TS – Exercices – Nombres complexes 4

Exercice 1

On considère le polynôme $P(z)=z^4-2z^3-2z-1$.

  1. Calculer $P(\ic)$ et $P(-\ic)$.
    $\quad$
  2. En déduire que $P(z)=\left(z^2+1\right)\left(az^2+bz+c\right)$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels qu’on déterminera.
    $\quad$
  3. En déduire la résolution de l’équation $P(z)=0$ dans $\C$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $P(\ic) = \ic^4-2\ic^3-2\ic -1 = 1 +2\ic-2\ic-1 = 0$.
    $P(-\ic)=(-\ic)^4-2(-\ic)^3-2(-\ic)-1 = 1-2\ic+2\ic-1=0$.
    $\quad$
  2. Il existe donc trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que :
    $$P(z)=(z-\ic)(z+\ic)\left(az^2+bz+c\right)$$
    Soit
    $$\begin{align*}
    P(z) &= \left(z^2+1\right)\left(az^2+bz+c\right)\\
    &=az^4+bz^3+cz^2+az^2+bz+c \\
    &=az^4+bz^3+(a+c)z^2+bz+c
    \end{align*}$$
    On identifie avec le polynôme initial. On trouve alors :
    $$\begin{cases} a=1 \\b=-2\\a+c=0\\b=-2\\c=-1 \end{cases} \ssi \begin{cases} a=1\\b=-2\\c=-1\end{cases}$$
    Par conséquent $P(z)=\left(z^2+1\right)\left(z^2-2z-1\right)$.
    $\quad$
  3. Résolvons l’équation $z^2-2z-1=0$.
    $\Delta = (-2)^2-4\times 1 \times (-1) = 8 >0$
    Il y a donc deux racines réelles $z_1=\dfrac{2-\sqrt{8}}{2}=1-\sqrt{2}$ et $z_2=1+\sqrt{2}$.
    Ainsi
    $$\begin{align*}
    P(z)=0 &\ssi \left(z^2+1\right)\left(z^2-2z-1\right) = 0 \\
    &\ssi z^2+1=0 \text{ ou } z^2-2z-1=0 \\
    &\ssi z \in \left\{\ic,-\ic,1-\sqrt{8},1+\sqrt{8}\right\}
    \end{align*}$$
    Les solutions de l’équation $P(z)=0$ sont donc $\ic,-\ic, 1-\sqrt{8},1+\sqrt{8}$.
    $z_1=\dfrac{2-\sqrt{8}}{2}=1-\sqrt{2}$ et $z_2=1+\sqrt{2}$.

[collapse]

 

Exercice 2

Déterminer l’ensemble des points $M(z)$ du plan complexe tels que $\dfrac{z+1}{z-\ic}$ soit

  1. un imaginaire pur
    $\quad$
  2. un réel
    $\quad$
Correction Exercice 2

On note $z=x+\ic y$. Pour tout complexe $z\neq \ic$ on a :

$$\begin{align*}
\dfrac{z+1}{z-\ic} &= \dfrac{x+\ic y +1}{x+\ic y – \ic}\\
&= \dfrac{x+1+\ic y}{x + \ic(y-1) } \\
&= \dfrac{x+1+\ic y}{x + \ic (y-1)} \times \dfrac{x – \ic(y-1)}{x – \ic(y-1)} \\
&=\dfrac{x(x+1)+y(y-1)+\ic\left(yx-(x+1)(y-1)\right)}{x^2+(y-1)^2} \\
&=\dfrac{x^2+x+y^2-y+\ic (yx-xy+x-y+1)}{x^2+(y-1)^2} \\
&=\dfrac{x^2+x+y^2-y+\ic (x-y+1)}{x^2+(y-1)^2}
\end{align*}$$

  1. $\quad$
    $$\begin{align*}\dfrac{z+1}{z-\ic} \text{ est un imaginaire pur} &\ssi \dfrac{x^2+x+y^2-y}{x^2+(y-1)^2}=0\\
    &\ssi x^2+x+y^2-y=0 \text{ et } x^2+(y-1)^2\neq 0 \\
    &\ssi \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4} = 0 \text{ et } (x;y)\neq(0;1) \\
    &\ssi \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2= \dfrac{1}{2} \text{ et } (x;y)\neq(0;1) \\
    \end{align*}$$
    Donc l’ensemble des points cherché est le cercle de centre $A\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\ic}{2}\right)$ et de rayon $\sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ privé du point d’affixe $\ic$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $$\begin{align*} \dfrac{z+1}{z-\ic} \text{ est un réel} &\ssi \dfrac{x-y+1}{x^2+(y-1)^2}=0 \\
    &\ssi x-y+1=0 \text{ et } (x;y)\neq (0;1)
    \end{align*}$$
    Donc l’ensemble des points cherché est la droite d’équation $x-y+1=0$ privée du point d’affixe $\ic$.
    $\quad$

[collapse]

Exercice 3

 

Les deux questions sont indépendantes

  1. Déterminer et représenter l’ensemble des points $M(z)$ du plan complexe tels que $|z|=\left|\dfrac{2+\ic}{z}\right| = |z-1|$.
    $\quad$
  2. Déterminer et représenter l’ensemble des points $M(z)$ du plan complexe tels que $|z|=2|z-\ic|$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On cherche donc l’ensemble des points qui vérifient à la fois $|z|=\left|\dfrac{2+\ic}{z}\right|$ et $|z|=|z-1|$.
    $$|z|=\left|\dfrac{2+\ic}{z}\right| \ssi |z|^2=|2+\ic| \ssi |z|^2=\sqrt{5} \ssi |z|=\sqrt{\sqrt{5}}$$
    L’ensemble des points vérifiant $|z|=\left|\dfrac{2+\ic}{z}\right|$ est le cercle de centre $O$, l’origine du repère, et de rayon $\sqrt{\sqrt{5}}$.
    Si on appelle $M$ le point d’affixe $z$, $A$ le point d’affixe $1$ alors $|z|=|z-1| \ssi OM=AM$.
    L’ensemble des points vérifiant $|z|=|z-1|$ est donc la médiatrice du segment $[0A]$.
    L’ensemble des points cherché est donc l’intersection du cercle et de la droite, c’est-à-dire les points $B$ et $C$.
    ts-exercices-complexes4-ex3.1
  2. On note $z=x+\ic y$.
    $$\begin{align*}
    |z|=2|z-\ic\| &\ssi |z|^2=4|z-\ic|^2 \\
    &\ssi x^2+y^2=4\left|x+\ic y – \ic\right|^2 \\
    &\ssi x^2+y^2=4\left(x^2+(y-1)^2\right) \\
    &\ssi x^2+y^2=4(x^2+y^2-2y+1) \\
    &\ssi 0=3x^2+3y^2-8y+4 \\
    &\ssi x^2+y^2-\dfrac{8}{3}y+\dfrac{4}{3}=0 \\
    &\ssi x^2+\left(y-\dfrac{4}{3}\right)^2-\dfrac{16}{9}+\dfrac{4}{3} =0\\
    &\ssi x^2+\left(y-\dfrac{4}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}
    \end{align*}$$
    L’ensemble des points cherché est donc le cercle de centre le point $A$ d’affixe $\dfrac{4}{3}\ic$ et de rayon $\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$.ts-exercices-complexes4-ex3.2

[collapse]

 

Exercice 4

Pour tout nombre complexe $z$ différent de $-1$, montrer que :

$$\dfrac{z^2}{z+1}\in \R \ssi z=\overline{z} \text{ ou } \overline{z}z+z+\overline{z}=0.$$

Correction Exercice 4

On note $z=x+\ic y$.

$$\begin{align*}
\dfrac{z^2}{z+1} &=\dfrac{(x^+\ic y)^2}{x+\ic y+1} \\
&=\dfrac{x^2-y^2+2\ic xy}{(x+1)+\ic y} \times \dfrac{(x+1)-\ic y}{(x+1)-\ic y} \\
&=\dfrac{\left(x^2-y^2\right)(x+1)+2xy^2-\left(x^2-y^2\right)\ic y + 2\ic xy(x+1)}{(x+1)+y^2} \\
&=\dfrac{\left(x^2-y^2\right)(x+1)+2xy^2+\ic \left(-\left(x^2-y^2\right)y + 2 xy(x+1)\right)}{(x+1)^2+y^2}
\end{align*}$$

 

Or

$$\begin{align*} \dfrac{z^2}{z+1}\in \R &\ssi \Im\text{m}\left(\dfrac{z^2}{z+1}\right) = 0\\
& \ssi \dfrac{-\left(x^2-y^2\right)y + 2 xy(x+1)}{(x+1)^2+y^2} =0 \\
& \ssi y\left(-\left(x^2-y^2\right) + 2 x(x+1)\right) = 0 \text{ et } (x+1)^2+y^2\neq =0 \\
& \ssi y\left(-x^2+y^2+2x^2+2x\right)=0 \text{ et } (x;y)\neq (-1;0) \\
& \ssi y\left(x^2+y^2+2x\right)=0 \text{ et } (x;y) \neq (-1;0) \\
& \ssi \left(y=0 \text{ ou } x^2+y^2+2x=0\right) \text {et } (x;y) \neq (-1;0)
\end{align*}$$

Mais $y=0 \ssi z=\overline{z}$ et $\overline{z}z+z+\overline{z} = x^2+y^2+x+\ic y + x-\ic y = x^2+y^2+2x$.

Par conséquent, pour tout nombre complexe $z$ différent de $-1$ :
$$\dfrac{z^2}{z+1}\in \R \ssi z=\overline{z} \text{ ou } \overline{z}z+z+\overline{z}=0.$$

[collapse]