TS - Fonction Ln

Exercice 3

Résoudre les inéquations proposées après avoir fourni l’ensemble d’étude.

$1 – 2\ln 2x \ge 0$
$\quad$
$3 – \ln x \le 0$
$\quad$
$2 + 3\ln 2x \le 0$
$\quad$
$\ln (5 – x) – \ln 3 + \ln (x – 1) \ge 0$
$\quad$
$\ln(3x^2 – x – 2) \ge \ln(6x + 4)$

Correction

L’ensemble d’étude est tel que $2x > 0$ soit $]0;+\infty[$
$\begin{align} 1 – 2\ln 2x \ge 0 & \Leftrightarrow -2 \ln 2x \ge -1 \\\\
&\Leftrightarrow \ln 2x \le \dfrac{1}{2} \\\\
& \Leftrightarrow \ln 2x \le \ln \e^{1/2} \\\\
& \Leftrightarrow 2x \le \e^{1/2} \\\\
& \Leftrightarrow x \le \dfrac{\e^{1/2}}{2}
\end{align}$
La solution de l’inéquation est $\left]0;\dfrac{\e^{1/2}}{2}\right]$.
$\quad$
L’ensemble d’étude est tel que $x > 0$ soit $]0;+\infty[$.
$3 – \ln x \le 0 \Leftrightarrow – \ln x \le -3 \Leftrightarrow \ln x \ge 3 \Leftrightarrow \ln x \ge \ln \e^3 \Leftrightarrow x \ge \e^3 $
La solution de l’inéquation est $\left[ \e^3;+\infty \right[$.
$\quad$
L’ensemble d’étude est tel que $2x > 0$ soit $]0;+\infty[$.
$\begin{align} 2 + 3\ln 2x \le 0 & \Leftrightarrow 3\ln 2x \le -2 \\\\
& \Leftrightarrow \ln 2x \le – \dfrac{2}{3} \\\\
& \Leftrightarrow \ln 2x \le \ln \e^{-2/3} \\\\
& \Leftrightarrow 2x \le e^{-2/3} \\\\
& \Leftrightarrow x \le \dfrac{e^{-2/3}}{2}
\end{align}$
$\quad$
La solution de l’inéquation est $\left] 0;\dfrac{e^{-2/3}}{2} \right]$
$\quad$
L’ensemble d’étude est tel que $5 – x > 0$ et $x – 1 > 0$
$5 – x > 0 \Leftrightarrow x < 5$
$x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$
L’ensemble d’étude est donc $]1;5[$.
$\begin{align} \ln (5 – x) – \ln 3 + \ln (x – 1) \ge 0 & \Leftrightarrow \ln \dfrac{(5 – x)(x – 1)}{3} \ge \ln 1 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{(5 – x)(x – 1)}{3} \ge 1 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{(5 – x)(x – 1)}{3} – \dfrac{3}{3} \ge 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{5x – 5 – x^2 + x – 3}{3} \ge 0 \\\\
&\Leftrightarrow \dfrac{-x^2 + 6x – 8}{3} \ge 0
\end{align}$
$\Delta = 6^2 – 4 \times 8 = 4$.
Les racines sont $\dfrac{-6 – 2}{-2} = 4$ et $\dfrac{-6 + 2}{-2} = 2$.
La solution de l’inéquation est donc $[2;4]$.
$\quad$
L’ensemble d’étude est tel que $3x^2 – x – 2 > 0$ et $6x + 4 > 0$
$3x ^2 – x – 2 > 0$ $\quad \Delta = (-1)^2 – 4 \times 3 \times (-2) = 25$.
Les racines sont $\dfrac{1 – 5}{6} = \dfrac{-2}{3}$ et $\dfrac{1 + 5}{6} = 1$.
$3x ^2 – x – 2 > 0 \Leftrightarrow \left]-\infty;\dfrac{-2}{3}\right[ \cup ]1;+\infty[$.
$6x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{-2}{3}$.
L’intervalle d’étude est donc $]1;+\infty[$
$\ln(3x^2 – x – 2) \ge \ln(6x + 4) \Leftrightarrow 3x^2 – x – 2 \ge 6x + 4 \Leftrightarrow 3x^2 – 7x – 6 \ge 0$
$\Delta = (-7)^2 – 4 \times 3 \times (-6) = 121$
Les racines sont $\dfrac{7 – 11}{6} = \dfrac{-2}{3} < 1$ et $\dfrac{7 + 11}{6} = 3$.
La solution de l’inéquation est $[3;+\infty[$.