TS – Exercices – suites et récurrence

Exercice 1

On donne la suite $(u_n)$ suivante : $u_{n+1}=2u_n-3$ et $u_0=7$.
Démontrer que, pour tout entier $n$, $u_n=2^{n+2}+3$.

$\quad$

Correction Exercice 1

Montrons ce résultat par récurrence.

Initialisation : Si $n=0$ alors $2^{0+2}+3=4+3=7=u_0$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=2^{n+2}+3$.
Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}=2^{n+3}+3$.

$\begin{align*} u_{n+1}&=2u_n-3\\
&=2\left(2^{n+2}+3\right)-3\\
&=2^{n+3}+6-3\\
&=2^{n+3}+3
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=2^{n+2}+3$.

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$\quad$

Exercice 2

On considère la suite $(u_n)$ suivante : $u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$ et $u_0=1$.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $0<u_n<2$.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $u_n \le u_{n+1}$. Que peut-on en déduire ?
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. Montrons par récurrence sur $n$ que $0<u_n<2$.
    Initialisation : $u_0=1$ donc $0<u_0<2$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0<u_n<2$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $0<u_{n+1}<2$.
    $\begin{align*} 0<u_n<2 &\ssi 1<u_n+1<3\\
    &\ssi 1<\sqrt{u_n+1}<\sqrt{3} \\
    &\ssi 1<u_{n+1}<\sqrt{3}
    \end{align*}$
    Or $0<1$ et $\sqrt{3}<2$
    Par conséquent $0<u_{n+1}<2$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel on a $0<u_n<2$.
    $\quad$
  2. Démontrons la propriété par récurrence.
    Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=\sqrt{2}$ donc $u_0\pp u_1$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \pp u_{n+1}$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $u_{n+1} \pp u_{n+2}$.
    $\begin{align*} u_n \pp u_{n+1} &\ssi u_n+1 \pp u_{n+1}+1 \\
    &\ssi \sqrt{u_n+1} \pp \sqrt{u_{n+1}+1} \quad (*) \\
    &\ssi u_{n+1} \pp u_{n+2}
    \end{align*}$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \pp u_{n+1}$.
    $\quad$
    $(*)$ On peut appliquer la fonction racine carrée car $u_n>0$ donc $u_n+1>0$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=10$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+1$.

  1. Conjecturer le sens de variation de $(u_n)$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}x+1$.
    $\quad$
  3. Démontrer la conjecture.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $u_0=10$, $u_1=6$, $u_2=4$, $u_3=3$, $u_4=2,5$.
    La suite $\left(u_n\right)$ semble donc décroissante.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    $f'(x)=\dfrac{1}{2}>0$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  3. Montrons par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, c’est-à-dire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}<u_n$.
    Initialisation : $u_0=10$ et $u_1=5$ donc $u_1<u_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_{n+1}<u_n$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+2}<u_{n+1}$.
    $\begin{align*} u_{n+1}<u_n &\ssi f\left(u_{n+1}\right)<f\left(u_n\right) \quad (*) \\
    &\ssi u_{n+2}<u_{n+1}
    \end{align*}$
    $(*)$ car la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Démontrer que $$\sum_{k=0}^{n}k^{2} = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

$\quad$

Correction Exercice 4

On note $S_n=\ds \sum_{k=0}^{n}k^{2}$

Initialisation : Si $n=0$ alors $S_0=0^2 = 0$ et $\dfrac{0(0+1)(2\times 0+ 1)}{6} = 0$.
La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que :
$S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+1+1)\left(2(n+1)+1\right)}{6} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.

$\begin{align} S_{n+1} &= 0^2+1^2+2^2+\ldots+n^2+(n+1)^2 \\\\
&= S_n + (n+1)^2 \\\\
&= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \\\\
&= \dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} \\\\
&= \dfrac{(n+1)\left[n(2n+1)+6(n+1)\right]}{6}\\\\
&=\dfrac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{6}\\\\
&=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \quad (1)
\end{align}$

Développons $(n+2)(2n+3) = 2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6$.
Par conséquent, en revenant dans $(1)$ on a $S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.
La propriété est vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour entier naturel $n$ on a $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

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$\quad$

$\quad$

Exercice 5

  1. Démontrer que $$ \sum_{k=0}^{n}k^{3} = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4} $$
    $\quad$
  2. En déduire que $$ \sum_{k=0}^{n}k^{3} = \left( \sum_{k=1}^{n}k \right)^2$$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On note $S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3+2^3+\ldots+n^3$
    Montrons la propriété par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $S_n=0$ et $\dfrac{0^2\times (0+1)^2}{4}=0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 = 0^3+1^3+2^3+\ldots+n^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que :
    $S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$
    $\begin{align*}S_{n+1}&=1^3+2^3+\ldots+n^3+(n+1)^3 \\
    &=S_n+(n+1)^3 \\
    &=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3\\
    &=(n+1)^2 \times \left(\dfrac{n^2}{4}+n+1\right) \\
    &=(n+1)^2\times \dfrac{n^2+4n+4}{4} \\
    &=(n+1)^2\times \dfrac{(n+2)^2}{4}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a : $ S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^3 =  \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$
    $\quad$
  2. On sait que pour tout entier naturel $n$ on a $\ds \sum_{k=1}^{n}k  =\dfrac{n(n+1)}{2}$
    Par conséquent $\ds \left(\sum_{k=1}^{n}k\right)=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}=\sum_{k=0}^{n} k^3$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6 ( D’après Polynésie juin 2013)

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}$$

  1. a. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
    b. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0<u_n$.
    $\quad$
  2. On admet que $u_n <1$ pour tout entier naturel $n$.
    Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  3. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n}$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $3$.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}$.
    $\quad$
    d. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. a. $u_1 = \dfrac{3u_0}{1+2u_0} = 0,75$ $\quad$ $u_2 = \dfrac{3u_1}{1+2u_1} = 0,9$
    $\quad$
    b. Initialisation : $u_0 = 0,5 > 0$. La propriété est donc vraie au rang $0$
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0 < u_n$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $0<u_{n+1}$.
    $u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}$ est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont positifs.
    Donc $u_{n+1} > 0$
    La propriété est, par conséquent, vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0< u_n$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} u_{n+1}-u_{n} &= \dfrac{3u_n}{1+2u_n}-u_n \\\\
    & = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}-\dfrac{u_n+2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
    & = \dfrac{2u_n-2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
    & = \dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}
    \end{align}$
    On sait que $0 < u_n < 1$ donc $u_{n+1}-u_n > 0$.
    La suite $(u_n)$ est donc croissante.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align} v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}} \\\\
    & = \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{1-\dfrac{3u_n}{1+2u_n}} \\\\
    &= \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{\dfrac{1+2u_n-3u_n}{1+2u_n}} \\\\
    &=\dfrac{3u_n}{1+2u_n} \times \dfrac{1+2u_n}{1-u_n} \\\\
    &= 3 \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\
    &=3v_n
    \end{align}$
    $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $3$.
    $\quad$
    b. $v_0 = \dfrac{0,5}{1 – 0,5} = 1$ donc $v_n = 3^n$.
    $\quad$
    c.
    $ \begin{align} v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n}& \ssi 3^n = \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\
    &\ssi (1-u_n) \times 3^n = u_n \\\\
    & \ssi 3^n = u_n + 3^n u_n \\\\
    & \ssi u_n = \dfrac{3^n}{1+3^n}
    \end{align}$
    d. $\dfrac{1+3^n}{3^n} = \dfrac{1}{3^n} + 1$ or $\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{3^n} = 0$ (car $3 > 1$).
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{u_n} = \lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{1 + 3^n}{3^n} = 1$ et $\lim\limits_{n \to + \infty} u_n = 1$

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$\quad$

Exercice 7 (D’après Asie juin 2013)

Partie A

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}$$
On admet que tout les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n > 1$.
    $\quad$
  2. a. Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a :$u_{n+1}-u_n = \dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}$.
    $\quad$
    b. Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
    $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} = \dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}$$

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. On considère l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    \textbf{Entrée} & \text{Soit un entier naturel non nul }n \\
    \hline
    \textbf{Initialisation} & \text{Affecter à } u \text{ la valeur } 2 \\
    \hline
    & \text{POUR }i \text{ allant de } 1 \text{ à } n \\
    \textbf{Traitement} & \qquad \text{Affecter à } u \text{ la valeur } \dfrac{1+0,5u}{0,5 + u} \\
    \textbf{et sortie}  & \qquad \text{Afficher } u \\
    & \text{FIN POUR} \\
    \hline
    \end{array}$
    Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n=3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    i& 1 & 2 & 3 \\
    \hline
    u & & & \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. Pour $n= 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    i & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
    \hline
    u& 1,008~3 & 0,997~3 & 1,00~09 & 0,999~7 & 1,000~1 & 0,999~97 &1,000~01 & 0,999~996 & 1,000~001 \\
    \hline
    \end{array}$
    Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ à l’infini.
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = \dfrac{u_n-1}{u_n+1}$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $-\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    b. Calculer $v_0$ puis écrire $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_n \ne 1$.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
    $\quad$
Correction Exercice 7

Partie A

  1. Initialisation : $u_0 = 2>1$. La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n > 1$
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}>1$
    Alors
    $\begin{align*} u_{n+1}& = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}\\
    &=\dfrac{3+u_n+2u_n-2}{3+u_n}\\
    &=1+\dfrac{2u_n-2}{3+u_n}
    \end{align*}$
    D’après l’hypothèse de récurrence : $2u_n-2 > 0$. On a de plus $3+u_n > 0$. Donc $u_{n+1} > 1$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Donc pour tout entier naturel$n$, $u_n > 1$.
    $\quad$
    Remarque : ne surtout pas faire la division des $2$ inégalités obtenues pour le numérateur et le dénominateur car le passage à l(inverse change le sens des inégalités !
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&= \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}-u_n \\
    &=\dfrac{1 + 3u_n-3u_n-u_n^2}{3+u_n} \\
    &=\dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après la question 1. on sait que $1-u_n < 0$. De plus $1+u_n > 0$ et $3+u_n > 0$
    Donc $u_{n+1}-u_n < 0$.
    La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
    $\quad$

Partie B

  1. $\quad$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    i& 1 & 2 & 3 \\
    \hline
    u & 0,800&1,077 &0,976 \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. Il semblerait que la suite $(u_n)$ “oscille” autour de $1$ tout en tendant vers $1$.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*}v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1} \\
    &=\dfrac{ \dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}-1}{1+\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n} } \\
    &=\dfrac{\dfrac{1+0,5u_n-0,5-u_n}{0,5+u_n} }{\dfrac{0,5+u_n+1+0,5u_n}{0,5+u_n}}
    &=\dfrac{0,5-0,5u_n}{1,5+1,5u_n}\dfrac{-0,5}{1,5} \times \dfrac{u_n-1}{1+u_n}\\
    &=\dfrac{-1}{3}v_n
    \end{align*}$
    $\left(v_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{-1}{3}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
    b. Donc $v_n=\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{-1}{3} \right)^n$
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a : $\left(\dfrac{-1}{3} \right)^n \pp 1$ donc $v_n \pp \dfrac{1}{3}$ et $v_n \ne 1$
    $\quad$
    b. $v_n = \dfrac{u_n-1}{1+u_n}$ donc
    $\begin{align*} (1+u_n)v_n = u_n – 1&\ssi  v_n+1=u_n-u_n \times v_n \\
    &\ssi u_n = \dfrac{1+v_n}{1-v_n}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c.
    $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$ car $-1 < \dfrac{-1}{3} < 1$.
    Par conséquent :
    $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1$

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