TS - exp et suites

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{\text{e}^{u_n}}{n + 2}$.

Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $0 < u_n \le 1$.
$\quad$
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} \le \dfrac{\text{e}}{n+2}$.
$\quad$
Montrer que la suite $(u_n)$ converge.
$\quad$

Montrons cette propriété par récurrence.
Initialisation : $u_0 =0,5$ donc $0 < u_0 \le 1$.
La propriété est vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0< u_n \le 1$
Par conséquent $1 < \text{e}^{u_n} \le \text{e}$
et $\dfrac{1}{n+2} < u_{n+1} \le \dfrac{\text{e}}{n + 2}$
Puisque $n \ge 1$ on a $\dfrac{1}{n+2} > 0$ et $n + 2 \ge 3 \ge \text{e}$
Donc $0< u_{n+1} \le 1$
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $0< u_n \le 1$.
$\quad$
On a donc pour tout entier naturel $n$ :
$0 < u_n \le 1$ soit $\text{e}^0 < \text{e}^{u_n} \le \text{e}^1$
Par conséquent $1 < \text{e}^{u_n} \le \text{e}$
Et donc $\dfrac{1}{n+2} < u_{n+1} \le \dfrac{\text{e}}{n+2}$
$\quad$
On a : $0< u_{n+1} \le \dfrac{\text{e}}{n + 2}$
$\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\text{e}}{n + 2} = 0$
D’après le théorème des gendarmes on a : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n+1} = 0$
Et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = 0$. La suite $(u_n)$ converge donc.