TS – Exercices – suites et récurrence

Montrons ce résultat par récurrence.

Initialisation : Si $n=0$ alors $2^{0+2}+3=4+3=7=u_0$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=2^{n+2}+3$.
Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}=2^{n+3}+3$.

$\begin{align*} u_{n+1}&=2u_n-3\\
&=2\left(2^{n+2}+3\right)-3\\
&=2^{n+3}+6-3\\
&=2^{n+3}+3
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=2^{n+2}+3$.

1. Montrons par récurrence sur $n$ que $0<u_n<2$.
   Initialisation : $u_0=1$ donc $0<u_0<2$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0<u_n<2$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $0<u_{n+1}<2$.
   $\begin{align*} 0<u_n<2 &\ssi 1<u_n+1<3\\
   &\ssi 1<\sqrt{u_n+1}<\sqrt{3} \\
   &\ssi 1<u_{n+1}<\sqrt{3}
   \end{align*}$
   Or $0<1$ et $\sqrt{3}<2$
   Par conséquent $0<u_{n+1}<2$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel on a $0<u_n<2$.
   $\quad$
2. Démontrons la propriété par récurrence.
   Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=\sqrt{2}$ donc $u_0\pp u_1$.
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \pp u_{n+1}$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $u_{n+1} \pp u_{n+2}$.
   $\begin{align*} u_n \pp u_{n+1} &\ssi u_n+1 \pp u_{n+1}+1 \\
   &\ssi \sqrt{u_n+1} \pp \sqrt{u_{n+1}+1} \quad (*) \\
   &\ssi u_{n+1} \pp u_{n+2}
   \end{align*}$
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \pp u_{n+1}$.
   $\quad$
   $(*)$ On peut appliquer la fonction racine carrée car $u_n>0$ donc $u_n+1>0$.
   $\quad$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $2$. Par conséquent elle converge.
   $\quad$

1. $u_0=10$, $u_1=6$, $u_2=4$, $u_3=3$, $u_4=2,5$.
   La suite $\left(u_n\right)$ semble donc décroissante.
   $\quad$
2. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
   $f'(x)=\dfrac{1}{2}>0$
   La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
   $\quad$
3. Montrons par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, c’est-à-dire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}<u_n$.
   Initialisation : $u_0=10$ et $u_1=5$ donc $u_1<u_0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_{n+1}<u_n$.
   Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+2}<u_{n+1}$.
   $\begin{align*} u_{n+1}<u_n &\ssi f\left(u_{n+1}\right)<f\left(u_n\right) \quad (*) \\
   &\ssi u_{n+2}<u_{n+1}
   \end{align*}$
   $(*)$ car la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
   $\quad$

On note $S_n=\ds \sum_{k=0}^{n}k^{2}$

Initialisation : Si $n=0$ alors $S_0=0^2 = 0$ et $\dfrac{0(0+1)(2\times 0+ 1)}{6} = 0$.
La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que :
$S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+1+1)\left(2(n+1)+1\right)}{6} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.

$\begin{align} S_{n+1} &= 0^2+1^2+2^2+\ldots+n^2+(n+1)^2 \\\\
&= S_n + (n+1)^2 \\\\
&= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \\\\
&= \dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} \\\\
&= \dfrac{(n+1)\left[n(2n+1)+6(n+1)\right]}{6}\\\\
&=\dfrac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{6}\\\\
&=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \quad (1)
\end{align}$

Développons $(n+2)(2n+3) = 2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6$.
Par conséquent, en revenant dans $(1)$ on a $S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.
La propriété est vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour entier naturel $n$ on a $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

1. On note $S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3+2^3+\ldots+n^3$
   Montrons la propriété par récurrence.
   Initialisation : Si $n=0$ alors $S_n=0$ et $\dfrac{0^2\times (0+1)^2}{4}=0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 = 0^3+1^3+2^3+\ldots+n^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que :
   $S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$
   $\begin{align*}S_{n+1}&=1^3+2^3+\ldots+n^3+(n+1)^3 \\
   &=S_n+(n+1)^3 \\
   &=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3\\
   &=(n+1)^2 \times \left(\dfrac{n^2}{4}+n+1\right) \\
   &=(n+1)^2\times \dfrac{n^2+4n+4}{4} \\
   &=(n+1)^2\times \dfrac{(n+2)^2}{4}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a : $ S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^3 =  \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$
   $\quad$
2. On sait que pour tout entier naturel $n$ on a $\ds \sum_{k=1}^{n}k  =\dfrac{n(n+1)}{2}$
   Par conséquent $\ds \left(\sum_{k=1}^{n}k\right)=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}=\sum_{k=0}^{n} k^3$.
   $\quad$

1. a. $u_1 = \dfrac{3u_0}{1+2u_0} = 0,75$ $\quad$ $u_2 = \dfrac{3u_1}{1+2u_1} = 0,9$
   $\quad$
   b. Initialisation : $u_0 = 0,5 > 0$. La propriété est donc vraie au rang $0$
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0 < u_n$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $0<u_{n+1}$.
   $u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}$ est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont positifs.
   Donc $u_{n+1} > 0$
   La propriété est, par conséquent, vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0< u_n$.
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align} u_{n+1}-u_{n} &= \dfrac{3u_n}{1+2u_n}-u_n \\\\
   & = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}-\dfrac{u_n+2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
   & = \dfrac{2u_n-2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
   & = \dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}
   \end{align}$
   On sait que $0 < u_n < 1$ donc $u_{n+1}-u_n > 0$.
   La suite $(u_n)$ est donc croissante.
   $\quad$
3. a.
   $\begin{align} v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}} \\\\
   & = \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{1-\dfrac{3u_n}{1+2u_n}} \\\\
   &= \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{\dfrac{1+2u_n-3u_n}{1+2u_n}} \\\\
   &=\dfrac{3u_n}{1+2u_n} \times \dfrac{1+2u_n}{1-u_n} \\\\
   &= 3 \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\
   &=3v_n
   \end{align}$
   $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $3$.
   $\quad$
   b. $v_0 = \dfrac{0,5}{1 – 0,5} = 1$ donc $v_n = 3^n$.
   $\quad$
   c.
   $ \begin{align} v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n}& \ssi 3^n = \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\
   &\ssi (1-u_n) \times 3^n = u_n \\\\
   & \ssi 3^n = u_n + 3^n u_n \\\\
   & \ssi u_n = \dfrac{3^n}{1+3^n}
   \end{align}$
   d. $\dfrac{1+3^n}{3^n} = \dfrac{1}{3^n} + 1$ or $\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{3^n} = 0$ (car $3 > 1$).
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{u_n} = \lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{1 + 3^n}{3^n} = 1$ et $\lim\limits_{n \to + \infty} u_n = 1$

Partie A

1. Initialisation : $u_0 = 2>1$. La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n > 1$
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}>1$
   Alors
   $\begin{align*} u_{n+1}& = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}\\
   &=\dfrac{3+u_n+2u_n-2}{3+u_n}\\
   &=1+\dfrac{2u_n-2}{3+u_n}
   \end{align*}$
   D’après l’hypothèse de récurrence : $2u_n-2 > 0$. On a de plus $3+u_n > 0$. Donc $u_{n+1} > 1$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Donc pour tout entier naturel$n$, $u_n > 1$.
   $\quad$
   Remarque : ne surtout pas faire la division des $2$ inégalités obtenues pour le numérateur et le dénominateur car le passage à l(inverse change le sens des inégalités !
   $\quad$
2. a.
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&= \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}-u_n \\
   &=\dfrac{1 + 3u_n-3u_n-u_n^2}{3+u_n} \\
   &=\dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. D’après la question 1. on sait que $1-u_n < 0$. De plus $1+u_n > 0$ et $3+u_n > 0$
   Donc $u_{n+1}-u_n < 0$.
   La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
   $\quad$

Partie B

1. $\quad$
   $\begin{array}{|c|c|c|c|}
   \hline
   i& 1 & 2 & 3 \\
   \hline
   u & 0,800&1,077 &0,976 \\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
2. Il semblerait que la suite $(u_n)$ “oscille” autour de $1$ tout en tendant vers $1$.
   $\quad$
3. a.
   $\begin{align*}v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1} \\
   &=\dfrac{ \dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}-1}{1+\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n} } \\
   &=\dfrac{\dfrac{1+0,5u_n-0,5-u_n}{0,5+u_n} }{\dfrac{0,5+u_n+1+0,5u_n}{0,5+u_n}}
   &=\dfrac{0,5-0,5u_n}{1,5+1,5u_n}\dfrac{-0,5}{1,5} \times \dfrac{u_n-1}{1+u_n}\\
   &=\dfrac{-1}{3}v_n
   \end{align*}$
   $\left(v_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{-1}{3}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{3}$
   $\quad$
   b. Donc $v_n=\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{-1}{3} \right)^n$
   $\quad$
4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a : $\left(\dfrac{-1}{3} \right)^n \pp 1$ donc $v_n \pp \dfrac{1}{3}$ et $v_n \ne 1$
   $\quad$
   b. $v_n = \dfrac{u_n-1}{1+u_n}$ donc
   $\begin{align*} (1+u_n)v_n = u_n – 1&\ssi  v_n+1=u_n-u_n \times v_n \\
   &\ssi u_n = \dfrac{1+v_n}{1-v_n}
   \end{align*}$
   $\quad$
   c. $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$ car $-1 < \dfrac{-1}{3} < 1$.
   Par conséquent :
   $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1$