$
  2. On pose $z’ = f(z).$
    a. Vérifier que $\ic$ n’a pas d’antécédent par $f$ et exprimer, pour $z’$ différent de i, $z$ en fonction de $z’$.
    $\quad$
    b. $M$ est le point d’affixe $z$ ($z$ différent de $1$) et $M’$ celui d’affixe $z’$ ($z’$ différent de $\ic$).
    Montrer que $OM = \dfrac{M’C}{M’D}$ où $C$ et $D$ sont les points d’affixes respectives $2$ et $\ic$.
    $\quad$
    c. Montrer que, lorsque le point $M$ décrit le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ privé du point $A$, son image $M’$ appartient à une droite fixe que l’on définira géométriquement.

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align} f(z) &= \dfrac{2 – \ic z}{1 – z} \\\\
    &=\dfrac{2 – \ic (x + \ic y)}{1 – (x + \ic y)} \\\\
    &= \dfrac{2 – \ic x + y}{1 – x – \ic y} \\\\
    &= \dfrac{2 + y – \ic x}{1 – x – \ic y} \times \dfrac{1 – x + \ic y}{1 – x + \ic y} \\\\
    &= \dfrac{(2 + y)(1 – x) + xy – (1 – x)x\ic + (2 + y)y \ic}{(1 – x)^2 + y^2} \\\\
    &= \dfrac{(2 + y)(1 – x) + xy+ (x^2 – x + 2y + y^2)\ic }{(1 – x)^2 + y^2} \\\\
    &= \dfrac{2 – 2x + y +(x^2 – x + 2y + y^2)\ic }{(1 – x)^2 + y^2} \\\\
    \end{align}$
    $\quad$
    $\begin{align} f(z) \text{ réel} &\Leftrightarrow x^2 – x + 2y + y^2 = 0 \qquad (x;y) \ne (1;0) \\\\
    & \Leftrightarrow \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 – \dfrac{1}{4} + (y + 1)^2 – 1 = 0 \qquad (x;y) \ne (1;0) \\\\
    &\Leftrightarrow \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 + (y + 1)^2 = \dfrac{5}{4} \qquad (x;y) \ne (1;0)
    \end{align}$
    Le point $M$ appartient donc au cercle de centre $E$ d’affixe $\dfrac{1}{2} – \ic$ de rayon $\sqrt{\dfrac{5}{4}} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ privé du point $A$.
    $\quad$
  2. a. Supposons qu’il existe un nombre complexe $z$ tel que $f(z) = \ic$.
    On a alors :
    $\begin{align} f(z) = \ic & \Leftrightarrow \dfrac{2 – \ic z}{1 – z} = \ic \\\\
    & \Leftrightarrow 2 – \ic z = \ic(1 – z) \\\\
    & \Leftrightarrow 2 – \ic z = \ic – \ic z \\\\
    & \Leftrightarrow 2 = \ic
    \end{align}$
    Ce qui est impossible.
    Par conséquent $\ic$ n’a pas d’antécédent par $f$
    $\quad$
    Soit $z’ \ne \ic$
    $\begin{align} z’ = \dfrac{2 – \ic z}{1 – z} & \Leftrightarrow z'(1 – z) = 2 – \ic z \\\\
    &\Leftrightarrow z’ – zz’ = 2 – \ic z \\\\
    &\Leftrightarrow \ic z – zz’ = 2 – z’ \\\\
    &\Leftrightarrow z(\ic – z’) = 2 – z’ \\\\
    & \Leftrightarrow z = \dfrac{2 – z’}{\ic – z’}
    \end{align}$
    $\quad$
    b. $OM = |z| $ $= \left|\dfrac{2 – z’}{\ic – z’}\right|$ $ = \dfrac{|2 – z’|}{|\ic – z’|}$ $=\dfrac{M’C}{M’D}$
    $\quad$
    c. Lorsque $M$ décrit le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ privé du point $A$ alors $OM = 1$.
    Par conséquent $\dfrac{M’C}{M’D} = 1$ soit $M’C = M’D$.
    Le point $M’$ appartient donc à la médiatrice du segment $[CD]$.

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$\quad$

Exercice 2 

On considère le polynôme $P$ défini par :

$$P(z) = z^4 – 6z^3 + 24z^2 – 18z + 63.$$

  1. Calculer $P\left(\text{i}\sqrt{3}\right)$ et $P\left(-~\text{i}\sqrt{3}\right)$ puis montrer qu’il existe un polynôme $Q$ du second degré à coefficients réels, que l’on déterminera, tel que, pour tout $z \in \C$, on ait $P(z) = \left(z^2 + 3\right) Q(z)$.
    $\quad$
  2. Résoudre dans $\C$ l’équation $P(z) = 0$.
    $\quad$
  3. Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal $\Ouv$, les points $A$, $B$, $C$, $D$ d’affixes respectives $z_A = \text{i}\sqrt{3},~ z_B =-~\text{i}\sqrt{3},~ z_C = 3 + 2\text{i}\sqrt{3}$ et $z_D = \overline{z_C}$, puis montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle.

$\quad$

Correction Exercice 2

  1. $\quad$
    $\begin{align} P\left(\ic \sqrt{3} \right) &= \left(\ic \sqrt{3} \right)^4 – 6 \left(\ic \sqrt{3} \right)^3 + 24\left(\ic \sqrt{3} \right)^2 – 18\left(\ic \sqrt{3} \right) + 63 \\\\
    &= 9 + 18\sqrt{3} \ic – 24 \times 3 – 18 \sqrt{3}\ic + 63 \\\\
    & = 0
    \end{align}$$\quad$
    $\begin{align} P\left(-\ic \sqrt{3} \right) &= \left(-\ic \sqrt{3} \right)^4 – 6 \left(-\ic \sqrt{3} \right)^3 + 24\left(-\ic \sqrt{3} \right)^2 – 18\left(-\ic \sqrt{3} \right) + 63 \\\\
    &= 9 – 18\sqrt{3} \ic – 24 \times 3 + 18 \sqrt{3}\ic + 63 \\\\
    & = 0
    \end{align}$$\quad$
    Remarque : la propriété suivante s’applique ici : Si $z_0$ est une racine d’un polynôme à coefficient réelle alors $\overline{z_0}$ est aussi une racine de ce polynôme.
    $\quad$
    On cherche les réels $a$, $b$ et $c$ tels $Q(z) = az^2 + bz + c$ et $(z^2 + 3)Q(z) = P(z)$.
    On a ainsi :
    $\begin{align} (z^2 + 3)Q(z) &= (z^2 + 3)(az^2 + bz + c) \\\\
    &=az^4 + bz^3 + cz^2 + 3az^2 + 3bz + 3c \\\\
    &=az^4 + bz^3 + (c + 3a)z^2 + 3bz + 3c
    \end{align}$
    On veut que $(z^2 + 3)Q(z) = P(z)$. En identifiant les coefficients on obtient ainsi :
    $\begin{cases} a = 1 \\\\b = -6 \\\\c + 3a = 24 \\\\ 3b = -18\\\\3c = 63 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 \\\\b = -6 \\\\c = 21 \end{cases}$.
    Par conséquent $Q(z) = z^2 – 6z + 21$
    $\quad$
  2. $P(z) = 0 \Leftrightarrow z^2 + 3 = 0$ ou  z^2 – 6z + 21 = 0
    $z^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow z=\ic \sqrt{3}$ ou $z = -\ic \sqrt{3}$
    $z^2 – 6z + 21 = 0$ $\qquad \Delta = 36 – 84 = -48<0$.
    Il y a donc 2 racines complexes : $z_1 = \dfrac{6 – \ic \sqrt{48}}{2} = 3 – 2\ic \sqrt{3}$ et $z_2 = 3 + 2\ic \sqrt{3}$
    L’équation $P(z) = 0$ possède donc $4$ solutions : $-\ic \sqrt{3}$, $\ic \sqrt{3}$, $3 -2\ic \sqrt{3}$ et $3 + 2\ic \sqrt{3}$.
  3. $\quad$TS-compexes2-ex2-correction
    Montrons que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent au cercle de centre $E$ d’affixe $3$ et de rayon $2\sqrt{3}$.
    $EC = |2\ic \sqrt{3}| = 2\sqrt{3}$ $\quad$ $ED = |-2\ic \sqrt{3}| = 2\sqrt{3}$
    $EA = |-3 + \ic \sqrt{3}| = \sqrt{9 + 3} = 2\sqrt{3}$ $\quad$ $EB = |-3 – \ic \sqrt{3}| = 2\sqrt{3}$.
    Par conséquent, les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent au cercle de centre $E$ de rayon $2\sqrt{3}$.

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$\quad$

Exercice 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\Ouv$.

On appelle $f$ l’application qui, à tout point $M$ d’affixe $z~ (z \neq -1)$ associe le point $M’$ d’affixe $z’$ telle que :

$$z’ = \dfrac{-\text{i}z- 2}{z+ 1}.$$

Soient $A$, $B$ et $C$ les points d’affixes respectives $a = – 1,~ b = 2\ic$ et $c = -\text{i}$.

  1. Soit $C’$ l’image du point $C$ par $f$. Donner l’affixe $c’$ du point $C’$ sous forme algébrique.
    $\quad$
  2. Calculer l’affixe $d$ du point $D$ ayant pour image par $f$ le point $D’$ d’affixe $d’ = \dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  3. Pour tout nombre complexe $z$ différent de $- 1$, on note $p$ le module de $z + 1$ (c’est-à-dire $|z + 1| = p$) et $p’$ le module de $z’ +\ic$ (c’est-à-dire $|z’ + \text{i}| = p’$).
    a. Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $- 1$, on a : $pp’ = \sqrt{5}$.
    $\quad$
    b. Si le point $M$ appartient au cercle $(\Gamma)$ de centre $A$ et de rayon $2$, montrer qu’alors $M’ = f(M)$ appartient à un cercle $(\Gamma ‘)$, dont on précisera le centre et le rayon.$
    $\quad$
  4. Pour tout nombre complexe $z$ différent de $- 1$, on considère le nombre complexe $\omega = \dfrac{z- 2\text{i}}{ z + 1}$.
    a. Montrer que $z’ = – \text{i}\omega$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’ensemble $(F)$ des points $M$ d’affixe $z$ telle que $z’$ soit un réel non nul.
    $\quad$
    c. Vérifier que le point D appartient aux ensembles $(\Gamma)$ et $(F)$.
    $\quad$
  5. Représenter les ensembles $(\Gamma)$, $(F)$ et $(\Gamma’)$ en prenant $4$ cm pour unité graphique.

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. $\quad$
    $\begin{align} c’ &= \dfrac{-\ic \times (-\ic) – 2}{-\ic + 1}\\\\
    &= \dfrac{-3}{1 – \ic} \\\\
    &= \dfrac{-3}{1 – \ic} \times \dfrac{1 + \ic}{1 + \ic}\\\\
    &= \dfrac{-3 – 3\ic}{1 + 1}\\\\
    &= \dfrac{-3 – 3\ic}{2}
    \end{align}$
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $d$ telle que :
    $\begin{align} \dfrac{-\ic d – 2}{d + 1} = \dfrac{1}{2} & \Leftrightarrow 2(-\ic d – 2) = d + 1 \\\\
    & \Leftrightarrow -2\ic d – 4 = d + 1 \\\\
    & \Leftrightarrow -2\ic d – d = 5 \\\\
    & \Leftrightarrow d(-2\ic – 1) = 5 \\\\
    & \Leftrightarrow d= \dfrac{5}{-2\ic – 1} \\\\
    & \Leftrightarrow d = \dfrac{5(-1 + 2\ic)}{4 + 1} \\\\
    & \Leftrightarrow d = -1 + 2\ic
    \end{align}$
    $\quad$
  3. a. Soit $z$ un nombre complexe différent de $-1$.
    $z’ + \ic = \dfrac{-\ic z – 2}{z + 1} + \ic = \dfrac{-\ic z – 2 + \ic z + \ic}{z + 1} = \dfrac{-2 + \ic}{z + 1}$
    Par conséquent $|z’ + \ic| = \dfrac{|-2 + \ic|}{|z + 1|} = \dfrac{\sqrt{5}}{|z + 1|}$
    Soit $p’ = \dfrac{\sqrt{5}}{p}$ et $pp’ = \sqrt{5}$.
    $\quad$
    b. Si $M$ appartient au cercle $(\Gamma)$ alors $p=|z + 1|=2$.
    Par conséquent $|z’ + \ic| = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
    $M’$ appartient donc au cercle $(\Gamma’)$ de centre $C$ et de rayon $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
    $\quad$
  4. a. $-\ic \omega = \dfrac{-\ic z – 2\ic(-\ic)}{z + 1} = \dfrac{-\ic z + 2}{z + 1} =z’$
    $\quad$
    b. $\quad$
    $\begin{align} z’ &= \dfrac{-\ic z – 2}{z + 1} \\\\
    & = \dfrac{-\ic (x + \ic y) – 2}{x + \ic y + 1} \\\\
    &= \dfrac{-\ic x + y – 2}{x + 1 + \ic y} \times \dfrac{x + 1 – \ic y}{x + 1 – \ic y} \\\\
    &= \dfrac{(y – 2)(x + 1) – xy – \ic x(x + 1) – \ic y(y – 2)}{(x + 1)^2 + y^2} \\\\
    & = \dfrac{y – 2x – 2 – \ic(x^2 + x + y^2 – 2y)}{(x + 1)^2 + y^2}
    \end{align}$
    $z’$ est un réel non nul si, et seulement si, $x^2 + x + y^2 – 2y = 0 \quad (1) $ et $y – 2x – 2 \ne 0$.
    $\begin{align} x^2 + x + y^2 – 2y = 0 &\Leftrightarrow \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 – \dfrac{1}{4} + (y – 1)^2 – 1 = 0 \\\\
    &\Leftrightarrow \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 + (y – 1)^2 = \dfrac{5}{4}
    \end{align}$.
    $y – 2x – 2 = 0 \Leftrightarrow y = 2x + 2 \quad (2)$.
    En injectant cette équation dans l’équation $(1)$, on obtient :
    $\begin{align} x^2 + x + (2x + 2)^2 – 2(2x + 2) = 0 &\Leftrightarrow x^2+x+4x^2+4+8x – 4x – 4 = 0 \\\\
    &\Leftrightarrow 5x^2 + 5x = 0 \\\\
    &\Leftrightarrow 5x(x + 1) = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow x = 0 \qquad \text{ou} \qquad x = -1
    \end{align}$
    En injectant ces valeurs dans l’équation $(2)$.
    Si $x = -1$ alors $y = 0$ : on obtient le point $A$.
    Si $x = 0$ alors $y = 2$ : on obtient le point $B$.
    $\quad$
    L’ensemble $(F)$ est donc le cercle de centre $\Omega$ d’affixe $-\dfrac{1}{2} + \ic$ et de rayon $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ privé des points $B$ et $A$.
    $\quad$
    c. $D$ est le point d’affixe $d=-1 + 2\ic$.
    D’après la question 2, $d’ = \dfrac{1}{2}$ est un réel non nul. $D \in (F)$.
    $AD = |-1 + 2\ic + 1| = |2\ic| = 2$. Donc $D \in (\Gamma)$.
  5. $\quad$
    TS-compexes2-ex3-correction (1)

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$\quad$

Exercice 4

Dans le plan complexe rapporté à un repère $\Ouv$ on appelle $A$, $B$, $C$ les points d’affixes respectives $z_A = 1 + 2\ic$, $z_B = 1$, $z_C = 3\ic$, et on considère la transformation $f$ qui a tout point $M$ d’affixe $z$ fait correspondre le point $M’ = f(m)$ d’affixe $$z’ = \dfrac{(3 + 4\ic)z + 5\overline{z}}{6}$$

  1. Déterminer les affixes des points $A’$, $B’$, $C’$ images de $A$, $B$, $C$ par $f$. Placer ces $6$ points.
    $\quad$
  2. On pose $z = x + \ic y$ ($x$ et $y$ réels). Déterminer en fonction de $x$ et $y$ la partie réelle et la partie imaginaire de $z’$.
    $\quad$
  3. Démontrer que l’ensemble des points invariants par $f$ (c’est-à-dire tels que $z’ = z$) est la droite $\Delta$ d’équation $y = \dfrac{x}{2}$.
    Tracer $\Delta$. Que remarque-t-on?
    $\quad$
  4. Démontrer que, pour tout point $M$ du plan, le point $M’$ est sur la droite $\Delta$.
    $\quad$
  5. Montrer que, pour tout complexe $z$, $\dfrac{z’ – z}{z_A} = \dfrac{z + \overline{z}}{6}+\ic \dfrac{z – \overline{z}}{3}$.
    En déduire que $\dfrac{z’ – z}{z_A}$ est réel.
    $\quad$
  6. Que peut-on en déduire pour les droites $(MM’)$ et $(OA)$?
    $\quad$
  7. Comment peut-on construire $M’$ connaissant $M$ (on distinguera suivant que $M$ appartient ou non à $\Delta$)?

 

$\quad$

Correction Exercice 4

  1. $f(1 + 2\ic) = \dfrac{(3 + 4\ic)(1 + 2\ic) + 5(1 – 2\ic)}{6} = \dfrac{3 + 6\ic + 4\ic – 8 + 5 – 10 \ic}{6} = 0$
    $\quad$
    $f(1) = \dfrac{3 + 4\ic + 5}{6} = \dfrac{4 + 2\ic}{3}$
    $\quad$
    $f(3\ic) = \dfrac{(3 + 4\ic)(3 \ic) – 15\ic}{6} = \dfrac{9\ic – 12 – 15\ic}{6} = -2 -\ic$
    TS - complexes 2 - ex 4
  2. $\quad$
    $\begin{align*} z’ &= \dfrac{(3 + 4\ic)(x + \ic y) + 5(x – \ic y)}{6} \\\\
    & = \dfrac{3x + 3\ic y + 4\ic x – 4y + 5x – 5\ic y}{6} \\\\
    & = \dfrac{8x – 4y + (4x -2y)\ic}{6} \\\\
    & = \dfrac{4x – 2y + (2x – y)\ic}{3}
    \end{align*}$
    Par conséquent $\Re\text{e}(z’) = \dfrac{4x – 2y}{3}$ et $\Im\text{m}(z’) = \dfrac{2x – y}{3}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} z = z’ & \Leftrightarrow \begin{cases} x = \dfrac{4x – 2y}{3} \\ y = \dfrac{2x – y}{3} \end{cases} \\\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases} 3x = 4x – 2y \\3y = 2x – y \end{cases} \\\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases} -x = -2y \\4y = 2x \end{cases} \\\\
    & \Leftrightarrow y = \dfrac{x}{2}
    \end{align*}$
    L’ensemble des points invariants est donc la droite $\Delta$.
    Les points $A’$, $B’$ et $C’$ semblent appartenir à cette droite.
    $\quad$
  4. $\Re \text{e}(z’) = 2\Im \text{m} (z’)$. Donc $M’ \in \Delta$.
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{z’ – z}{z_A} &= \dfrac{\dfrac{(3 + 4\ic)z + 5\overline{z}}{6} – z}{1 + 2\ic} \\\\
    & = \dfrac{(-3 + 4\ic)z + 5\overline{z}}{6(1 + 2\ic)} \\\\
    & = \dfrac{(-3 + 4\ic)z + 5\overline{z}}{6(1 + 2\ic)} \times \dfrac{1 – 2\ic}{1 – 2\ic}\\\\
    & = \dfrac{(-3 + 6\ic + 4\ic + 8)z + (5 – 10\ic)\overline{z}}{6 \times 5} \\\\
    & = \dfrac{(5 + 10\ic)z + (5 – 10\ic)\overline{z}}{6 \times 5} \\\\
    & = \dfrac{(1 + 2\ic)z + (1 – 2\ic)\overline{z}}{6} \\\\
    & = \dfrac{z + \overline{z} + 2\ic(z – \overline{z})}{6} \\\\
    & = \dfrac{z + \overline{z}}{6} + \ic \dfrac{z – \overline{z}}{3}
    \end{align*}$
    $\quad$
    $z + \overline{z} = 2\Re\text{e}(z)$ et $\ic(z – \overline{z}) = -2\Im\text{m}(z)$. Par conséquent $\dfrac{z’ – z}{z_A}$ est un réel.
    $\quad$
  6. $\dfrac{z’ – z}{z_A} = \dfrac{z’ – z}{z_A – z_O}$ est un réel.
    Par conséquent les vecteurs $\vec{MM’}$ et $\vec{OA}$ sont colinéaires et les droites $(MM’)$ et $(OA)$ sont parallèles.
    $\quad$
  7. Si $M$ n’appartient pas à $\Delta$ alors le point $M’$ est dont le point d’intersection de la droite $\Delta$ et de la droite parallèle à $(OA)$ passant par $M$.
    $\quad$
    Si $M$ appartient à $\Delta$ alors $M = M’$.

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$\quad$