TS – Primitive – Ex 3

Exercice 3 : Pour aller plus loin

Dans chacun des cas, donner la primitive $F$, telle que $F(t_0) = y_0$, des fonctions $f$ définies sur $I$.

  1. $f(t) = t + \dfrac{1}{t^2}$ $\quad$ $I=]0;+\infty[$ $\quad$ $t_0 = 1$, $y_0 = 5$
    $\quad$
  2. $f(t) = t^2 – 2t – \dfrac{1}{2}$ $\quad$ $I=\R$ $\quad$ $t_0 = -1$, $y_0 = 0$
    $\quad$
  3. $f(t) = 2\text{e}^t $ $\quad$ $I=\R$ $\quad$ $t_0 = 0$, $y_0 = 0$
    $\quad$
  4. $f(t) = \text{e}^{3t}$ $\quad$ $I=\R$ $\quad$ $t_0 = 1$, $y_0 = 1$
    $\quad$
  5. $f(t) = \dfrac{3}{\sqrt{3t – 5}}$ $\quad$ $I=\left]\dfrac{5}{3};+\infty\right[$ $\quad $ $t_0 = 2$, $y_0 = 1$

  1. Une primitive de $f$ sur $I$ est $F$ définie par $F(t) = \dfrac{1}{2}t^2 – \dfrac{1}{t} + k$
    On sait que $F(1) = 5$ donc $\dfrac{1}{2} – 1 + k = 0$ soit $k = \dfrac{1}{2}$
    $\quad$
    Par conséquent : $F(t) = \dfrac{1}{2}t^2 – \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  2. Une primitive de $f $sur $I$ est $F$ définie par $F(t) = \dfrac{1}{3}t^3 – t^2 – \dfrac{1}{2}t + k$.
    On sait que $F(-1) = 0$ donc $-\dfrac{1}{3} – 1 + \dfrac{1}{2} + k = 0$ soit $k =\dfrac{5}{6}$
    $\quad$
    Par conséquent : $F(t) = \dfrac{1}{3}t^3 – t^2 – \dfrac{1}{2}t + \dfrac{5}{6}$
    $\quad$
  3. Une primitive de $f $sur $I$ est $F$ définie par $F(t) = 2\text{e}^t + k$.
    On sait que $F(0) = 0$ donc $2 + k = 0$ soit $k =-2$
    $\quad$
    Par conséquent : $F(t) = 2\text{e}^t – 2$
    $\quad$
  4. Une primitive de $f $sur $I$ est $F$ définie par $F(t) = \dfrac{1}{3}\text{e}^{3t} + k$.
    On sait que $F(1) = 1$ donc $\dfrac{1}{3}\text{e}^{3} + k  = 0$ soit $k =-\dfrac{1}{3}\text{e}^{3}$
    $\quad$
    Par conséquent : $F(t) = \dfrac{1}{3}\text{e}^{3t} – \dfrac{1}{3}\text{e}^{3}$
    $\quad$
  5. Une primitive de $f $sur $I$ est $F$ définie par $F(t) = 2\sqrt{3t – 5}+k$.
    On sait que $F(2) = 1$ donc $2 + k = 1$ soit $k =-1$
    $\quad$
    Par conséquent : $F(t) = 2\sqrt{3t – 5} – 1$
    $\quad$