TS – Primitives – Physique

Un mobile a pour position initiale, à l’instant $t = 0$, $M_0(200,300,400)$ en mètres. Il est mis en mouvement avec une vitesse initiale $\vec{V_0}(3,1,-2)$, chacune des composantes s’exprimant en $\text{m.s}^{-1}$ (la composante “verticale” étant négative, le mobile est envoyé vers le bas). Il est soumis à l’accélération de la pesanteur.

  1. Déterminez les équations horaires du mouvement du mobile $M$, c’est-à-dire les coordonnées de $M$.
    $\quad$
  2. Quelle est la position du mobile à l’instant $t = 5$?
    $\quad$
  3. A quel instant l’impact au sol a-t-il lieu?

Correction

  1. L’accélération est donc $\vec{a(t)} = (0,0,-g)$. Les composantes du vecteur vitesse sont des primitives de celles de l’accélération.
    Le vecteur vitesse est alors de la forme $\vec{V(t)} = (a,b,-gt+c)$. Il vérifie cependant que $\vec{V(0)} = \vec{V_0}$.
    Par conséquent $\vec{V(t)}=(3,1,-gt-2)$. Les coordonnées de $M(t)$ sont des primitives des composantes du vecteur vitesse.
    Les coordonnées de $M$ à l’instant $t$ sont donc de la forme $M(t)=\left(3t+d,t+e,-\dfrac{1}{2}gt^2 – 2t + f\right)$
    Mais $M(0) = M_0$.
    Par conséquent $M(t) = \left(3t+200,t+300,-\dfrac{1}{2}gt^2 – 2t + 400\right)$
    $\quad$
  2. On a ainsi $M(5) = \left(215;305;\dfrac{535}{2}\right)$
    $\quad$
  3. Le mobile touche le sol quand sa composante verticale est nulle.
    On doit donc résoudre : $-\dfrac{1}{2}gt^2 – 2t + 400 = 0$
    $\Delta = (-2)^2 + 4 \times 400 \times \dfrac{1}{2}g \approx 7844$ > 0.
    Il y a donc deux solutions $t_1 = \dfrac{2 – \sqrt{\Delta}}{-g} \approx 8,83$ et $t_2 = \dfrac{2 + \sqrt{\Delta}}{-g} \approx -9,24$.
    Le mobile touchera donc le sol au bout d’environ $8,83$ secondes.