TS – Probabilités – ex1 correction

Exercice 1 (Amérique du Nord mai 2012)

Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhèrent à la section tennis. On sait également que $30\%$ des membres de cette association adhèrent à la section tennis.

Partie A

On choisit au hasard un membre de cette association et on note :

  • $F$ l’évènement “le membre choisi est une femme”,
  • $T$ l’évènement “le membre choisi adhère à la section tennis”

 

  1. Montrer que la probabilité de l’événement $F$ est égale à $\dfrac{2}{5}$.
    $\quad$
  2. On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis.
    $\quad$
    Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ?
    $\quad$

Partie B

Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie.

  1. Chaque semaine, un membre de l’association est choisi au hasard de manière indépendante pour tenir la loterie.
    a. Déterminer la probabilité pour qu’en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_n$ la probabilité pour qu’en $n$ semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.
    $\quad$
    Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $p_n = 1 – \left (\dfrac{7}{10}\right)^n$.
    $\quad$
    c. Déterminer le nombre minimal de semaines pour que $p_n \geq 0,99$.
    $\quad$

Correction

Partie A

  1. Puisque $30\%$ des membres de l’association adhèrent à la section tennis on a, d’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align} \dfrac{1}{4} \times p(F) + \dfrac{1}{3} \times p(H) = 0,3 & \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} \times p(F) + \dfrac{1}{3} \times \left(1 – p(F)\right) = 0,3 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} \times p(F) – \dfrac{1}{3} \times p(F) = \dfrac{3}{10} – \dfrac{1}{3} \\\\
    & \Leftrightarrow  – \dfrac{1}{12} \times p(F) = – \dfrac{1}{30} \\\\
    & \Leftrightarrow p(F) = \dfrac{12}{30} \\\\
    & \Leftrightarrow p(F) = \dfrac{2}{5}
    \end{align}$
    $\quad$
  2. On cherche à calculer $p_T(F) = \dfrac{P(T \cap F)}{p(T)}$.
    $\quad$
    On sait que $p_F(T) = \dfrac{1}{4} = \dfrac{p(T \cap F)}{P(F)} = \dfrac{p(T \cap F)}{\dfrac{2}{5}}$.
    Donc $p(T \cap F) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{10}$.
    $\quad$
    Par conséquent $p_T(F) = \dfrac{\dfrac{1}{10}}{\dfrac{30}{100}} = \dfrac{1}{3}$.

$\quad$

Partie B

  1. a. Les choix de membres pour tenir la loterie sont identiques, faits au hasard et de manière indépendante. Il y a $4$ tirages. A chaque tirage, il y a $2$ issues possibles $T$ et $\overline{T}$.
    La variable aléatoire $Y$ associant le nombre de membres de la section tennis suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = \dfrac{3}{10}$.
    $\quad$
    $P(Y = 2) = \binom{4}{2} \times \left(\dfrac{3}{10}\right)^2 \times \left(\dfrac{7}{10}\right)^2 = 0,2646$.
    $\quad$
    b. L’événement $A$ : “aucun membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis” a une probabilite $p(A) = \dfrac{7}{10}$.
    $\quad$
    Par conséquent $p_n = 1 – p(A)^n = 1 – \left(\dfrac{7}{10}\right)^n$.
    $\quad$
    c. On veut donc que :
    $\begin{align} 1 – \left(\dfrac{7}{10}\right)^n \ge 0,99 & \Leftrightarrow \left(\dfrac{7}{10}\right)^n \le 0,01 \\\\
    & \Leftrightarrow n \ln \dfrac{7}{10} \le \ln 0,01 \\\\
    & \Leftrightarrow n \ge \dfrac{\ln 0,01}{\ln \dfrac{7}{10}} \\\\
    & \Leftrightarrow n \ge 13
    \end{align}$
    $\quad$
    Autre méthode (si la fonction $\ln$ n’a pas encore été vue): utiliser la fonction Table de la calculatrice.
    $\quad$