TS – Exponentielle – problème 1

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{3}{4} x + \text{e}^{-\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}}$.

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$ (unité graphique $4$ cm). On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans ce repère.

  1. a. Résoudre l’équation $1 – \text{e}^{-\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}} = 0$
    $\quad$
    b. Résoudre l’inéquation $1 – \text{e}^{-\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}} \ge 0$
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$
    $\quad$
  4. On considère la droite $\Delta$ d’équation $y = \dfrac{3}{4}x$.
    Déterminer $ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) – \dfrac{3}{4}x$ . En fournir une interprétation graphique.
    $\quad$
  5. Représenter graphiquement $\mathscr{C}$ et $\Delta$.
    $\quad$
  6. On considère la droite $D$ d’équation $y = \dfrac{4}{5}x$. Déterminer graphiquement l’abscisse du point d’intersection de cette droite avec $\mathscr{C}$ (fournir un encadrement d’amplitude $0,5$).

Correction

  1. a.
    $\begin{align}
    1 – \text{e}^{-\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}} = 0 & \Leftrightarrow \text{e}^0 = \text{e}^{-\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}} \\\\
    & \Leftrightarrow – \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{2} = 0 \\\\
    &\Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}
    \end{align}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align}
    1 – \text{e}^{-\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}} \ge 0 & \Leftrightarrow \text{e}^0 \ge \text{e}^{-\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}} \\\\
    & \Leftrightarrow -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{2} \le 0 \\\\
    &\Leftrightarrow x \ge \dfrac{2}{3}
    \end{align}$
    La solution de l’inéquation est $\left[\dfrac{2}{3};+\infty\right[$.
    $\quad$
  2. $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x) = \dfrac{3}{4} – \dfrac{3}{4}\text{e}^{-\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}} $ $=\dfrac{3}{4}\left(1 – \text{e}^{-\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}}\right)$.
    D’après la question 1, on peut dire que $f$ est décroissante sur $\left[0;\dfrac{2}{3}\right]$ et croissante sur $\left[\dfrac{2}{3};+\infty\right[$.
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{x \to +\infty} -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{2} = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}} = 0$
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3}{4}x = +\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
    $\quad$
  4. $ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) – \dfrac{3}{4}x = \lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}} = 0$
    La courbe $\mathscr{C}$ se confond donc avec la droite $\Delta$ pour les grandes valeurs de $x$.
    On dit que la droite $\Delta$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathscr{C}$ au voisinage de $+\infty$.
    $\quad$
  5. $\quad$
    TS - exp - pb1
  6. Graphiquement, on constate donc que $3 < \alpha < 3,5$