TS - Intégration 1

Vérifier que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle donné.

sur $\R$ : $f(x) = (3x+1)^2$ et $F(x) = 3x^3+3x^2+x$
$\quad$
sur $]0;+\infty[$ : $f(x) = \dfrac{2(x^4-1)}{x^3}$ et $F(x) = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2$

$F$ est une fonction polynomiale définie sur $\R$; elle est donc dérivable sur $\R$.
$F'(x) = 9x^2 + 6x +1 = (3x + 1)^2 = f(x)$.
Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
$\quad$
$F$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$\begin{align*} F'(x) &= 2 \left(1 – \dfrac{1}{x^2}\right)\left(x + \dfrac{1}{x}\right) \\\\
& = 2 \left(x + \dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{x^3}\right) \\\\
& = \dfrac{2(x^4 – 1)}{x^3} \\\\
& = f(x)
\end{align*}$
Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.