TS – Exponentielle – problème 2

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x} + 1}$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.

  1. Démontrer que $f(x)= \dfrac{1}{1 +\text{e}^{-2x}}$ pour tout $x \in \R$.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout réel $x$, on a $ 0 < f(x) < 1$.
    $\quad$
  3. Démontrer que $\mathscr{C}$ est symétrique par rapport au point $I$ de coordonnées $\left(0;\dfrac{1}{2}\right)$.
    Remarque : Cela revient à démontrer que $f(x) – \dfrac{1}{2} = – \left[f(-x) – \dfrac{1}{2}\right]$.
    $\quad$
  4. Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
    $\quad$
  5. Dresser le tableau de variation de $f$.

Correction

  1. $\quad$
    $\begin{align} f(x) &= \dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x} + 1} \\\\
    &= \dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x} + 1} \times \dfrac{\text{e}^{-2x}}{\text{e}^{-2x}} \\\\
    &= \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-2x}}
    \end{align}$
    $\quad$
  2. Soit $x\in \R$
    La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, $1 + \text{e}^{-2x} > 1$.
    Par conséquent $\dfrac{1}{1 + \text{e}^{-2x}} < 1$
    Puisque $1 + \text{e}^{-2x} > 0$ on a aussi $\dfrac{1}{1 + \text{e}^{-2x}} > 0$.
    Finalement $0 < f(x) < 1$.
    $\quad$
  3. Calculons séparément $ f(x) – \dfrac{1}{2}$ et $f(-x) – \dfrac{1}{2}$
    $\begin{align}
    f(x) – \dfrac{1}{2} & = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-2x}} – \dfrac{1}{2} \\\\
    &= \dfrac{2 – \left(1 + \text{e}^{-2x}\right)}{2\left(1 + \text{e}^{-2x}\right)} \\\\
    &= \dfrac{1 –  \text{e}^{-2x}}{2 \left(1+\text{e}^{-2x}\right)}
    \end{align}$
    $\begin{align}
    f(-x) – \dfrac{1}{2} &= \dfrac{\text{e}^{-2x}}{\text{e}^{-2x} + 1} – \dfrac{1}{2} \\\\
    &= \dfrac{2\text{e}^{-2x} – \left(\text{e}^{-2x} + 1\right)}{2\left(1 + \text{e}^{-2x}\right)} \\\\
    &= \dfrac{\text{e}^{-2x} – 1}{2\left(1 + \text{e}^{-2x}\right)}
    \end{align}$
    Par conséquent $f(x) – \dfrac{1}{2} = – \left[f(-x) – \dfrac{1}{2}\right]$ et $\mathscr{C}$ est symétrique par rapport au point $I$ de coordonnées $\left(0;\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^{-2x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-2x}} = 1$
    $\quad$
    $\lim\limits_{x \to -\infty}\text{e}^{-2x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-2x}} = 0$
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme composée et quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    En choisissant l’expression trouvée à la question 1 :
    $f'(x) = – \dfrac{-2\text{e}^{-2x}}{\left(1 + \text{e}^{-2x}\right)^2} = \dfrac{2\text{e}^{-2x}}{\left(1 + \text{e}^{-2x}\right)^2} > 0$
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :
    TS - exp - pb2