TS – Intégration 1 – Ex4

Exercice 4

  1. La courbe $\mathscr{C}$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-5~;~5]$.TS-integration1-1
    On pose $A=\displaystyle\int_{-2}^2 f(x) \: \mathrm{d} x$ . Un encadrement de $A$ est :
    A : $0 <A < 1$
    B : $1< A < 2$
    C : $3 < A < 4$
    D : $4 < A <5$
    $\quad$
  2. La courbe $(\mathscr{C})$ tracée ci-dessous représente une fonction $f$ dans le plan muni d’un repère orthonormé.TS-integration1-2
    Cette affirmation est-elle vraie ?
    Proposition :  $2 \leqslant \displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x \leqslant 3$
    $\quad$
  3. On donne ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ dans un repère du plan
    La valeur de $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$ est :
    A : $\text{e} – 2$
    B : $2$
    C : $1/4$
    D : $\ln (1/2)$
    TS-integration1-3$\quad$
  4. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ dont la courbe représentative $\mathscr{C}_{f}$ est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé.
    TS-integration1-4
    À l’aide de la figure, justifier que la valeur de l’intégrale
    $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ est comprise entre $2$ et $4$.
    $\quad$
  5. On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d’un repère orthonormal, la courbe représentative $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;20]$.
    TS-integration1-5
    Par lecture graphique :
    Déterminer un encadrement, d’amplitude $4$, par deux nombres entiers de $I = \displaystyle\int_{4}^{8} f(x)\:\text{d}x$.
    $\quad$
  6. La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction $f$.
    TS-integration1-6
    Par lecture graphique
    a. Préciser un domaine du plan dont l’aire est égale à $I = \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\:\mathrm{d}x$ unités d’aires.
    $\quad$
    b. Recopier sur votre copie le seul encadrement qui convient parmi :
    A : $0 \leqslant I \leqslant 9$
    B : $10 \leqslant I \leqslant 12$
    C : $20 \leqslant I \leqslant 24$

Correction

  1. On cherche donc à encadrer l’aire comprise entre l’axe des abscisses et la courbe entre les droites d’équations $x=-2$ et $x=2$.
    Par conséquent $3 < A < 4$.
    $\quad$
  2. L’intégrale calculée correspond à l’aire comprise entre l’axe des abscisses, la courbe et les droites d’équations $x=1$ et $x=3$.
    Elle est donc plus grande que celle du rectangle de côtés $2\times 1$ et plus petite que celle du rectangle de côté $2 \times 1,5$
    TS - intégration 1 - ex4-c1
    Par conséquent l’affirmation est vraie.
    $\quad$
  3. $\ln \dfrac{1}{2} < 0 $ donc cette solution ne convient pas pour le calcul de l’aire correspond à cette intégrale.
    L’aire sous la courbe est inférieure à celle du rectangle de côtés $2 \times 1$. Donc la solution B ne convient pas.
    L’aire sous la courbe est plus grande que celle du carré de côté $0,5$. Donc la solution C ne convient pas non plus.
    La réponse est donc A.
    $\quad$
  4. L’intégrale à calculer correspond à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, l courbe et les droites d’équation $x=0$ et $x=2$.
    Cette aire est plus grande que le triangle rectangle isocèle en O dont les côtés isocèles mesurent $2$ unités. Donc l’aire cherchée est supérieure à $\dfrac{2 \times 2}{2} = 2$.
    Elle est également plus petite que celle du carré de côté $2$. Donc l’aire est inférieure à $2 \times 2 = 4$.
    $\quad$
    Par conséquent $\displaystyle 2 \le \int_0^2 f(x)\mathrm{d}x \le 4$.
    $\quad$
  5. L’aire correspondant à cette intégrale est comprise entre les aires des rectangles ci-dessous.
    TS - intégration 1 - ex4-c2
    Par conséquent $\displaystyle 28 \le \int_5^8 f(x)\mathrm{d}x  \le 32$.
    $\quad$
  6. a. Il s’agit de l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe et les droites d’équation $x=0$ et $x=3$.
    $\quad$
    b. L’aire de ce domaine est supérieure à celle d’un rectangle de côté $3 \times 5$.
    Par conséquent $I > 15$.
    On a donc $20 \le I \le 24$.