TS - Fonction Ln

Simplifier l’écriture des expressions suivantes :

$\ln (3e)$
$\quad$
$\ln \e^2$
$\quad$
$\ln \left(\sqrt{e}\right)$
$\quad$
$\ln \dfrac{1}{3} + \ln \dfrac{3}{5} + \ln \dfrac{5}{7} + \ln \dfrac{7}{9}$
$\quad$
$\ln \left( 2 +\sqrt{3}\right)^{20} + \ln \left(2 – \sqrt{3}\right)^{20}$

$\ln (3e) = \ln 3 + \ln \e = \ln 3 + 1$
$\quad$
$\ln \e^2 = 2\ln \e = 2$
$\quad$
$\ln \left(\sqrt{e}\right) = \dfrac{1}{2} \ln \e = \dfrac{1}{2}$
$\quad$
$\ln \dfrac{1}{3} + \ln \dfrac{3}{5} + \ln \dfrac{5}{7} + \ln \dfrac{7}{9} $ $=\ln 1 – \ln 3 + \ln 3 – \ln 5 + \ln 5 – \ln 7 + \ln 7 – \ln 9$ $= -\ln 9$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align} \ln \left( 2 +\sqrt{3}\right)^{20} + \ln \left(2 – \sqrt{3}\right)^{20} & = \ln \left( \left( 2 +\sqrt{3}\right)^{20} \times \left( 2 -\sqrt{3}\right)^{20} \right) \\\\
& = \ln \left(\left( 2 +\sqrt{3}\right)\left(2 – \sqrt{3}\right)\right)^{20} \\\\
& = 20 \ln\left(\left( 2 +\sqrt{3}\right)\left(2 – \sqrt{3}\right)\right) \\\\
& = 20 \ln (4 – 3) \\\\
& = 20 \ln 1 \\\\
& = 0
\end{align}$