TS – Intégration 1 – Ex3

Exercice 3

Trouver la primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0)=y_0$.

$f(x) = x + \dfrac{1}{x^2}$ $\quad$ $I=]0;+\infty[$ et $x_0=1$ , $y_0 = 5$.
$\quad$
$f(x) = x^2-2x – \dfrac{1}{2}$ $\quad$ $I=\R$ et $x_0=1$ , $y_0 = 0$.
$\quad$
$f(x) =\dfrac{3x-1}{x^3}$ $\quad$ $I=]0;+\infty[$ et $x_0=3$ , $y_0 = 2$.

Correction

$f$ est une fonction continue sur $I$; elle possède donc des primitives.
Une primitive $F$ est définie par $F(x) = \dfrac{x^2}{2} – \dfrac{1}{x} + k$
On veut que $F(1) = 5$ soit $\dfrac{1}{2} – 1 + k = 5$ d’où $k = \dfrac{11}{2}$
$\quad$
Par conséquent $F(x) = \dfrac{x^2}{2} – \dfrac{1}{x} + \dfrac{11}{2}$

$\quad$
$f$ est une fonction continue sur $I$; elle possède donc des primitives.
Une primitive $F$ est définie par $F(x) = \dfrac{x^3}{3} – x^2 – \dfrac{x}{2} + k$
On veut que $F(1) = 0$ soit $\dfrac{1}{3} – 1 – \dfrac{1}{2} + k = 0$ d’où $k = \dfrac{7}{6}$
$\quad$
Par conséquent $F(x) =\dfrac{x^3}{3} – x^2 – \dfrac{x}{2} + \dfrac{7}{6}$
$\quad$
$f(x) = \dfrac{3}{x^2} – \dfrac{1}{x^3}$
$f$ est une fonction continue sur $I$; elle possède donc des primitives.
Une primitive $F$ est définie par $F(x) = – \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{2x^2} + k$
On veut que $F(3) = 2$ soit $-1+ \dfrac{1}{18} + k = 2$ d’où $k = \dfrac{53}{18}$
$\quad$
Par conséquent $F(x) =- \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{2x^2} + \dfrac{53}{18}$