TS – Probabilités – ex2 correction

Exercice 2 (Pondichéry avril 2013)

Dans une entreprise, on s’intéresse à la probabilité qu’un salarié soit absent durant une période d’épidémie de grippe.

  •  Un salarié malade est absent
  • La première semaine de travail, le salarié n’est pas malade.
  • Si la semaine $n$ le salarié n’est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$.
  • Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$.

On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_{n}$ l’évènement “le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine”. On note $p_{n}$ la probabilité de l’évènement $E_{n}$.

On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $0 \leq p_{n} < 1$.

    1. a. Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l’aide d’un arbre de probabilité.
      $\quad$
      b. Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu’il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
      $\quad$
    2. a. Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité donné ci-dessous
      $\quad$
      ex2-ts-probas
      b. 
      Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$.
      $\quad$
      c. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n} = p_{n} – 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$.
      $\quad$
      En déduire l’expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$.
      $\quad$
      d. En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$.
      $\quad$
      e. On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l’algorithme suivant :
      Variables
      $\qquad$ K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel
      Initialisation
      $\qquad$ prend la valeur $0$
      $\qquad$ J prend la valeur $1$
      $\qquad$ Entrée & Saisir la valeur de $K$
      Traitement
      $\qquad$ Tant que P $< 0,05 – 10^{- \text{K}}$
      $\qquad$ $\qquad$ P prend la valeur $0,2 \times \text{P} + 0,04$
      $\qquad$ $\qquad$ J prend la valeur J $+ 1$
      $\qquad $Fin tant que
      Sortie
      $\qquad$ Afficher J
      $\quad$
      À quoi correspond l’affichage final J ? Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s’arrête ?
      $\quad$
    3. Cette entreprise emploie $220$ salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu’un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d’épidémie est égale à $p = 0,05$.
      On suppose que l’état de santé d’un salarié ne dépend pas de l’état de santé de ses collègues.
      On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
      a. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
      b. Calculer l’espérance mathématique $\mu$ et l’écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $X$.

Correction

  1. a.
    TS - pondichery- avril2013 - ex4
    Donc d’après la propriété des probabilités totales $p_3 = 0,04 \times 0,24 + 0,96 \times 0,04 = 0,048$
    $~$
    b. On cherche donc $p_{E_3}(E_2) = \dfrac{0,04 \times 0,24}{0,048} = 0,2$
    $~$
  2. a.
    TS - pondichery- avril2013 - ex42
    b. donc $p_{n+1} = 0,24p_n+0,04(1-p_n) = 0,2p_n + 0,04$
    $~$
    c. $u_{n+1} = p_{n+1} – 0,05 = 0,2p_n + 0,04 – 0,05 $ $= 0,2p_n – 0,01 = 0,2(p_n-0,05) = 0,2u_n$
    $u_1 = -0,05$
    Donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $0,2$ et de premier terme $-0,05$.
    Par conséquent :
    $$u_n=-0,05 \times 0,2^{n-1} \qquad  \text{et} \qquad p_n = 0,05 – 0,05 \times 0,2^{n-1}$$
    $~$
    d. $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} 0,2^n = 0$ car $-1 < 0,2 <1$.
    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty}p_n = 0,05$
    $~$
    La suite $(p_n)$ est croissante et sa limite est $0,05$.
    $~$
    e. La variable J correspond au rang à partir duquel $0,05 – 10^{-k} \le p_n \le 0,05$
    $\quad$
    La suite $(p_n)$ est croissante et sa limite est $0,05$. Donc pour tout réel $\lambda > 0$, il existe un rang à partir duquel $p_n> 0,05 – \lambda$.
    En particulier si $\lambda = 10^{-K}$.
    Le programme va donc s’arrêter.
    $~$
  3. a. Parmi les $220$ salariés, le choix d’un salarié est fait au hasard et son état de santé n’a pas d’incidence sur celui d’un autre salarié. Chaque salarié est soit malade, soit en bonne santé. La probabilité qu’un salarié soit malade est de $0,05$.
    Par conséquent $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=220$ et $p=0,05$.
    b. Donc $µ = 220 \times 0,05 = 11$ et $\sigma = \sqrt{220 \times 0,05 \times 0,95} = \sqrt{10,45}$.