TS – exp et suites – Ex 2

Exercice 2

Les suites $(z_n)$ et $(t_n)$ sont définies pour tout entier naturel $n$, par $z_0 = 1$, $z_{n+1} = z_n + 1$ et $t_n = \text{e}^{-z_n}$.

On note $S_n = t_0 + t_1+ \ldots + t_n$.

  1. Montrer que la suite $(t_n)$ est géométrique.
    $\quad$
  2. Montrer que la suite $(t_n)$ est convergente.
    $\quad$
  3. Déterminer la limite de la suite $(S_n)$.
    $\quad$

Correction

  1. $t_{n+1} = \text{e}^{-z_{n+1}} = \text{e}^{-z_n-1} $ $= \text{e}^{-z_n} \times \text{e}^{-1} = \text{e}^{-1} \times t_n$
    La suite $(t_n)$ est donc géométrique de raison $\text{e}^{-1}$ et de premier terme $t_0 = \text{e}^{-1}$.
    $\quad$
  2. On a donc $t_n = \text{e}^{-1} \times \left(\text{e}^{-1}\right)^n=\text{e}^{-(n+1)}$
    $\lim\limits_{n \to +\infty} -(n+1) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to – \infty} \text{e}^x = 0$.
    Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} t_n = 0$.
    La suite $(t_n)$ est donc convergente.
    $\quad$
  3. $S_n$ est la somme des $n+1$ premiers termes de la suite géométrique $(t_n)$.
    On a donc $S_n = \text{e}^{-1}\times \dfrac{1 – \text{e}^{-(n+1)}}{1 – \text{e}^{-1}}$.
    Puisque $\lim\limits_{n \to +\infty} \text{e}^{-(n+1)}= 0$ on a $\lim\limits_{n \to +\infty} S_n = \dfrac{\text{e}^{-1}}{1 – \text{e}^{-1}}$.