TS – exp et suites – Ex 4

Exercice 4

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par : $f(x) = \sqrt{x} \text{e}^{1-x}$.

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.

  1. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. On pourra vérifier que pour tout réel $x > 0, f(x) = \dfrac{\text{e}}{\sqrt{x}} \times \dfrac{x}{\text{e}^x}$.
    Interpréter graphiquement le résultat.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$. Pour $x >0$, calculer $f'(x)$.
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de variation de $f$.
    $\quad$

Partie B

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $u_n$ l’aire du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses, et les droites d’équation $x=n$ et $x=n+1$.

  1. a. Esquisser une figure schématisant la situation.
    $\quad$
    b. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $f(n+1) \le u_n \le f(n)$.
    $\quad$
  2. En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante.
    $\quad$
  3. Prouver la convergence de la suite $(u_n)$ et déterminer sa limite.
    $\quad$

$\quad$

Correction

Partie A

  1. $\quad$
    $\begin{align} f(x) &=  \sqrt{x} \text{e}^{1-x} \\\\
    &=  \sqrt{x} \times \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \times \text{e}^{1} \times  \text{e}^{-x} \\\\
    &= \dfrac{\text{e}}{\sqrt{x}} \times \dfrac{x}{\text{e}^x} \\\\
    \end{align}$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}}{\sqrt{x}} = 0$. Puisque $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty$ alors $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 0$
    Donc $\lim\limits_{x \to + \infty} f(x) = 0$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} f'(x)&=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \text{e}^{1-x} + \sqrt{x} \times (-1) \times \text{e}^{1-x} \\\\
    &=  \left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}} – \sqrt{x}\right)\text{e}^{1-x} \\\\
    &= \dfrac{1 – 2x}{2\sqrt{x}} \times \text{e}^{1-x}
    \end{align}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc également sur $]0;+\infty[$. La fonction racine carrée est également positive sur $]0;+\infty[$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1 – 2x$.
    ts-exp_et_suites_ex4

Partie B

  1. a.
    ts-exo-exp et suites-ex4_2
    b. La fonction$f$ étant décroissante sur $[1;+\infty[$, l‘aire $u_n$ est donc comprise entre l’aire des rectangles de taille $1 \times f(n+1)$ et $1 \times f(n)$.
    Par conséquent $f(n+1) \le u_n \le f(n)$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel non nul $n$ on a: $f(n+2) \le u_{n+1} \le f(n+1) \le u_n \le f(n)$
    Donc $u_{n+1} \le u_n$.
    Par conséquent la suite $(u_n)$ est décroissante.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel non nul $n$ on a : $f(n+1) \le u_n \le f(n)$
    Or $\lim\limits_{n \to +\infty} f(n) = \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$
    De même $\lim\limits_{n \to +\infty} f(n+1) = 0$.
    D’après le théorème des gendarmes, on a donc également $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.
    La suite $(u_n)$ converge donc vers $0$.
    $\quad$
    Pour prouver la convergence, on pouvait également dire que la suite $(u_n)$ était décroissante et minorée par $0$ (puisque la fonction $f$ est positive). Le théorème de convergence monotone nous assure donc la convergence de la suite $(u_n)$.