TS – Pour aller plus loin – Nombres complexes

Difficulté +

Exercice 1 : Transformation complexe

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct.

On appelle $f$ l’application qui, à tout point $M$ d’affixe $z(z\neq -1)$ associe le point $M’$ d’affixe $z’$ telle que :$$z’=\dfrac{-\ic z -2}{z+1}.$$

Soient $A,B$ et $C$ les points d’affixe respectives $a=-1,b=2\ic$ et $c=-i$.

  1. Soit $C’$ l’image du point $C$ par $f$. Donner l’affixe $c’$ du point $C’$ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
    $\quad$
  2. Calculer l’affixe $d$ du point $D$ ayant pour image par $f$ le point $D’$ d’affixe $d’=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  3. Pour tout nombre complexe $z$ différent de $-1$, on donne $p$ le module de $z+1$ (c’est-à-dire $|z+1|=p$) et $p’$ le module de $z’+\ic$ (c’est-à-dire $|z’+\ic|=p’$).
    a. Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $-1$, on a $pp’=\sqrt{5}$.
    $\quad$
    b. Si le point $M$ appartient au cercle $(\Gamma)$ de centre $A$ et de rayon $2$, montrer qu’alors $M’=f(M)$ appartient à un cerlce $(\Gamma’)$ dont on précisera le centre et le rayon.
    $\quad$
  4. Pour tout nombre complexe $z$ différent de $-1$, on considère le nombre complexe $\omega=\dfrac{z-2\ic}{z+1}$.
    a. Interpréter géométriquement l’argument du nombre complexe $\omega$.
    $\quad$
    b. Montrer que $z’=-\ic \omega$.
    $\quad$
    c. Déterminer l’ensemble $(F)$ des points $M$ d’affixe $z$ telle que $z’$ soit un réel non nul.
    $\quad$
    d. Vérifier que le point $D$ appartient aux ensembles $(\Gamma)$ et $(F)$.
    $\quad$
  5. Représenter les ensembles $(\Gamma)$, $(F)$ et $(\Gamma’)$ en prenant $4$ cm pour unité graphique.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\quad$
    $$\begin{align*} c’&=\dfrac{-\ic \times (-\ic)-2}{-\ic+1} \\
    &= \dfrac{-3}{-\ic+1} \\
    &=\dfrac{-3(1+\ic)}{2} \quad \text{forme algébrique}
    \end{align*}$$
    $|1+\ic| = \sqrt{2}$ donc $1+\ic=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}\ic}{2}\right)=\sqrt{2}\e^{\ic \pi/4}$
    Par conséquent $c’=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\e^{\ic \pi/4} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\e^{\ic \pi/4} \e^{\ic \pi} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\e^{5\ic \pi/4}$ (forme trigonométrique).
    $\quad$
  2. Puisque $D’$ est l’image de $D$ cela signifie donc que :
    $$\begin{align*} \dfrac{1}{2} = \dfrac{-\ic z-2}{z+1} &\ssi z+1=2(-\ic z-2) \\
    &\ssi z+1=-2\ic z-4 \\
    &\ssi z(1+2\ic) = -5\\
    &\ssi z=\dfrac{-5}{1+2\ic} \\
    &\ssi z=\dfrac{-5(1-2\ic)}{5}\\
    &\ssi z=-1+2\ic
    \end{align*}$$
    $\quad$
  3. a. Soit $z$ un complexe différent de $-1$.
    $$\begin{align*}
    pp’&=|z+1||z’+\ic| \\
    &=|z+1|\left|\dfrac{-\ic z-2}{z+1}+\ic\right|\\
    &=|z+1|\dfrac{\left|-\ic z – 2 + \ic(z+1)\right|}{|z+1|} \\
    &=|-2+\ic z|\\
    &=\sqrt{5}
    \end{align*}$$
    $\quad$
    b. Si $M(z)$ appartient à$\Gamma$ alors $|z+1|=2$.
    D’après la question précédente on a $|z’+\ic|=\dfrac{\sqrt{5}}{|z+1|} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
    Par conséquent $M’$ appartient au cercle de centre $C$ et de rayon $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
    $\quad$
  4. a. arg$(\omega) = \left(\vec{AM},\vec{BM}\right)=\left(\vec{MA},\vec{MB}\right)$.
    L’argument de $\omega$ est donc une mesure de l’angle orienté $\left(\vec{MA},\vec{MB}\right)$.
    $\quad$
    b. $-\ic \omega = -\ic \times \dfrac{z-2i}{z+1} = \dfrac{-\ic z -2}{z+1} = z’$.
    $\quad$
    c. $z’$ est un réel non nul si, et seulement si, $\omega$ est un imaginaire pur.
    C’est équivalent à $MAB$ est un triangle rectangle en $M$.
    Par conséquent $(F)$ est le cercle de diamètre $[AB]$ privé des points $A$ et $B$.
    $\quad$
    d. $AD = |-1+2\ic+1|= |2ic| = 2$ donc $D$ appartient à $(\Gamma)$.
    $D’$ a pour affixe $\dfrac{1}{2}$. Par conséquent $D$ appartient également à $(F)$.
    $\quad$
  5. TS-plus loin-complexes-ex1

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Exercice 2 :

Partie A Le nombre $j$

On note $j$ le nombre complexe de module $1$ et d’argument $\dfrac{2\pi}{3}$.

  1. Donner l’écriture exponentielle puis l’écriture algébrique de $j$.
    $\quad$
  2. Montrer les propositions suivantes : $j^3=1, 1+j+j^2=0, \e^{\ic \pi/3} = -j^2=-\overline{j}$.
    $\quad$
  3. Construire avec le logiciel \textit{geogebra} les points $A, B, C$ d’affixe respectives $1,j,j^2$.
    $\quad$
  4. Que peut-on dire du triangle $ABC$? Démontrer.
    $\quad$

Partie B Caractérisation d’un triangle équilatéral

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal $\Ouv$ on considère les points $A,B,C$ d’affixe respectives $a,b,c$.

  1. Montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral direct si, et seulement si, $a+bj+cj^2=0$.
    $\quad$
  2. Montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral si, et seulement si, $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

Partie A le nombre $j$

  1. On a $j=\e^{2\ic \pi/3} = \cos \dfrac{2\pi}{3}+\ic \sin \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}\ic}{2}$.
    $\quad$
  2. $j^3=\e^{3\times 2\ic \pi/3}=\e^{2\ic \pi}=1$.
    $j^2=\e^{4\ic \pi/3} = -\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\ic}{2}$.
    Donc $1+j+j^2 = 1 -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}\ic}{2} -\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\ic}{2}=0$.
    $\e^{\ic \pi/3} = \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}\ic}{2} = -j^2$.
    De plus $-\overline{j} = -\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\ic}{2}\right) = \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}\ic}{2}=e^{\ic \pi/3}$.
    $\quad$
  3. $\quad$
    TS-plus loin-complexes-ex2$\quad$
  4.  Il semblerait que le triangle $ABC$ soit équilatéral.
    $AB=|j-1| = \left|-\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}\ic}{2}\right| = \sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}} = \sqrt{3}$.
    $AC = |j^2-1| = \left|-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\ic}{2}-1\right| = \sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}} = \sqrt{3}$.
    $BC = |j^2-j| = \left|-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\ic}{2}-\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}\ic}{2}\right)\right| = \left|-\sqrt{3}\ic\right| = \sqrt{3}$.
    Le triangle $ABC$ est bien équilatéral.
    $\quad$

Partie B Caractérisation d’un triangle équilatéral

  1. $ABC$ est un triangle équilatéral direct si, et seulement si, $a-b=\e^{\ic \pi/3} (c-b)$
    si, et seulement si, $a-b=-j^2(c-b)$
    si, et seulement si, $a-b-bj^2+c j^2=0$
    si, et seulement si, $a-\left(1+j^2\right)b+c j^2=0$
    si, et seulement si, $a+b j +c j^2=0$
    $\quad$
  2. $ABC$ est équilatéral si, et seulement si, $ABC$ est équilatéral direct ou $ABC$ équilatéral indirect.
    si, et seulement si, $a+b j +c j^2 = 0$ ou $a+c j + b j^2=0$
    si, et seulement si, $\left(a+b j + c j^2 \right)\left(a + c j + b j ^2\right)=0$
    si, et seulement si, $a^2+ac j+a b j^2+ab j + bc j^2 + b^2 j^3 + ac j^2 + c^2 j^3 + bc j^4 = 0$
    si, et seulement si, $a^2+ ab\left(j+j^2\right)+ ac\left(j + j^2\right) + bc\left(j^2 + j^4\right) + b^2 + c^2=0$
    si, et seulement si, $a^2-ab-ac+bc j^2 (-j)+b^2+c^2=0$
    si, et seulement si, $a^2+b^+c^2-ab-ac-bc=0$
    si, et seulement si, $a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$

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