TS – Exponentielle

Exercice 1

Prouver, que pour tout $x \in \R$ :

  1. $\dfrac{1-\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-2x}}=\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{\text{e}^{2x}+1}$
    $\quad$
  2. $\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x}=\dfrac{\text{e}^x-1}{\text{e}^{2x}}$
    $\quad$
  3. $\left(\text{e}^x+\text{e}^{-x}\right)^2-2=\dfrac{\text{e}^{4x}+1}{\text{e}^{2x}}$
    $\quad$
Correction Exercice 1
  1. $\quad$
    $\begin{align}\dfrac{1-\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-2x}} &=\dfrac{\text{e}^{-2x}\left(\text{e}^{2x}-1\right)}{\text{e}^{-2x}\left(\text{e}^{2x} + 1\right)} \\\\
    &=\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{\text{e}^{2x}+1}
    \end{align}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} \text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x} &= \text{e}^{-2x}\left(\dfrac{ \text{e}^{-x}}{ \text{e}^{-2x}}-1\right) \\\\
    &=\dfrac{1}{ \text{e}^{2x}}\left( \text{e}^{x} – 1\right)\\\\
    &=\dfrac{\text{e}^x-1}{\text{e}^{2x}}
    \end{align}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align}
    \left(\text{e}^x+\text{e}^{-x}\right)^2-2&= \text{e}^{2x} + 2 +  \text{e}^{-2x} – 2\\\\
    &=  \text{e}^{2x}+ \text{e}^{-2x} \\\\
    &=  \text{e}^{-2x}\left(\dfrac{ \text{e}^{2x}}{ \text{e}^{-2x}} + 1\right)\\\\
    &=\dfrac{\text{e}^{4x}+1}{\text{e}^{2x}}
    \end{align}$

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$\quad$

Exercice 2

Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{\text{e}^x-1}{\text{e}^x+1}$ est impaire.
$\quad$

Correction Exercice 2

Une fonction est impaire sur $\R$ si, et seulement si, $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x \in \R$.

$\begin{align} f(-x) &=  \dfrac{\text{e}^{-x}-1}{\text{e}^{-x}+1} \\\\
&=\dfrac{\dfrac{1}{\text{e}^x}-1}{\dfrac{1}{\text{e}^x}+1} \\\\
&=\dfrac{\dfrac{1-\text{e}^x}{\text{e}^x}}{\dfrac{1+\text{e}^x}{\text{e}^x}} \\\\
&= \dfrac{1 – \text{e}^x}{1+\text{e}^x} \\\\
&= – \dfrac{\text{e}^x-1}{1 + \text{e}^x} \\\\
&= – f(x)
\end{align}$

La fonction $f$ est donc bien impaire sur $\R$.

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$\quad$

Exercice 3

Montrer que, pour tout $x\in \R$ on a :$\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{\text{e}^{2x}+1} = \dfrac{\text{e}^x-\text{e}^{-x}}{\text{e}^x+\text{e}^{-x}}$
$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align}
\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{\text{e}^{2x}+1} &= \dfrac{\text{e}^x\left(\text{e}^x-\text{e}^{-x}\right)}{\text{e}^x\left(\text{e}^x+\text{e}^{-x}\right)}\\\\
&=\dfrac{\text{e}^x-\text{e}^{-x}}{\text{e}^x+\text{e}^{-x}}
\end{align}$

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$\quad$

Exercice 4

Dans chacun des cas, justifier que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et fournir la dérivée de $f$ sur $\R$.

  1. $f(x) = \text{e}^x + 2x-\text{e}^3$
    $\quad$
  2. $f(x) = 2x\text{e}^x$
    $\quad$
  3. $f(x) = (5x^2-2x)\text{e}^x$
    $\quad$
  4. $f(x) = \left(\text{e}^x + 2\right)\left(\text{e}^x – \text{e}\right)$
    $\quad$
  5. $f(x) = \dfrac{2\text{e}^x-1}{\text{e}^x + 3}$
    $\quad$
  6. $f(x) = \e^{x^3+\scriptsize{\dfrac{2}{5}}\normalsize x^2-1}$
    $\quad$
  7. $f(x) = \e^{\dfrac{x+1}{x^2+1}}$
    $\quad$
Correction Exercice 4
  1. $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $\R$. Elle est donc également dérivable sur $\R$.
    $f'(x) = \text{e}^x + 2$
    $\quad$
  2. $f$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$. Elle est donc également dérivable sur $\R$.
    $f'(x) = 2\text{e}^x + 2x\text{e}^x = 2\text{e}^x (1+x)$
    $\quad$
  3. $f$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$. Elle est donc également dérivable sur $\R$.
    $f'(x) = (10x -2)\text{e}^x + (5x^2-2x)\text{e}^x $ $ = \text{e}^x (10x – 2 +5x^2 – 2x)$ $=\text{e}^x(5x^2 + 8x – 2)$
    $\quad$
  4. $f$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$. Elle est donc également dérivable sur $\R$.
    $f'(x) = \text{e}^x\left(\text{e}^x – \text{e}\right) + \text{e}^x\left(\text{e}^x+2\right)$ $ = \text{e}^{x}\left(\text{e}^x-\text{e} + \text{e}^x + 2\right)$ $=\text{e}^x\left(2\text{e}^x-\text{e} + 2\right)$
    $\quad$
  5. $f$ est un quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $f(x) = \dfrac{2\text{e}^x\left(\text{e}^x + 3\right) – \text{e}^x\left(2\text{e}^x – 1\right)}{\left(\text{e}^x +3\right)^2} $ $=\dfrac{\text{e}^x\left(2\text{e}^x + 6 – 2\text{e}^x + 1\right)}{\left(\text{e}^x + 3\right)^2}$ $=\dfrac{7\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 3\right)^2}$
  6. La fonction $x\mapsto x^3+\dfrac{2}{5}x^2-1$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynomiale.
    la fonction $f$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    $\begin{align*} f'(x)&=\left(3x+\dfrac{2}{5}\times 2x\right)\e^{x^3+\scriptsize{\dfrac{2}{5}}\normalsize x^2-1} \\
    &=\left(3x+\dfrac{4}{5}x\right)\e^{x^3+\scriptsize{\dfrac{2}{5}}\normalsize x^2-1}
    \end{align*}$
    $\quad$
  7. La fonction $x\mapsto \dfrac{x+1}{x^2+1}$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{x^2+1-2x(x+1)}{\left(x^2+1\right)^2}\e^{\dfrac{x+1}{x^2+1}}\\\\
    &=\dfrac{x^2+1-2x^2 -2x}{\left(x^2+1\right)^2}\e^{\dfrac{x+1}{x^2+1}}\\\\
    &=\dfrac{-x^2-2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}\e^{\dfrac{x+1}{x^2+1}}
    \end{align*}$

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$\quad$

Exercice 5

Dans chacun des cas, étudier les variations de la fonction $f$, définie sur $\R$ (ou $\R^*$ pour les cas 4. et 5.) , dont on a fourni une expression algébrique.

  1. $f(x) = x\text{e}^x$
    $\quad$
  2. $f(x) = (2-x^2)\text{e}^x$
    $\quad$
  3. $f(x) = \dfrac{x + \text{e}^x}{\text{e}^x}$
    $\quad$
  4. $f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}$
    $\quad$
  5. $f(x) = \dfrac{1}{\text{e}^x-1}$
    $\quad$
Correction Exercice 5
  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    $f'(x) = \text{e}^x + x\text{e}^x = (x + 1)\text{e}^x$.
    La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+1$.
    Par conséquent la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-1]$ et strictement croissante sur $[-1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    $f'(x) = -2x\text{e}^x + (2 -x^2)\text{e}^x = \text{e}^x(-2 x + 2 – x^2)$.
    La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-x^2 – 2x + 2$.
    On calcule le discriminant : $\Delta = (-2)^2 – 4 \times 2 \times (-1) = 12 > 0$.
    Il y a donc deux racines réelles : $x_1 = \dfrac{2 – \sqrt{12}}{-2} = -1 + \sqrt{3}$ et $x_2 = -1 – \sqrt{3}$.
    Puisque $a=-1<0$, la fonction est donc décroissante sur les intervalles $\left]-\infty;-1-\sqrt{3}\right]$ et $\left[-1+\sqrt{3};+\infty\right[$ et croissante sur $\left[-1-\sqrt{3};-1+\sqrt{3}\right]$
    $\quad$
  3. $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule jamais.
    $f'(x) = \dfrac{\left(1  +\text{e}^x\right)\text{e}^x – \text{e}^x\left(x + \text{e}^x\right)}{\left(\text{e}^x\right)^2} = \dfrac{\text{e}^x\left(1 + \text{e}^x- x -\text{e}^x\right)}{\text{e}^{2x}}$ $=\dfrac{(1 – x)\text{e}^x}{\text{e}^{2x}}$ $=\dfrac{1 – x}{\text{e}^x}$
    La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1 – x$.
    Par conséquent la fonction $f$ est croissante sur $]-\infty;1]$ et décroissante sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est dérivable sur $\R^*$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R^*$ dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R^*$.
    $f'(x)=\dfrac{x\text{e}^x-\text{e}^x}{x^2} = \dfrac{\text{e}^x(x – 1)}{x^2}$.
    La fonction exponentielle et la fonction $x \mapsto x^2$ étant strictement positive sur $\R^*$, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x – 1$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;1]$ et croissante sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est dérivable sur $\R^*$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R^*$ dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R^*$.
    $f'(x) = \dfrac{-\text{e}^x}{\left(\text{e}^x – 1\right)^2}$.
    La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R^*$, $f'(x) < 0$ sur $\R^*$.
    La fonction $f$ est donc décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$.

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$\quad$

Exercice 6

  1. Démontrer que, pour tout $x \in \R$, on a $1 + x \le \text{e}^x$.
    $\quad$
  2. a. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \le \text{e}$.
    $\quad$
    b. Démontrer également que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\left(1 – \dfrac{1}{n}\right)^n \le \dfrac{1}{\text{e}}$.
    $\quad$
  3.  En déduire que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a :
    $$\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \le \text{e} \le \left(1 – \dfrac{1}{n}\right)^{-n}$$
    $\quad$
  4. En prenant $n = 1~000$ en déduire un encadrement de $\text{e}$ à $10^{-4}$.
    $\quad$
Correction Exercice 6
  1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^x – (1 + x)$.
    Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
    $f'(x) = \text{e}^x – 1$.
    La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ et $\text{e}^0 = 1$.
    Donc $f'(x) \le 0$ sur $]-\infty;0]$ et $f'(x) \ge 0$ sur $[0;+\infty[$.
    Par conséquent $f$ est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
    La courbe représentant la fonction $f$ admet donc un minimum en $0$ et $f(0) = 1 – (1 + 0) = 0$.
    Par conséquent, pour tout $x \in \R$, $f(x) \ge 0$ et $1 + x \le \text{e}^x$.
    $\quad$
  2. a. On pose $x = \dfrac{1}{n}$. On a alors $ 1 +\dfrac{1}{n} \le \text{e}^{\frac{1}{n}}$.
    Et en élevant les deux membres à la puissance $n$ on obtient :
    $$\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \le \text{e}$$
    b. On pose cette fois-ci $x = -\dfrac{1}{n}$. On obtient ainsi  $ 1 -\dfrac{1}{n} \le \text{e}^{-\frac{1}{n}}$.
    En élevant les deux membres à la puissance $n$ on obtient :
    $$\left(1 – \dfrac{1}{n}\right)^n \le \text{e}^{-1}$$
    soit
    $$\left(1 – \dfrac{1}{n}\right)^n \le \dfrac{1}{\text{e}}$$
  3. On a ainsi, d’après la question 2b, $\text{e} \le \left(1 – \dfrac{1}{n}\right)^{-n}$.
    Ainsi en reprenant cette inégalité et celle trouvée à la question 2a on a bien :
    $$\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \le \text{e} \le \left(1 – \dfrac{1}{n}\right)^{-n}$$
  4. Si on prend $n = 1~000$ et qu’on utilise l’encadrement précédent on trouve :
    $$2,7169 \le \text{e} \le 2,7197$$

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$\quad$