TS – exp et suites – Ex 5

Exercice 5

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x – 1 }$.
    a. Déterminer la limite de $f$ en $0$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_n = \dfrac{1}{n} \left(1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}}+\ldots+\text{e}^{\frac{n-1}{n}} \right)$.
    a. Calculer $1 + \text{e}^{\frac{1}{n}}+ \text{e}^{\frac{2}{n}}+\ldots+\text{e}^{\frac{n-1}{n}}$, puis en déduire que $u_n = (\text{e}-1)f\left(\dfrac{1}{n}\right)$.
    $\quad$
    b. En déduire, en utilisant la question 1., que la suite $(u_n)$ converge vers $\text{e} – 1$.
    $\quad$

Correction

  1. a. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\text{e}^x – 1}{x} = 1$ (formule du cours) donc $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 1$.
    $\quad$
    b. $\quad$
    $\begin{align} f(x) &= \dfrac{x}{\text{e}^x  – 1} \\\\
    & = \dfrac{x}{\text{e}^x – 1} \times \dfrac{\text{e}^{-x}}{\text{e}^{-x}} \\\\
    &= \dfrac{- (-x)\text{e}^{-x}}{1 – \text{e}^{-x}}
    \end{align}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} -x = – \infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} x\text{e}^x = 0$. Par conséquent $\lim\limits_{x \to + \infty} -x\text{e}^{-x} = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$.
    $\quad$
  2. a. On note $S_n = 1 + \text{e}^{\frac{1}{n}}+ \text{e}^{\frac{2}{n}}+\ldots+\text{e}^{\frac{n-1}{n}}$.
    Il s’agit de la somme de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $\text{e}^{\frac{1}{n}}$.
    $\begin{align} S_n &= 1 + \text{e}^{\frac{1}{n}}+ \text{e}^{\frac{2}{n}}+\ldots+\text{e}^{\frac{n-1}{n}} \\\\
    &= \sum_{k=0}^{n-1} \left(\text{e}^{\frac{1}{n}}\right)^k \\\\
    &= \dfrac{1 – \text{e}^{\frac{n}{n}}}{1 – \text{e}^{\frac{1}{n}}} \\\\
    &= \dfrac{1 – \text{e}}{1 – \text{e}^{\frac{1}{n}}} \\\\
    &= \dfrac{\text{e} – 1}{\text{e}^{\frac{1}{n}} – 1}
    \end{align}$
    $\quad$
    $u_n = \dfrac{1}{n}S_n = \dfrac{(\text{e} – 1) \times \dfrac{1}{n}}{\text{e}^{\frac{1}{n}} – 1}$ $=(\text{e}-1)f\left(\dfrac{1}{n}\right)$
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$ et $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 1$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \text{e}-1$.