TS - Primitives (pour la physique) -

I Notion de primitive d’une fonction

Soit $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\R$. On dit qu’une fonction $F$ définie sur $I$ est une primitive de $f$ si :

$F$ est dérivable sur $I$;
et $F'(x) = f(x)$ pour tout $x$ de $I$

Exemple :

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3x^2 + 5x – 8$ et la fonction $F$ définie également sur $\R$ par $F(x) = x^3 + 2,5x^2-8x+3$.

La fonction $F$ est bien dérivable sur $R$ puisqu’il s’agit d’une fonction polynôme et $$F'(x) = 3x^2 + 2 \times 2,5x – 8 = f(x)$$

Par conséquent $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ alors, pour tout réel $k$, la fonction $F + k$ est aussi une primitive de $f$ sur $I$.

II Primitives à connaître

$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Fonction & Primitive \\\\
\hline
f(t) = 0 & F(t) = Constante \quad (cst)\\\\
\hline
f(t)=k & F(t) = kt+cst \\\\
\hline
f(t) = t & F(t) = \dfrac{1}{2}t^2 + cst \\\\
\hline
\end{array}$$

III Vecteur de l’espace

Dans un repère de l’espace \Oijk un vecteur possède $3$ coordonnées (composantes).

$\vec{i}(1;0;0)$, $\vec{j}(0;1;0)$ et $\vec{k}(0;0;1)$.

$g$ désignant l’accélération de la pesanteur ($g \approx 9,8$ $\text{m.s}^{-2}$) : $\vec{g}(0;0;-g)$.

IV Notion de physique

Notation de la dérivée :
Si $f$ est une fonction dérivable sur $I$. La dérivée de $f$ par rapport au temps est notée $\dfrac{\text{d}f}{\text{d}t}$.$\quad$
Vitesse et accélération :
Si $M(t)\left(x(t),y(t),z(t)\right)$ est la position d’un mobile à l’instant $t$, on admet que :
• sa vitesse $\vec{V(t)}$ a pour composantes $\left(\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t},\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t},\dfrac{\text{d}z}{\text{d}t}\right) = \left(V_x(t),V_y(t),V_z(t)\right)$
• son accélération $\vec{a(t)}$ a pour composantes $\left(\dfrac{\text{d}V_x}{\text{d}t},\dfrac{\text{d}V_y}{\text{d}t},\dfrac{\text{d}V_z}{\text{d}t}\right)$Autrement dit, les composantes du vecteur vitesse sont des primitives des composantes du vecteur accélération et les coordonnées de $M(t)$ sont des primitives des composantes du vecteur vitesse.

V Application : A vous de jouer

Un mobile a pour position initiale, à l’instant $t = 0$, $M_0(200,300,400)$ en mètres. Il est mis en mouvement avec une vitesse initiale $\vec{V_0}(3,1,-2)$, chacune des composantes s’exprimant en $\text{m.s}^{-1}$ (la composante “verticale” étant négative, le mobile est envoyé vers le bas). Il est soumis à l’accélération de la pesanteur.

Déterminez les équations horaires du mouvement du mobile $M$, c’est-à-dire les coordonnées de $M$.
$\quad$
Quelle est la position du mobile à l’instant $t = 5$?
$\quad$
A quel instant l’impact au sol a-t-il lieu?
$\quad$

Correction

$\quad$

VI Un peu de mathématiques

Exercice 1

Dans chacun des cas, donner l’expression algébrique d’une primitive des fonctions $f$ définies sur $\R$ par :

$f(t) = 2t$
$\quad$
$f(t) = 3t^2$
$\quad$
$f(t) = 7t^6$
$\quad$
$f(t) = 7t$
$\quad$
$f(t) = 6t^2$
$\quad$
$f(t) = 7t^5$
$\quad$
$f(t) = 7t + 2$
$\quad$
$f(t) = 7t^2 – 3t + 1$
$\quad$
$f(t) = 6t^9 + t^2 – 3$

$\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 2

Reprendre l’exercice précédent sachant que dans chacun des cas la primitive $F$ de la fonction $f$ vérifie $F(1) = 0$.

Correction

$\quad$

Exercice 3 : Pour aller plus loin

Dans chacun des cas, donner la primitive $F$, telle que $F(t_0) = y_0$, des fonctions $f$ définies sur $I$.

$f(t) = t + \dfrac{1}{t^2}$ $\quad$ $I=]0;+\infty[$ $\quad$ $t_0 = 1$, $y_0 = 5$
$\quad$
$f(t) = t^2 – 2t – \dfrac{1}{2}$ $\quad$ $I=\R$ $\quad$ $t_0 = -1$, $y_0 = 0$
$\quad$
$f(t) = 2\text{e}^t $ $\quad$ $I=\R$ $\quad$ $t_0 = 0$, $y_0 = 0$
$\quad$
$f(t) = \text{e}^{3t}$ $\quad$ $I=\R$ $\quad$ $t_0 = 1$, $y_0 = 1$
$\quad$
$f(t) = \dfrac{3}{\sqrt{3t – 5}}$ $\quad$ $I=\left]\dfrac{5}{3};+\infty\right[$ $\quad $ $t_0 = 2$, $y_0 = 1$

Correction