TS - Fonction Ln

Exercice 2

Résoudre les équations proposées après avoir fourni l’ensemble d’étude.

$\ln 3x = 8$
$\quad$
$\ln x = -2$
$\quad$
$\ln x^2 = 1$
$\quad$
$\ln \dfrac{x}{3} = 2$
$\quad$
$\ln x^3 = -3$
$\quad$
$\ln (3x – 2) = 0$
$\quad$
$\ln(x^2 – 1) = \ln 4 + \ln 2$
$\quad$
$\ln (x^2 – 3x + 2) = \ln 9$
$\quad$
$\ln (2x + 1) + \ln (-x + 1) = 0$
$\quad$
$\ln (x – 1)^2 – \ln (x+ 1) = 0$
$\quad$
$\e^{3x + 4} = 2$
$\quad$
$\e^{-x \ln 4} = 5$
$\quad$
$\e^x + \e^{-x} – 6 = 0$

Correction

Dans chacun des cas on vérifie que les solutions appartiennent bien à l’intervalle d’étude.

L’ensemble d’étude est tel que $3x > 0$ soit $]0;+\infty[$.
$\ln 3x = 8 \Leftrightarrow \ln 3x = \ln \e^8 \Leftrightarrow 3x = \e^8 \Leftrightarrow x = \dfrac{\e^8}{3} $
La solution de l’équation est $\dfrac{\e^8}{3}$.
$\quad$
L’ensemble d’étude est tel que $x > 0$ soit $]0;+\infty[$.
$\ln x = -2 \Leftrightarrow \ln x = \ln \e^{-2} \Leftrightarrow x = \e^{-2}$
La solution de l’équation est $\e^{-2}$.
$\quad$
L’ensemble d’étude est tel que $x^2 > 0$ soit $]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[$.
$\ln x^2 = 1 \Leftrightarrow \ln x^2 = \ln \e \Leftrightarrow x^2 = \e \Leftrightarrow x = \sqrt{\e}$ ou $x = -\sqrt{\e}$.
Les solutions de l’équation sont $-\sqrt{\e}$ et $\sqrt{\e}$.
$\quad$
L’ensemble d’étude est tel que $\dfrac{x}{3} > 0$ soit $]0;+\infty[$.
$\ln \dfrac{x}{3} = 2 \Leftrightarrow \ln \dfrac{x}{3} = \ln \e^2 \Leftrightarrow \dfrac{x}{3} = \e^2 \Leftrightarrow x = 3\e^2$.
La solution de l’équation est $3\e^2$.
$\quad$
L’ensemble d’étude est tel que $x^3 > 0$ soit $]0;+\infty[$.
$\ln x^3 = -3 \Leftrightarrow \ln x^3 = \ln \e^{-3} \Leftrightarrow x^3 = \e^{-3} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{\e^{-3}} \Leftrightarrow x = \e^{-1}$.
La solution de l’équation est $\e^{-1}$.
$\quad$
L’ensemble d’étude est tel que $3x – 2 > 0$ soit $\left]\dfrac{2}{3};+\infty\right[$.
$\ln (3x – 2) = 0 \Leftrightarrow \ln (3x – 2) = \ln 1 \Leftrightarrow 3x – 2 = 1 \Leftrightarrow 3x = 3 \Leftrightarrow x = 1$.
La solution de l’équation est $1$.
$\quad$
L’ensemble d’étude est tel que $x^2 – 1 > 0$ soit $]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[$.
$\begin{align} \ln(x^2 – 1) = \ln 4 + \ln 2 &\Leftrightarrow \ln (x^2 – 1) = \ln (4 \times 2) \\\\
& \Leftrightarrow x^2 – 1 = 8 \\\\
&\Leftrightarrow x^2 = 9 \\\\
&\Leftrightarrow x = -3 \text{ ou } x = 3
\end{align}$
Les solutions sont $-3$ et $3$.
$\quad$
L’ensemble d’étude est tel que $x^2 – 3x + 2 > 0$
$\Delta = (-3)^2 – 4 \times 2 = 1$. Les racines sont donc $x_1 = \dfrac{3 – 1}{2} = 1$ et $x_2 = \dfrac{3 + 1}{2} = 2$.
Par conséquent l’ensemble d’étude est $]-\infty;1[\cup]2;+\infty[$.
$\ln (x^2 – 3x + 2) = \ln 9 \Leftrightarrow x^2 – 3x + 2 = 9 \Leftrightarrow x^2 – 3x – 7 = 0$
$\Delta = (-3) – 4 \times (-7) = 37$
Il y a deux racines : $\dfrac{3 – \sqrt{37}}{2}$ et $\dfrac{3 + \sqrt{37}}{2}$.
Ces deux racines appartiennent bien à l’ensemble d’étude.
Les solutions de l’équation sont donc $\dfrac{3 – \sqrt{37}}{2}$ et $\dfrac{3 + \sqrt{37}}{2}$.
$\quad$
L’ensemble d’étude est tel que $2x +1 > 0$ et $-x + 1 > 0$.
$2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > – \dfrac{1}{2}$
$-x + 1 > 0 \Leftrightarrow x < 1$.
L’ensemble d’étude est donc $\left]-\dfrac{1}{2};1\right[$.
$\begin{align} \ln (2x + 1) + \ln (-x + 1) = 0 & \Leftrightarrow \ln \left((2x + 1)(-x + 1)\right) = \ln 1 \\\\
& \Leftrightarrow (2x + 1)(-x + 1) = 1 \\\\
& \Leftrightarrow -2x^2 + 2x – x +1 = 1 \\\\
& \Leftrightarrow -2x^2 +x = 0 \\\\
& \Leftrightarrow x(-2x + 1) = 0 \\\\
& \Leftrightarrow x = 0 \text{ ou } x = \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Les solutions sont $0$ et $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
L’ensemble d’étude est tel que $(x – 1) ^2 > 0$ et $x + 1 > 0$.
$(x – 1)^2 > 0 \Leftrightarrow x \ne 1$
$x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > – 1$
L’ensemble d’étude est donc $]-1; 1[ \cup ]1;+\infty[$.
$\begin{align} \ln (x – 1)^2 – \ln (x+ 1) = 0 & \Leftrightarrow \ln\dfrac{(x – 1)^2}{x + 1} = \ln 1 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{(x – 1)^2}{x + 1} = 1 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{(x – 1)^2}{x + 1} – 1 = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{(x – 1)^2}{x + 1} – \dfrac{x + 1}{x + 1} = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{x^2 – 2x + 1 – x – 1}{x + 1} = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{x^2 – 3x}{x + 1} = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{x(x – 3)}{x + 1} = 0
\end{align}$
Les solutions de l’équation sont donc $0$ et $3$.
$\quad$
L’intervalle d’étude est $\R$.
$\begin{align} \e^{3x + 4} = 2 & \Leftrightarrow \e^{3x + 4} = \e^{\ln 2} \\\\
& \Leftrightarrow 3x + 4 = \ln 2 \\\\
& \Leftrightarrow 3x = \ln 2 – 4 \\\\
& \Leftrightarrow x = \dfrac{\ln 2 – 4}{3}
\end{align}$
La solution de l’équation est $\dfrac{\ln 2 – 4}{3}$
$\quad$
L’intervalle d’étude est $\R$.
$\e^{-x \ln 4} = 5 \Leftrightarrow \e^{-x \ln 4} = \e^{\ln 5} \Leftrightarrow -x \ln 4 = \ln 5 \Leftrightarrow x = – \dfrac{\ln 5}{\ln 4} $
La solution est $-\dfrac{\ln 5}{\ln 4}$
$\quad$
L’intervalle d’étude est $\R$.
$\e^x + \e^{-x} – 6 = 0 \Leftrightarrow \e^{-x}\left(\left(\e^x \right)^2 + 1 – 6\e^x\right) = 0 \Leftrightarrow \left(\e^x \right)^2 + 1 – 6\e^x = 0$
Posons $X = \e^x$
On obtient ainsi $X^2 + 1 -6X = 0$.
$\Delta = (-6)^2 – 4 = 32$
Les solutions sont $X_1 = \dfrac{6 – \sqrt{32}}{2}$ et $X_2 = \dfrac{6 + \sqrt{32}}{2}$.
Ces deux racines sont strictement positives.
$e^x = X_1 \Leftrightarrow x = \ln \dfrac{6 -\sqrt{32}}{2}$
$e^x = X_2 \Leftrightarrow x = \ln \dfrac{6 + \sqrt{32}}{2}$.
Les solutions de l’équation sont $\ln \dfrac{6 + \sqrt{32}}{2}$ et $\ln \dfrac{6 – \sqrt{32}}{2}$.