TS – Ln – problèmes – Ex 3

Correction

Les couples solutions ne pourront contenir que des réels strictement positifs.

$\begin{align} \begin{cases} \ln x – \ln y = 1\\\\x + y = 2\e \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases} \ln \dfrac{x}{y} = \ln \e \\\\x + y = 2\e \end{cases} \\\\
& \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{x}{y}= \e\\\\x + y = 2\e \end{cases} \\\\
& \Leftrightarrow \begin{cases} x = y \e \\\\x + y = 2\e \end{cases} \\\\
& \Leftrightarrow \begin{cases} x= y \e\\\\y \e + y = 2\e \end{cases} \\\\
& \Leftrightarrow \begin{cases} x= y \e\\\\y (1 + \e) = 2\e \end{cases} \\\\
& \Leftrightarrow \begin{cases} x= y \e\\\\y = \dfrac{2\e}{1 + \e} \end{cases} \\\\
& \Leftrightarrow \begin{cases} x=  \dfrac{2\e^2}{1 + \e}\\\\y = \dfrac{2\e}{1 + \e} \end{cases}
\end{align}$
La solution du système est donc $\left( \dfrac{2\e^2}{1 + \e};\dfrac{2\e}{1 + \e} \right)$.