TS – Intégration 1 – Ex 5

Exercice 5

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) =x\ln x$.

Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.

Soit $\mathscr{A}$ l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}$ et les droites d’équations respectives $x = 1$ et $x = 2$.

On utilise l’algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l’aire $\mathscr{A}$. (voir la figure ci-après).

TS-integration1-7

Algorithme :

Variables

$\quad$ $k$ et $n$ sont des entiers naturels
$\quad$ $U, V$ sont des nombres réels

Initialisation

$\quad$ $U$ prend la valeur 0
$\quad$ $V$ prend la valeur 0
$\quad$ $n$ prend la valeur 4

Traitement

$\quad$ Pour $k$ allant de $0$ à $n – 1$
$\quad$ $\quad$  Affecter à $U$ la valeur $U + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k}{n}\right)$
$\quad$ $\quad$  Affecter à $V$ la valeur $V + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k + 1}{n}\right)$
$\quad$ Fin pour

Affichage

$\quad$ Afficher $U$
$\quad$ Afficher $V$

  1. a. Que représentent $U$ et $V$ sur le graphique précédent ?
    $\quad$
    b. Quelles sont les valeurs $U$ et $V$ affichées en sortie de l’algorithme (on donnera une valeur approchée de $U$ par défaut à $10^{-4}$ près et une valeur approchée par excès de $V$ à $10^{-4}$ près) ?
    $\quad$
    c. En déduire un encadrement de $\mathscr{A}$.
    $\quad$
  2. Soient les suites $\left(U_{n}\right)$ et $\left(V_{n}\right)$ définies pour tout entier $n$ non nul par :
    $$\begin{array}{l c l}
    U_{n}& =&\dfrac{1}{n}\left[f(1) + f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right)\right]\\\\
    V_{n}&=&\dfrac{1}{n}\left[f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right) + f(2)\right]
    \end{array}.$$
    On admettra que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $U_{n} \leqslant \mathscr{A} \leqslant V_{n}$.
    a. Trouver le plus petit entier $n$ tel que $V_{n} – U_{n} < 0,1$.
    $\quad$
    b. Comment modifier l’algorithme précédent pour qu’il permette d’obtenir un encadrement de $\mathscr{A}$ d’amplitude inférieure à $0,1$ ?

Correction

  1. a. $U$ correspond à l’approximation inférieure de l’aire sous la courbe, aire des rectangles hachurés dans les 2 sens, et $V$ a son approximation supérieure, aire des rectangles hachurés dans un sens.
    $\quad$
    b. $U = 0 + \dfrac{1}{4}f\left(1 + \dfrac{1}{4}\right) + \dfrac{1}{4}f\left(1 + \dfrac{2}{4}\right) + \dfrac{1}{4}f\left(1 + \dfrac{3}{4}\right)  \approx 0,4666$
    et $V = 0 + \dfrac{1}{4}f\left(1 + \dfrac{2}{4}\right) + \dfrac{1}{4}f\left(1 + \dfrac{3}{4}\right) + \dfrac{1}{4}f\left(1 + \dfrac{4}{4}\right) \approx 0,8132$
    $\quad$
    c. Par conséquent $ 0,4666 \le \mathscr{A} \le 0,8132$.
    $\quad$
  2. a. $V_n-U_n = \dfrac{1}{n}\left(f(2) – f(1)\right) = \dfrac{2\text{ln}(2)}{n}$
    On veut que $V_n-U_n < 0,1 \Leftrightarrow \dfrac{2\text{ln}(2)}{n} < 0,1 \Leftrightarrow n > \dfrac{2\text{ln}(2)}{0,1} \approx 13,86$
    Le plus petit entier $n$ cherché est donc 14.
    $\quad$
    b. 2 possibilités :Variables
    $\quad$ $k$ et $n$ sont des entiers naturels
    $\quad$ $U$,$V$ sont des nombres réels
    Initialisation
    $\quad$ $U$ prend la valeur 0
    $\quad$ $V$ prend la valeur 1 (en fait n’importe quelle valeur supérieure à 0,1 convient)
    $\quad$ $n$ prend la valeur 0
    Traitement
    $\quad$ Tant que $V-U \ge 0,1$
    $\quad$ $U$ prend la valeur 0
    $\quad$ $V$ prend la valeur 0
    $\quad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\qquad$ Pour $k$ allant de 0 à $n-1$
    $\qquad$ $\quad$ Affecter à $U$ la valeur $U + \dfrac{1}{n}f\left(1+\dfrac{k}{n}\right)$
    $\qquad$ $\quad$ Affecter à $V$ la valeur $V + \dfrac{1}{n}f\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)$
    $\qquad$ Fin Pour
    $\quad$ Fin Tant que
    Affichage
    $\quad$ Afficher $U$
    $\quad$ Afficher $V$ou

    Variables
    $\quad$ $k$ et $n$ sont des entiers naturels
    $\quad$ $U$,$V$ sont des nombres réels

    Initialisation
    $\quad$ $U$ prend la valeur 0
    $\quad$ $V$ prend la valeur 0
    $\quad$ $n$ prend la valeur 14

    Traitement
    $\quad$ Pour $k$ allant de 0 à $n-1$
    $\qquad$ Affecter à $U$ la valeur $U + \dfrac{1}{n}f\left(1+\dfrac{k}{n}\right)$
    $\qquad$ Affecter à $V$ la valeur $V + \dfrac{1}{n}f\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)$
    $\quad$ Fin Pour

    Affichage
    $\quad$ Afficher $U$
    $\quad$ Afficher $V$