TS – Ln – problèmes – Ex 4

Correction

1. $\quad$
   $\begin{align} \text{e}^x – x^n = 0 &\Leftrightarrow \text{e}^x=x^n \\\\
   &\Leftrightarrow x = n \ln (x) \\\\
   &\Leftrightarrow \ln(x) = \dfrac{x}{n} \\\\
   &\Leftrightarrow \ln(x) – \dfrac{x}{n} = 0
   \end{align}$
   $\quad$
2. Soit $f_n$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f_n(x)=\ln(x) – \dfrac{x}{n}$.
   Cette fonction est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $f_n'(x) = \dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{n}$.
   $f_n'(x) >0 \Leftrightarrow x < n$.
   On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
   
   $\lim\limits_{x \to 0} \ln(x) = -\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0} f_n(x) = -\infty$
   $f(x) = x\left(\dfrac{\ln(x)}{x} – \dfrac{1}{n} \right)$.
   Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f_n(x) = -\infty$.
   $\quad$
   $\ln n -1 > 0 \Leftrightarrow n > \text{e}$.
   Par conséquent si $n \le 2$, $f_n(x) < 0$ et  l’équation $(E_2)$ n’aura pas de solution.
   Si $n \ge 3$, la fonction $f_n$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ donc continue .
   Sur $]0;n[$ la fonction est strictement croissante.
   $\lim\limits_{x \to 0} f_n(x) =-\infty$ et $f_n(n) >0$.
   D’après le théorème de la bijection (ou le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f_n(x) = 0$ possède une unique solution.
   $\quad$
   Sur $]n;+\infty[$, la fonction $f_n$ est strictement décroissante.
   $f_n(n) >0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f_n(x) = -\infty$.
   D’après le théorème de la bijection l’équation $f_n(x)=0$ possède une unique solution.
   $\quad$
   Par conséquent l’équation $(E_2)$, et donc $(E_1)$ possède deux solutions si, et seulement si, $n \ge 3$