TS – Fonction Ln – Ex 4

Correction

1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
   $f'(x) = \ln x + \dfrac{x}{x} = \ln x + 1$
   $f'(x) > 0 \Leftrightarrow \ln x +1 > 0 \Leftrightarrow \ln x > – 1 \Leftrightarrow x > \e^{-1}$.
   La fonction $f$ est donc décroissante sur $\left]0;\e^{-1}\right]$ et croissante sur $\left[\e^{-1};+\infty\right[$.
   $\quad$
2. Pour que la fonction $f$ soit dérivable, il faut que $x > 0$ et $\ln x > 0$.
   La fonction $f$ est donc dérivable sur $]1;+\infty[$.
   $f'(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x}}{2\ln x} > 0$ sur $]1;+\infty[$.
   La fonction $f$ est donc croissante sur $[1;+\infty[$.
   $\quad$
3. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;1[\cup]1;+\infty[$.
   $f'(x) = – \dfrac{\dfrac{1}{x}}{\left(\ln x\right)^2} < 0 $ sur $]0;1[\cup]1;+\infty[$.
   La fonction $f$ est décroissante sur $]0;1[\cup]1;+\infty[$
4. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;1[\cup]1;+\infty[$.
   $f'(x) = 2 \dfrac{\ln x – \dfrac{x}{x}}{\left(\ln x\right)^2} \times \dfrac{x}{\ln x}$ $ = 2\dfrac{\ln x – 1}{\left(\ln x\right)^2} \times \dfrac{x}{\ln x}$
   $f'(x)$ est du signe de $\dfrac{\ln x – 1}{\ln x}$.
   $\ln x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > \e$
   $\ln x > 0 \Leftrightarrow x > 0$
   Par conséquent $f'(x) > 0$ sur $]0;1[ \cup ]\e;+\infty[$ et $f'(x) <0$ sur $]1;\e[$.
   La fonction $f$ est donc croissante sur $]0;1[ \cup ]\e;+\infty[$ et décroissante sur $]1;\e[$.
5. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
   $f'(x) = \dfrac{3}{x} \times \left(\ln x \right)^2$ > 0$ sur $]0;+\infty[$.
   La fonction $f$ est donc croissante sur $]0;+\infty[$.